基于“再创造”理论的教学案例

基于“再创造”理论的教学案例

——节推理与证明的数学课堂

江苏省启东中学（226200）金山

前段时间,笔者开设了一节公开课，授课内容为高中数学选修2-2推理与证明第8课时.教材中这节课的内容只有几道用数学归纳法证明的例习题，结论已给，指向明确.如何开发利用这些外表“冰冷”的命题，激发学生学习兴趣，使之成为提升学生数学思维的多姿多彩的资源呢？下面记述的是笔者对这节课的准备和实施过程，并谈谈自己的体会和感悟.

1 教学目标的确立

1.1 课程标准中单元教学要求

《课程标准》对“推理与证明”的单元教学要求是：

(1)合情推理与演绎推理①结合已学过的数学实例和生活中的实例,了解合情推理的含义,能利用归纳和类比等进行简单的推理,体会并认识合情推理在数学发现中的作用.②结合已学过的数学实例和生活中的实例,体会演绎推理的基本模式,并能运用它们进行一些简单的推理.③通过具体的实例,了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.

(2)直接证明与间接证明(略).

(3)了解数学归纳法的原理,能用数学归纳法证明一些简单的数学命题.

1.2 教材内容和学情的分析

1.3 叙写课时教学目标

根据《课程标准》，依据教材内容和学生情况，确定本课时的教学目标为：

1．学生通过实验、观察、类比、归纳（不完全归纳）等直观思维形式得出式子23

2

2

2

+

+Λ的和.

+

1n

2

+

2．学生能用数学归纳法对猜想进行严谨的证明，体会合情推理与演绎推理之间联系与相辅相成的关系.

3．学生通过探索与发现结论的过程，体会合情推理在数学创新中的重要作用.

4．学生通过具体的实例感受到逻辑证明在数学以及日常生活中的作用,养成言之有理、论证有据的良好习惯.

评：如果没有表格进行比较，直接让学生寻求n n R T ,与n S 之间的关系，则由于问题过于开放，学生思维太发散，没有着力点，导致课堂上很难完成发现的过程.给出表格，省去求和计算的机械枯燥过程, 便于学生集中精力去观察这些数据，寻找规律，归纳（不完全）

教学目标是一切教学活动的出发点和最终归宿，是指教学活动实施的方向和预期达成的结果﹒它包括“知识与能力”、“过程与方法”、“情感、态度与价值观”，三者之间关系不是并行的，应该看成是一个整体的三个维度﹒知识技能是数学思维发展的载体、基础，数学思维是在知识技能获得的过程与方法中得以提升的﹒因此，确立教学目标要站在学生的角度，围绕着学生思维培养，发生和形成知识技能﹒

传统的从“以师为本”角度出发的教学目标，通常头脑里想的是“我想通过教学让学生达到什么样的效果？”置教师于主导地位，叙写本节课的教学目标通常采用语句：“通过教学使学生能用归纳和类比进行简单的推理”、“通过教学使学生了解数学归纳法的原理”等，可是，什么样的推理才算简单的推理？什么叫了解？什么程度才算了解？这些笼统、虚化、泛化的叙述无法衡量学生的学习效果，也无法检测评价目标达成度，实际上并没有站在学生的角度考虑﹒突出课堂上学生的主体性，教师不仅要做到对教学内容心中有数，还要对学生的心理特点思维水平做到心中有数，想学生所想，疑学生所惑﹒叙写教学目标时，选用一些可以反映外部行为变化的行为动词，陈述清楚学生通过本节学习活动后有什么变化，学生会做什么，能做什么，能到达怎样的程度，这些可观察可测量的行为变化，贯穿了学生思维的发展﹒3.2 教学设计要从提升学生思维出发

课程标准指出：“推理与证明是数学的基本思维过程，也是人们学习和生活中经常使用的思维方式.推理一般包括合情推理和演绎推理.”“合情推理有利于创新意识的培养”、“数学结论的正确性必须通过逻辑证明来保证”，两种推理联系紧密、相辅相成.但教学实践中，通

常发展学生思维是指发展他们的逻辑思维，多偏向于演绎，完全归纳，从而导致学生眼中的数学是那么的枯燥乏味、冷酷无情.实际上，全面的、更高水平的思维发展包括直觉思维的发展.从数学学科的每一次开拓性成果的取得可以看出，具有发散性的直观思维更有开创性；不完全归纳和类比猜想等直观思维可以使学生思维更加活泼，激发学生学习数学的兴趣，引导学生更好去学习数学.

本节课是“推理与证明”的最后一课时，由于学生上一节课对数学归纳法已有初步了解，课本上设置的例习题，如果直接呈现结论让学生去证明，成绩好的同学会索然无味，成绩差点的同学也只能在逻辑证明的严谨性上得以训练，而真正让学生感到疑惑的是，这些结论怎么来的？却往往被忽视.针对以上考虑，本节课所设计问题重点在于培养学生直观思维，并通过问题的解决过程认识合情推理与演绎推理之间的联系.

为了让学生思维得到有效提升，所设置的问题不应太发散也不应太收敛.过于发散的问题，学生的思维缺少支点，无处发力，难以击中要害，导致问题很难在课堂上解决.比如，本节课问题1呈现之前，用高斯求和的故事作为铺垫，这样设计是为了让学生能够将两个求和联系起来，从而明确问题解决的大方向.过于收敛的问题，“踮踮脚就够得到”，学生思维发展提升效果不佳.如本节课问题2，没有直接提问三个和之间满足什么关系，而是让学生自己观察数据，寻找结论，如此设计是避免问题太直白，指向过于收敛.

3.3 教学实施要关注学生思维的变化

教学实施过程中，教师不能一味按照已有的设计，按部就班机械地进行下去，要时刻关注学生思维的变化.一方面，要把握好问题呈现的方式和时机，引导学生细心观察，合理联系，大胆猜想，细心验证.另一方面，鼓励学生不拘泥、不守旧，敢于打破条条框框的限定，敢于发表自己的观点.对学生“别出心裁”、“独辟蹊径”的想法，应给予充分肯定；对学生不成熟的想法，教师不能把学生的思维强扭过来，应顺势引导.

例如，本节课堂上有两处出乎教学预设之外.一是，生5所提到的构造法求和，其想法竟然是如此完美，不由得不停下来细心欣赏、由衷赞叹.二是，生6的回答，粗看起来有点肤浅，但笔者没有轻率地否定，而是指出其中的闪光点，并顺势引导学生，按照这个发现进一步挖掘下去. 因此，教师要直面学生思维水平的差异.对于同样的问题，不同的同学会有不同程度的理解，发表不同的看法，教师从赞赏的角度予以评价，激发学生思维的积极性.

参考文献：

[1] 普通高中数学课程标准(实验)[M].北京:人民教育出版社,2003.

[2] 普通高中课程标准试验教科书《数学》选修2-2[M].南京:江苏教育出版社,2008.

[3] 张楚廷,数学文化[M]. 北京:高等教育出版社,2000.