第9章正弦稳态电路的分析例题
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2 2 C 2 2 C
R = XC
& U1 =1+ 2 = 3 &o U
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•
R 已知： 例6 已知：1 =1000Ω , R2 =10Ω , L = 500mH , C =10µF , U =100V , ω = 314rad/s , 求:各支路电流。 各支路电流。 i2 R1 & I2 R1
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•
Z1 = 303.45∠− 72.3 = 92.11− j289.13 Ω
o
Z2 = R2 + jωL =10 + j157 Ω
Z = Z1 + Z2 = 92.11− j289.13 +10 + j157 =102.11− j132.13 =166.99∠− 52.3 Ω
令 410 +10β = 0 ，β = −41
& US &1 = −j1000 I
& US &1 = (1+ β)Z + Z1 = 410 +10β + j(50 + 50β +1000) I
故电流领先电压 90 .
o
& & & & & US = ZI + Z1I1 = Z(1+ β)I1 + Z1I1
5.657∠45o o = 5∠- 36.9o =1.13∠81.9 A
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•
方法2：戴维宁等效变换 方法 ：
& IS
Z1
Z2 Z3
+ & U0
Zeq +
& I
Z
-
& U0
-
& 求开路电压：U0 = IS (Z1 // Z3 ) = 84.86∠45o V 求开路电压： &
求等效电阻： 求等效电阻： Zeq = Z1 // Z3 + Z2 =15 − j45
+
100Ω + 60∠00 _
j300Ω & + U0 60∠00 & _ I1 _ 求短路电流： 求短路电流：
& ISC
& ISC = 60 100 = 0.6∠00 A
& U0 30 2∠450 0 Zeq = = = 50 2∠45 Ω & ISC 0.6
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•
& & 例10 用叠加定理计算电流 I 2 已知: US =100∠45o V
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• 例8
& 已知：IS = 4∠90o A , Z1 = Z2 = −j30 , & Z3 = 30 , Z = 45 , 求电流 I.
& IS
Z1
Z2 Z3
& I
Z
Z1//Z3 + & (Z1 // Z3 )IS -
Z2
& I
Z
30(−j30) 方法1： 解 方法 ：电源变换 Z1 // Z3 = =15 − j Ω 15 30 − j30 & IS(Z1 // Z3) j4(15−j ) 15 &= I Z // Z +Z +Z = 15−j −j30+45 15 1 3 2
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L’
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•
求图示电路的等效阻抗， 例3 求图示电路的等效阻抗， ω＝105rad/s 。 解 感抗和容抗为： 感抗和容抗为： R1 30Ω 1mH R2 100Ω 0.1µF
XL = ω L =105 ×1×10−3 =100Ω
1 1 XC = − =− 5 = −100 −6 ωC 10 ×0.1×10
＋
& U1
& I & I2
& U1
－
& U
－ j4Ω & & 5Ω U2 I2 & I1 － 3Ω
＋
& U
电压滞后于电流， 电压滞后于电流，电路 对外呈现容性。 对外呈现容性。
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•
& U1 图为RC选频网络 选频网络， 例5 图为 选频网络，求u1和u0同相位的条件及 & = ? U0 解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC R ＋
& I S = 4∠0o A, Z1 = Z3 = 50∠30o , Z3 = 50∠ − 30o .
& IS Z1
Z3 解
& I2 Z2 +
& US
& IS Z1
Z2 Z3
-
&′ I2
& 单独作用U (1) IS单独作用 &S短路) : (
Z3 50∠30o &′ & = 4∠0o × I2 = IS 50∠− 30o + 50∠30o Z2 + Z3
5(3 + j4) Z = 3 − j6 + 5 + (3 + j4)
25∠53.10 = 3 − j6 + = 5.5 − j4.75Ω 8 + j4
电路对外呈现容性
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•
解2 用相量图求解，取电感电流为参考相量： 用相量图求解，取电感电流为参考相量：
& U2
& I 3Ω －j6Ω
& U1Z2 & Uo = Z1 + Z2 & U1 Z1 + Z2 Z1 = =1+ & Uo Z2 Z2
u1
－
jXC R
＋ －
jXC
uo
(R + jXC )2 Z1 R + jXC = = jRXC Z2 jRXC (R + jXC ) R − X + j2RXC R −X = = 2− j =实数 jRXC RXC
o
uC = 3.95 2cos(ω t − 93.4 ) V
o
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•
相量图
& & UC UL
& U ϕ -3.4°
& UR
注意
& I
分电压大于总电压。 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
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•
RL串联电路如图，求在 串联电路如图，求在ω＝106rad/s时的等效并 时的等效并 例2 串联电路如图 联电路。 联电路。 50Ω 串联电路的阻抗为： 解 RL串联电路的阻抗为： 串联电路的阻抗为
&2 = I2 + I2′ = 2.31∠30o +1.155∠−135o A I &′ &′
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•Hale Waihona Puke Baidu
已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jωL3。 例11 求：Zx=Rx+jωLx。 平衡条件： 解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得：
|Z1|∠ϕ1 •|Z3|∠ϕ3 = |Z2|∠ϕ2 •|Zx|∠ϕx |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
0
j300Ω & + U0 60∠00 & _ I1 _
& U0 & & & & Uo = −200I1 −100I1 + 60 = −300I1 + 60 = −300 + 60 j300 & = 60 = 30 2∠450 V Uo 1− j
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•
& 200I1 _ +
100Ω
已知：R=15Ω, L=0.3mH, C=0.2µF, 例 1 已知
o 4
电路的分析 第9章 正弦稳态电路的分析 章 正弦稳态电路的
R R jωLL u + + uR - + U L + +U - + &L &R u& C 1 U i. I jωC -
u = 5 2cos(ωt + 60 ), f = 3×10 Hz .
例7
_
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
us
L R4 解
+ R1
_ R2 C R3
is
&1 I& S U
+
R2
1 & j I3 ωC
jωL R1 & I2 R4
& I4
& IS
R3
回路方程
& & & & (R + R2 + jωL)I1 − (R + jωL)I2 − R2I3 =US 1 1
& & & (R1 + R3 + R4 + jωL)I2 − (R + jωL)I1 − R3I3 = 0 1 1 & &1 − R3I2 + j 1 I4 = 0 & & (R2 + R3 + j )I3 − R2I ωC ωC
& R = R I =15× 0.149∠− 3.4o = 2.235∠− 3.4o V & U & L = jωLI = 56.5∠90o × 0.149∠− 3.4o = 8.42∠86.4o V & U
uR = 2.235 2cos(ω t − 3.4 ) V uL = 8.42 2cos(ω t + 86.6o ) V
Z1
ϕ1 +ϕ3 = ϕ2 +ϕx
R1(R3+jωL3)=R2(Rx+jωLx) ∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
Zx ∼
Z2
Z3
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已知： 。 例12 已知：Z=10+j50Ω , Z1=400+j1000Ω。
& I
+
& US _
& & 90 问：β等于多少时，I1和US 相位差 o ? Z 解 分析： 分析： & & &， U 找出I1和US关系： &S = Z转I1 Z1 & β I1 & Z转实部为零, 相位差为 o. 实部为零, 90 I1
o &0 & = U = 84.86∠45 =1.13∠81.9o A I Z0 + Z 15 − j45 + 45
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•
求图示电路的戴维宁等效电路。 例9 求图示电路的戴维宁等效电路。
& 4I1
& 200I1 _ +
50Ω + & U _ 100Ω
+
50Ω j300Ω + 60∠00 & _ I1 解 求开路电压： 求开路电压：
+ + . uC U - C -
求 i, uR , uL , uC . 解 画出相量模型
& = 5∠60o V U jωL = j2π ×3×104 × 0.3×10−3 = j56.5
1 1 −j = −j = −j26.5 4 −6 ωC 2π ×3×10 × 0.2×10
1 Z = R + jωL − j =15 + j56.5 − j26.5 ωC o = 33.54∠63.4
& & I4 = −IS
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•
_
& Un1
& US
+ R2
& IS
−j 1 ωC
jωL R1 R4
结点方程
& Un2
R3
& Un3
& & Un1 =US 1 1 1 & 1 & 1 & ( + + )Un2 − Un1 − Un3 = 0 R + jωL R2 R3 R2 R3 1 1 1 &n3 − 1 Un2 − jωCUn1 = −IS & & & ( + + jωC)U R3 R4 R3
jXL (R2 + jXC ) j100 × (100 − j100) Z =R + = 30 + 1 jXL + R2 + jXC 100 =130 + j100
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•
图示电路对外呈现感性还是容性？ 例4 图示电路对外呈现感性还是容性？ －j6Ω 解1 等效阻抗为： 等效阻抗为： 3Ω j4Ω 5Ω 3Ω
200∠30o = = 2.31∠30o A 50 3
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•
& IS Z1
Z3
•
& I2 Z2 +
& US
Z1 Z3
&′ I2′ Z2 +
& US
•
-
(2) US 单独作用 I S 开路) : (
& US −100∠45o &′ =1.155∠−135o A I2′ = − = Z2 + Z3 50 3
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•
o & & = U = 5∠60 = 0.149∠− 3.4o A I Z 33.54∠63.4o
& C = −j 1 I = 26.5∠− 90o × 0.149∠− 3.4o = 3.95∠− 93.4o V & U ωC i = 0.149 2cos(ωt − 3.4o ) A 则
o
& I1
+
& I2 R1
& I3
1 −j ωC
R2
& U
_
Z1
jωL
Z2
返 回
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•
& U 100∠0o & I1 = = = 0.6∠52.3o A Z 166.99∠− 52.3o
& I2 = − j1 1 R −j 1 ωC = 0.181∠− 20o A
R 1 & I1
ωC I = &1
XL = ω L =106 ×0.06×10−3 = 60Ω
0.06mH
0
Z = R + jXL = 50 + j60 = 78.1∠50.2 Ω
1 1 Y= = = 0.0128∠− 50.20 Ω 0 Z 78.1∠50.2 = 0.0082 − j0.0098 S 1 1 R’ R′ = = =122Ω G′ 0.0082 1 L′ = = 0.102mH 0.0098ω
− j318.47 × 0.6∠52.3o 1049.5∠−17.7o & I2 R1
& I1
+
& I3
1 −j ωC
R2 Z2
& I3 =
Z1 1 jωL _ R −j 1 ωC 1000 = × 0.6∠52.3o = 0.57∠70o A 1049.5∠−17.7o
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& U
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•
i1 + u _ 解
i3
& I1
C
R2 L
+
& I3
1 −j ωC
R2
& U
_
Z1
jωL
Z2
画出电路的相量模型
R (−j 1 1
) 1000 × (−j318.47) 318.47 ×103 ∠− 90o ωC = Z1 = = 1000 − j318.47 1049.5∠−17.7o R − j1 1 ωC
R = XC
& U1 =1+ 2 = 3 &o U
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R 已知： 例6 已知：1 =1000Ω , R2 =10Ω , L = 500mH , C =10µF , U =100V , ω = 314rad/s , 求:各支路电流。 各支路电流。 i2 R1 & I2 R1
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Z1 = 303.45∠− 72.3 = 92.11− j289.13 Ω
o
Z2 = R2 + jωL =10 + j157 Ω
Z = Z1 + Z2 = 92.11− j289.13 +10 + j157 =102.11− j132.13 =166.99∠− 52.3 Ω
令 410 +10β = 0 ，β = −41
& US &1 = −j1000 I
& US &1 = (1+ β)Z + Z1 = 410 +10β + j(50 + 50β +1000) I
故电流领先电压 90 .
o
& & & & & US = ZI + Z1I1 = Z(1+ β)I1 + Z1I1
5.657∠45o o = 5∠- 36.9o =1.13∠81.9 A
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方法2：戴维宁等效变换 方法 ：
& IS
Z1
Z2 Z3
+ & U0
Zeq +
& I
Z
-
& U0
-
& 求开路电压：U0 = IS (Z1 // Z3 ) = 84.86∠45o V 求开路电压： &
求等效电阻： 求等效电阻： Zeq = Z1 // Z3 + Z2 =15 − j45
+
100Ω + 60∠00 _
j300Ω & + U0 60∠00 & _ I1 _ 求短路电流： 求短路电流：
& ISC
& ISC = 60 100 = 0.6∠00 A
& U0 30 2∠450 0 Zeq = = = 50 2∠45 Ω & ISC 0.6
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& & 例10 用叠加定理计算电流 I 2 已知: US =100∠45o V
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• 例8
& 已知：IS = 4∠90o A , Z1 = Z2 = −j30 , & Z3 = 30 , Z = 45 , 求电流 I.
& IS
Z1
Z2 Z3
& I
Z
Z1//Z3 + & (Z1 // Z3 )IS -
Z2
& I
Z
30(−j30) 方法1： 解 方法 ：电源变换 Z1 // Z3 = =15 − j Ω 15 30 − j30 & IS(Z1 // Z3) j4(15−j ) 15 &= I Z // Z +Z +Z = 15−j −j30+45 15 1 3 2
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L’
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求图示电路的等效阻抗， 例3 求图示电路的等效阻抗， ω＝105rad/s 。 解 感抗和容抗为： 感抗和容抗为： R1 30Ω 1mH R2 100Ω 0.1µF
XL = ω L =105 ×1×10−3 =100Ω
1 1 XC = − =− 5 = −100 −6 ωC 10 ×0.1×10
＋
& U1
& I & I2
& U1
－
& U
－ j4Ω & & 5Ω U2 I2 & I1 － 3Ω
＋
& U
电压滞后于电流， 电压滞后于电流，电路 对外呈现容性。 对外呈现容性。
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& U1 图为RC选频网络 选频网络， 例5 图为 选频网络，求u1和u0同相位的条件及 & = ? U0 解 设：Z1=R+jXC, Z2=R//jXC R ＋
& I S = 4∠0o A, Z1 = Z3 = 50∠30o , Z3 = 50∠ − 30o .
& IS Z1
Z3 解
& I2 Z2 +
& US
& IS Z1
Z2 Z3
-
&′ I2
& 单独作用U (1) IS单独作用 &S短路) : (
Z3 50∠30o &′ & = 4∠0o × I2 = IS 50∠− 30o + 50∠30o Z2 + Z3
5(3 + j4) Z = 3 − j6 + 5 + (3 + j4)
25∠53.10 = 3 − j6 + = 5.5 − j4.75Ω 8 + j4
电路对外呈现容性
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解2 用相量图求解，取电感电流为参考相量： 用相量图求解，取电感电流为参考相量：
& U2
& I 3Ω －j6Ω
& U1Z2 & Uo = Z1 + Z2 & U1 Z1 + Z2 Z1 = =1+ & Uo Z2 Z2
u1
－
jXC R
＋ －
jXC
uo
(R + jXC )2 Z1 R + jXC = = jRXC Z2 jRXC (R + jXC ) R − X + j2RXC R −X = = 2− j =实数 jRXC RXC
o
uC = 3.95 2cos(ω t − 93.4 ) V
o
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相量图
& & UC UL
& U ϕ -3.4°
& UR
注意
& I
分电压大于总电压。 UL=8.42>U=5，分电压大于总电压。
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RL串联电路如图，求在 串联电路如图，求在ω＝106rad/s时的等效并 时的等效并 例2 串联电路如图 联电路。 联电路。 50Ω 串联电路的阻抗为： 解 RL串联电路的阻抗为： 串联电路的阻抗为
&2 = I2 + I2′ = 2.31∠30o +1.155∠−135o A I &′ &′
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•Hale Waihona Puke Baidu
已知平衡电桥 Z1=R1 , Z2=R2 , Z3=R3+jωL3。 例11 求：Zx=Rx+jωLx。 平衡条件： 解 平衡条件：Z1 Z3= Z2 Zx 得：
|Z1|∠ϕ1 •|Z3|∠ϕ3 = |Z2|∠ϕ2 •|Zx|∠ϕx |Z1| |Z3| = |Z2| |Zx|
0
j300Ω & + U0 60∠00 & _ I1 _
& U0 & & & & Uo = −200I1 −100I1 + 60 = −300I1 + 60 = −300 + 60 j300 & = 60 = 30 2∠450 V Uo 1− j
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& 200I1 _ +
100Ω
已知：R=15Ω, L=0.3mH, C=0.2µF, 例 1 已知
o 4
电路的分析 第9章 正弦稳态电路的分析 章 正弦稳态电路的
R R jωLL u + + uR - + U L + +U - + &L &R u& C 1 U i. I jωC -
u = 5 2cos(ωt + 60 ), f = 3×10 Hz .
例7
_
列写电路的回路电流方程和结点电压方程
us
L R4 解
+ R1
_ R2 C R3
is
&1 I& S U
+
R2
1 & j I3 ωC
jωL R1 & I2 R4
& I4
& IS
R3
回路方程
& & & & (R + R2 + jωL)I1 − (R + jωL)I2 − R2I3 =US 1 1
& & & (R1 + R3 + R4 + jωL)I2 − (R + jωL)I1 − R3I3 = 0 1 1 & &1 − R3I2 + j 1 I4 = 0 & & (R2 + R3 + j )I3 − R2I ωC ωC
& R = R I =15× 0.149∠− 3.4o = 2.235∠− 3.4o V & U & L = jωLI = 56.5∠90o × 0.149∠− 3.4o = 8.42∠86.4o V & U
uR = 2.235 2cos(ω t − 3.4 ) V uL = 8.42 2cos(ω t + 86.6o ) V
Z1
ϕ1 +ϕ3 = ϕ2 +ϕx
R1(R3+jωL3)=R2(Rx+jωLx) ∴ Rx=R1R3 /R2 , Lx=L3 R1/R2
Zx ∼
Z2
Z3
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已知： 。 例12 已知：Z=10+j50Ω , Z1=400+j1000Ω。
& I
+
& US _
& & 90 问：β等于多少时，I1和US 相位差 o ? Z 解 分析： 分析： & & &， U 找出I1和US关系： &S = Z转I1 Z1 & β I1 & Z转实部为零, 相位差为 o. 实部为零, 90 I1
o &0 & = U = 84.86∠45 =1.13∠81.9o A I Z0 + Z 15 − j45 + 45
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求图示电路的戴维宁等效电路。 例9 求图示电路的戴维宁等效电路。
& 4I1
& 200I1 _ +
50Ω + & U _ 100Ω
+
50Ω j300Ω + 60∠00 & _ I1 解 求开路电压： 求开路电压：
+ + . uC U - C -
求 i, uR , uL , uC . 解 画出相量模型
& = 5∠60o V U jωL = j2π ×3×104 × 0.3×10−3 = j56.5
1 1 −j = −j = −j26.5 4 −6 ωC 2π ×3×10 × 0.2×10
1 Z = R + jωL − j =15 + j56.5 − j26.5 ωC o = 33.54∠63.4
& & I4 = −IS
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_
& Un1
& US
+ R2
& IS
−j 1 ωC
jωL R1 R4
结点方程
& Un2
R3
& Un3
& & Un1 =US 1 1 1 & 1 & 1 & ( + + )Un2 − Un1 − Un3 = 0 R + jωL R2 R3 R2 R3 1 1 1 &n3 − 1 Un2 − jωCUn1 = −IS & & & ( + + jωC)U R3 R4 R3
jXL (R2 + jXC ) j100 × (100 − j100) Z =R + = 30 + 1 jXL + R2 + jXC 100 =130 + j100
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•
图示电路对外呈现感性还是容性？ 例4 图示电路对外呈现感性还是容性？ －j6Ω 解1 等效阻抗为： 等效阻抗为： 3Ω j4Ω 5Ω 3Ω
200∠30o = = 2.31∠30o A 50 3
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•
& IS Z1
Z3
•
& I2 Z2 +
& US
Z1 Z3
&′ I2′ Z2 +
& US
•
-
(2) US 单独作用 I S 开路) : (
& US −100∠45o &′ =1.155∠−135o A I2′ = − = Z2 + Z3 50 3
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o & & = U = 5∠60 = 0.149∠− 3.4o A I Z 33.54∠63.4o
& C = −j 1 I = 26.5∠− 90o × 0.149∠− 3.4o = 3.95∠− 93.4o V & U ωC i = 0.149 2cos(ωt − 3.4o ) A 则
o
& I1
+
& I2 R1
& I3
1 −j ωC
R2
& U
_
Z1
jωL
Z2
返 回
上 页
下 页
•
& U 100∠0o & I1 = = = 0.6∠52.3o A Z 166.99∠− 52.3o
& I2 = − j1 1 R −j 1 ωC = 0.181∠− 20o A
R 1 & I1
ωC I = &1
XL = ω L =106 ×0.06×10−3 = 60Ω
0.06mH
0
Z = R + jXL = 50 + j60 = 78.1∠50.2 Ω
1 1 Y= = = 0.0128∠− 50.20 Ω 0 Z 78.1∠50.2 = 0.0082 − j0.0098 S 1 1 R’ R′ = = =122Ω G′ 0.0082 1 L′ = = 0.102mH 0.0098ω
− j318.47 × 0.6∠52.3o 1049.5∠−17.7o & I2 R1
& I1
+
& I3
1 −j ωC
R2 Z2
& I3 =
Z1 1 jωL _ R −j 1 ωC 1000 = × 0.6∠52.3o = 0.57∠70o A 1049.5∠−17.7o
返 回 上 页
& U
下 页
•
i1 + u _ 解
i3
& I1
C
R2 L
+
& I3
1 −j ωC
R2
& U
_
Z1
jωL
Z2
画出电路的相量模型
R (−j 1 1
) 1000 × (−j318.47) 318.47 ×103 ∠− 90o ωC = Z1 = = 1000 − j318.47 1049.5∠−17.7o R − j1 1 ωC