幂级数及其收敛性(精)
幂级数收敛域和函数-PPT
(3) 在(－R,R )内收敛,端点另外讨论
收敛区间
R—收敛半径
2.收敛半径的求法
定理2
R lim an a n
n1
例 求收敛半径和收敛域
(证明略)
(1). (1)n1 xn
n1
n
收敛域是(－1，1] 1
R lim an lim n 1
a n n1
n 1
n 1
x
=1
时
n1
(1)n1
) x
x (1 x)2
( |x| <1 )
xn
(2). n0 n 1
设和函数为S(x)
则 xS(x) xn1 n0 n 1
( x xndx)
x
(
xn )dx
0 n0
0 n0
x 1 dx ln(1 x)
0 1 x
S ( x)
1 x
ln(1
x),
0 | x | 1
1,
n0
n0
n0
f (x) g(x)
利用乘法可以定义除法
an xn ( bn xn ) ( cn xn )
则
an xn
n0
cn xn
n0
n0
n0
bn xn n0
n0
注意,商级数的收敛半径可能比原来要小得多
2. 分析运算性质ຫໍສະໝຸດ 设an xn S(x)
n0
收敛半径为R, 则
(1) S(x) 在收敛域内连续;
大家有疑问的，可以询问和交
8
(4). (1)n1 (x 2)n
n1
n
设 x－2＝ t ,由(1)知
收敛域是(1,3]
(1)n1 t n
B2第6章-第六章5幂级数
xn
1 1 1 xn
n2 n2 1 n22 n 1 n 1
设
S1( x)
1 xn 2 n2 n 1
x 2 n2
x n1 n 1
x xn 2 n1 n
而
xn n1 n
n1
x 0
x n 1
dx
x
0
x n 1
n1
dx
x dx 01 x
ln(1 x)
故
S1(
x)
x 2
定理 1. ( Abel定理 ) 若幂级数 an xn
n0
则对满足不等式
的一切 x , 幂级数 an xn 都绝对收敛;
反之, 若当
n0
时, 幂级数发散 , 则对满足不等式
的一切 x , 幂级数也发散 .
发散
发散
收o敛
发散x
收敛
阿贝尔 目录 上页 下页 返回 结束
证: 设
收敛, 则必有
于是存在
1
lim 2n1(n 1) lim n 1 ,
n
1
n 2(n 1) 2
2n n
当 t = 2 时, 级数为
此级数发散;
R2
当 t = – 2 时, 级数为
此级数条件收敛;
因此级数的收敛域为 2 t 2 故, 原级数的收敛域为
即 3 x 1 .
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*** 幂级数的运算
定理5.3 . 设函数 f (x) 在点 x0 的某一邻域
内具有
任意阶导数, 并且存在 R > 0，使得当 | x x0 | R
有
lim
n
Rn (
x)
0.
则
在|
幂级数的定义及其收敛性分析
幂级数的定义及其收敛性分析幂级数是数学中重要的一类级数，它在各个数学分支中有着广泛的应用。
本文将介绍幂级数的定义，并对其收敛性进行分析。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑(an*x^n)的级数，其中an为系数，x为变量，n为指数。
其中，an可以是实数也可以是复数，x可以是实数或复数。
幂级数的一般形式为：∑(an*x^n) = a0 + a1*x + a2*x^2 + a3*x^3 + ... + an*x^n + ...二、幂级数的收敛性分析对于幂级数的收敛性，我们需要分析其收敛域。
收敛域是指幂级数在哪些点上收敛，以及在哪些点上发散。
1. 收敛半径收敛域的核心是收敛半径，记作R。
幂级数在收敛半径范围内收敛，在其外发散。
收敛半径的计算可以使用伯努利、根值或比值法等。
2. 收敛域类型根据收敛半径的值，幂级数的收敛域可以分为三种类型：a) 当R=0时，幂级数在x=0处收敛；b) 当0<R<∞时，幂级数在(x-R, x+R)范围内收敛；c) 当R=∞时，幂级数在整个定义域内收敛。
3. 边界收敛如果幂级数在某个或某些边界点上收敛，但在该边界范围内不一定绝对收敛，只是条件收敛。
这种情况称为边界收敛。
三、幂级数的应用幂级数在数学中有着广泛的应用，下面简要介绍几个常见的应用领域：1. 函数展开幂级数可以用来展开各种函数，使其在某个特定区间上变为幂级数形式。
利用这种展开，我们可以方便地对函数进行近似计算，提高计算的精度和效率。
2. 微分方程幂级数可以用来解微分方程。
通过将微分方程变换成幂级数形式，再求解该幂级数，可以得到微分方程的解析解。
3. 物理应用幂级数在物理学中有着广泛的应用。
例如，波函数展开、场变量展开等都可以利用幂级数进行表示和计算。
四、结论幂级数作为一种重要的数学工具，在数学和物理学中有着广泛的应用。
本文介绍了幂级数的定义，讨论了幂级数的收敛性及其应用领域。
通过对幂级数的研究，可以深入理解其在数学和自然科学中的重要作用。
幂级数的收敛性与求和
幂级数的收敛性与求和幂级数是数学中重要的数列形式，它常用于描述函数的无限项展开。
在研究幂级数时，我们常关注它的收敛性以及如何求和。
本文将重点讨论幂级数的收敛性及求和方法，并且提供几个实例进行说明。
一、幂级数的概念与收敛性在数学中，幂级数是指以$x$为变量的形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的级数。
其中，$a_n$是系数序列，$x$是变量，$n$为指数。
判断幂级数的收敛性，我们可以使用根植、比值等各种方法。
其中，根植法适用于幂级数的绝对收敛性判断，比值法适用于幂级数的条件收敛性判断。
根植法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{1}{\sqrt[n]{|a_n|}}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
比值法的步骤如下：1. 计算收敛域的半径$R=\lim_{n\to\infty} \frac{|a_n|}{|a_{n+1}|}$；2. 若$x<R$时级数绝对收敛，$x>R$时级数发散，$x=\pm R$时需另行讨论。
二、求和方法：直接求和与逐项积分幂级数的求和方法通常有两种：直接求和与逐项积分法。
1. 直接求和法：对于一些特殊的幂级数，可以通过变形和求导等方法直接求得幂级数的和函数。
例如，$e^x=\sum_{n=0}^{\infty}\frac{x^n}{n!}$，柯西积分公式等。
2. 逐项积分法：逐项积分是幂级数求和的常见方法之一。
其基本思想是逐个对幂级数的每一项进行积分。
例如，对于形如$\sum_{n=0}^{\infty}a_nx^n$的幂级数，我们可以对每一项进行积分得到$\sum_{n=0}^{\infty}\frac{a_n}{n+1}x^{n+1}+C$，其中$C$为常数。
三、实例分析接下来，我们将通过几个实例来说明幂级数的收敛性与求和方法。
幂级数的概念 收敛
lim(cos 1 )ein 0, (ch i )( z 1)n发散。
n
n
n1
n
综上 当 z 1 1时，该级数收敛，
当 z 1 1时，该级数发散。
(3) ln(in) ln in i arg(in) ln n i 故
2该
其中：ln in ln2 n ( )2
级 数
取M max{ , c1z0 , c2 z02 , , cN z0N }
故 cn z0n M 若 z z0 ,
n
则 z q1 z0
cn z n cn z0n
z z0
Mqn ,
由于 Mqn收敛,
n0
由比较判别法得 cnzn 收敛,
n0
cnzn绝对收敛。
n0
(2)用反证法，设z1 , z1 z0 ，有 cnz1n收敛，
定理1 (阿贝尔(Able)定理）
⑴ 若 级 数 ck zn在z z0 ( 0)收 敛,则 对 满 足 n0
z z0 的z,级 数 必 绝 对 收 敛.
⑵若级数在z z0发散,则对满足z z0 的z, 级数必发散.
证明
(1)
n1
cn
z0n收敛,
则
lim
n
cn
z0n
0，即
0，N 0，n N，恒有cnz0n
---幂级数的乘法运算
设f (z) anzn z r, n0
g(z)在 z R内 解 析 ， 且g(z) r
f [g(z)] an[g(z)]n z R n0 ---幂级数的代换(复合)运算
幂级 数的代换运 算在函数展 成幂级数中 很有用.
例3
把
z
1
b
表
幂级数及其收敛性
因为幂级数逐项积分后收敛半径不变，
所以，上式右端级数的收敛半径仍为 R = 1;
故收敛域为 1 < x ≤ 1 .
例 2 试求幂级数
的收敛区间 .
解 所给的幂级数为不缺项的，
它是发散的.
此为调和级数，
解 所给幂级数缺少 x 的奇次幂项，
对此正项级数利用比值审敛法
否则称为缺项的幂级数.
例如幂级数
缺 x 的奇次幂，
叫缺项的幂级数，
又如
是不缺项的幂级数.
定理
如果
该幂级数收敛;
该幂级数发散.
. 即
因为它不一定是正项级数，
当 x = 1 时，该级数收敛 .
而当 x = 1 时该级
数发散，
根据幂级数和的运算法则，其收敛半径应取较小的一个，
故 R = 1，
因此所得幂级数的收敛区间为 1 < x < 1 .
解 令 x 1 = y ， 则 x = y + 1，
它就是函数 f(x) 的幂级数表达式 .
幂级数 :
称为泰勒级数 .
利用麦克劳林公式将函数 f(x) 展开成幂级数的方法，称为直接展开法 .
例 1 试将函数 f(x) = ex 展开成 x 的幂级数.
可以
得到
二、 直接展开法
因此我们可以得到幂级数
显然，这个幂级数的收敛区间为 (,+ ) .
收敛区间为 (0 , 2) .
所以
因
解
则原题就转化成
将函数
于是有
最后，我们将几个常用函数的幂级数展开式列在下面，
以便于读者查用 .
其端点的收敛性与 m 有关.
最后一个式子称为二项展开式，
幂级数收敛域
幂级数收敛域幂级数的定义和收敛性幂级数是指形如$\sum\limits_{n=0}^{\infty}a_n(x-x_0)^n$的无穷级数，其中$a_n$为常数，$x_0$为实数。
在这里，我们将讨论幂级数的收敛性以及它的收敛域。
首先，我们需要了解几个基本概念。
如果一个幂级数的前$n$项和为$s_n(x)=\sum\limits_{k=0}^{n}a_k(x-x_0)^k$，那么当$n\rightarrow \infty$时，如果$s_n(x)$有极限$L$，那么我们称该幂级数在$x$处收敛于$L$。
如果对于所有$x\in \mathbb{R}$都有该极限存在，则称该幂级数在$\mathbb{R}$上一致收敛。
否则，我们称该幂级数发散。
接下来我们将介绍几个重要的判别法来判断一个幂级数是否收敛。
常比判别法常比判别法是最常用的判别法之一。
它基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L<1$，那么该幂级数在$x_0-\dfrac{1}{L}$到$x_0+\dfrac{1}{L}$之间一致收敛；如果$L>1$，则该幂级数在$x_0$处发散；如果$L=1$，则该判别法无法确定幂级数的收敛性。
比值判别法比值判别法基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\left|\dfrac{a_{n+1}}{a_n}\right|=L$，那么当$x-x_0<\dfrac{1}{L}$时，该幂级数绝对一致收敛；当$x-x_0>\dfrac{1}{L}$时，该幂级数发散。
当$L=0$时，该幂级数在整个实轴上绝对一致收敛；当$L=\infty$时，则需要借助其他方法来判断幂级数的收敛性。
根值判别法根值判别法基于以下事实：如果$\lim\limits_{n\rightarrow\infty}\sqrt[n]{|a_n|}=L$，那么当$x-x_0<\dfrac{1}{L}$时，该幂级数绝对一致收敛；当$x-x_0>\dfrac{1}{L}$时，该幂级数发散。
数学幂级数知识点总结
数学幂级数知识点总结一、幂级数的基本概念1. 幂级数的定义幂级数是由形如$a_n z^n$（$n$从0到$\infty$）的无穷多项式组成的级数。
其中$a_n$是级数的系数，$z$是自变量，$n$是正整数。
换句话说，级数的每一项都是$z$的幂函数。
2. 幂级数的收敛半径幂级数的收敛半径（又称为收敛域）是幂级数收敛到的最大半径，它可以通过求幂级数系数的极限来确定。
具体地说，如果极限 $\lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|}$ 存在，并且等于$R$，那么幂级数的收敛半径就是$R$。
收敛半径的值可以是0，也可以是正无穷大，也可以是一个实数。
3. 幂级数的收敛区间除了收敛半径外，幂级数还有一个收敛区间。
如果收敛半径是$R$，那么收敛区间就是令幂级数收敛的所有复数$z$的集合，这个集合可以是一个区间，也可以是一个线段，也可能是一个点。
4. 幂级数的性质幂级数有很多重要的性质，比如线性性质、微分和积分的性质、幂级数求导和求和的性质等，这些性质在分析和求解问题中非常有用。
二、幂级数的收敛性1. 幂级数的收敛域收敛域是指使幂级数收敛的所有自变量的集合。
根据幂级数的定义和收敛半径的概念，我们可以很容易地确定一个幂级数的收敛域。
2. 幂级数的收敛测试在实际应用中，我们常常需要判断一个幂级数是否收敛。
为了判断幂级数的收敛性，我们可以使用比较判别法、比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等各种不同的方法。
3. 幂级数的绝对收敛性如果一个幂级数的每一项都是非负数，并且级数的收敛性不依赖于幂级数的项的排列顺序，那么这个幂级数就是绝对收敛的。
4. 幂级数的一致收敛性一致收敛是一种比较强的收敛性，它要求幂级数在其收敛域内的每一个点上都收敛，并且幂级数的收敛速度是一致的。
一致收敛的幂级数在求导、求和等操作中有着重要的应用。
三、幂级数的求和1. 幂级数的求和函数幂级数的和函数是指将收敛域内的每一个复数$z$代入幂级数中得到的函数。
幂级数的收敛性归纳
幂级数的收敛性归纳幂级数是数学中一类重要的级数，其收敛性归纳讨论了幂级数收敛的条件以及推导收敛域的方法。
1. 幂级数的定义幂级数是指形如 $\sum a_n x^n$ 的级数，其中 $a_n$ 是系数，$x$ 是变量。
2. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性取决于其收敛域，即幂级数在哪些点处收敛。
2.1 收敛域的定义收敛域是指幂级数收敛的一组点构成的范围。
幂级数在收敛域内收敛，在收敛域外发散。
2.2 收敛域的边界收敛域的边界由收敛性定理决定，常见的收敛性定理有比值判别法、根值判别法、Raabe判别法等。
3. 幂级数的收敛性归纳幂级数的收敛性归纳是一种推导其收敛域的常用方法。
其基本思路是分析收敛域的边界点是否属于收敛域。
3.1 归纳收敛域的步骤- 步骤1：使用比值判别法或根值判别法等判断幂级数的绝对值收敛域；- 步骤2：根据比值判别法或根值判别法的结果，分析边界点是否收敛；- 步骤3：如果边界点收敛，则将边界点添加到绝对值收敛域得到完整的收敛域。
3.2 示例以幂级数 $\sum a_n x^n$ 为例，假设使用比值判别法得出其收敛域为 $|x|<1$。
接下来我们分析边界点 $x=1$ 和 $x=-1$ 的收敛性。
对于 $x=1$，幂级数变为 $\sum a_n$，如果 $\sum a_n$ 收敛，则 $x=1$ 是收敛点。
对于 $x=-1$，幂级数变为 $\sum (-1)^n a_n$，如果 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则 $x=-1$ 是收敛点。
假设 $\sum a_n$ 收敛，而 $\sum (-1)^n a_n$ 发散，那么收敛域为 $|x|\leqslant 1$。
如果同时 $\sum a_n$ 和 $\sum (-1)^n a_n$ 收敛，则收敛域为 $|x|<1$。
4. 总结幂级数的收敛性归纳是一种确定幂级数收敛域的有用方法。
通过分析边界点的收敛性，结合比值判别法、根值判别法等，可以得到幂级数的完整收敛域。
幂级数的概念和收敛性
幂级数的概念和收敛性幂级数是数学中一种重要的数列和函数的表示方式，它在各个学科领域都有广泛的应用。
本文将介绍幂级数的概念和收敛性，以及相关的性质和定理。
一、幂级数的定义幂级数是指形如∑an(x-a)n的无穷级数，其中an为常数系数，x为变量，a为常数，n为正整数。
幂级数可以看作是一种函数的展开方式，它的求和项依次乘以变量的幂次，然后求和。
例如：f(x) = ∑an(x-a)n （n从0到正无穷）其中an为常数系数，可以是实数或复数。
二、幂级数的收敛性对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们关心的问题是该级数在哪些点上收敛。
根据收敛性质，幂级数可以分为三种情况：1.绝对收敛：若幂级数的每一项的绝对值都收敛，则称幂级数绝对收敛。
对于绝对收敛的幂级数，我们可以任意调整项的次序而不会改变其和。
例如幂级数∑(1/2)n(x-1)n就是一个绝对收敛的级数。
2.条件收敛：若幂级数是收敛的，但不是绝对收敛的，则称幂级数条件收敛。
条件收敛级数的和依赖于项的次序。
例如幂级数∑(-1)n(x-1)n就是一个条件收敛的级数。
3.发散：若幂级数在任何点上都不收敛，则称其为发散。
例如幂级数∑n(x-1)n就是一个发散的级数。
三、幂级数的收敛半径对于给定的幂级数∑an(x-a)n，我们希望找到一个区间使得该幂级数在该区间内收敛。
这个区间被称为收敛区间。
而收敛区间的两个端点分别称为幂级数的收敛半径的两个极限。
幂级数的收敛半径R可以通过以下公式计算得到：R = 1/lim sup |an|^(1/n)其中lim sup |an|^(1/n)表示an^(1/n)的上确界。
收敛半径的求解对于判断幂级数在哪些点上收敛至关重要。
当x在幂级数的收敛半径内时，幂级数绝对收敛；当x在收敛半径的两个端点上时，需要分别讨论；当x超出收敛半径时，幂级数发散。
四、幂级数的性质和定理1. 幂级数具有线性性质：若幂级数∑an(x-a)n和∑bn(x-a)n绝对收敛，则幂级数∑(an+bn)(x-a)n也绝对收敛，并且有∑(an+bn)(x-a)n = ∑an(x-a)n + ∑bn(x-a)n。
微积分 第三版 第七章 7.5幂级数
1 1 1 n x dx dx x 0 n 0 x 01 x
x
x
(0 x 1 及
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S (x)
而
(0 x 1 及
ln (1 x) 1 , lim x 0 x
)
因此由和函数的连续性得: 1 ln(1 x) , x
所以收敛域为 ( , ) .
1 n! lim 1 n (n 1) !
an lim n ! (2) R lim n an 1 n (n 1) !
所以级数仅在 x = 0 处收敛 .
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例3.
的收敛半径 .
解: 级数缺少奇次幂项,不能直接应用定理2, 故直接由 比值审敛法求收敛半径.
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例4. 解: 令 级数变为
的收敛域.
1 an R lim lim 2 n n n an 1 n
1 2 n 1 (n 1)
2 n 1 (n 1) 2 lim n 2n n
当 t = 2 时, 级数为
当 t = – 2 时, 级数为
在以原点为中心、
为半径的对称区间内是收敛的
设
， 则在区间（-R，R）内幂级数收敛.
称R为幂级数的收敛半径. 在区间端点处，其收敛域发散需另行讨论 .
收敛半径R = +∞, 收敛区间（－∞ ，+ ∞ ） 收敛半径R = 0, 收敛域缩为一点，即只在 x = 0
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1 lim n 1 n n 1
幂级数
lim Rn ( x) lim f ( x) S n 1 ( x) 0 ,
n
n!
( x x0 ) lim S n1 ( x )
n n
x ( x0 ) x ( x0 )
n
S n1 ( x) f ( x) Rn ( x) lim S n1 ( x) f ( x)
S ( x) C e
x x
e
x
S ( x) 0
由S (0) 1 得 S ( x) e ,
故得
例6.
的和函数
解: 易求出幂级数的收敛半径为 1 , x＝±1 时级数发 散,
n x ( x ) x x n n 1 n 1
x x 1 x
f (0) f (0) x
x
2
f
(n)
(0)
x
n
n!
待解决的问题 : 1) 对此级数, 它的收敛域是什么 ？ 2) 在收敛域上 , 和函数是否为 f (x) ?
内具有 定理1 设 f (x) 在 x0 的某一邻域 各阶导数, 则 f (x) 在该邻域内能展开成泰勒级数的充要
n n ! ( n 1) !
对任何有限数 x , 其余项满足
e
3) 若 , 则对除 x = 0 以外的一切 x 原级发散 ,
因此 R 0 .
注:据此定理
的收敛半径为 R lim
an an 1
n
例1.求幂级数 的收敛半径及收敛域.
1
解: R lim
an an 1
n
lim
n
n 1 n 1
幂级数
n0
系数cn按乘法的定义求.
(相除后的收敛区间比原来两级数的 收敛区间小得多)
2.和函数的分析运算性质
(1)幂级数 an xn 的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
连续.
(2)幂级数 an xn的和函数 s( x) 在收敛域上
n0
可积, 并可逐项积分.
x
s( x)dx
0
x
(
0
an xn )dx
n1
(1)n1
n1
[(1)n1
n
xn
n xn
]
显然 s(0) 0,
(1)n1 xn1
1
,
n11Biblioteka x(1 x 1)两边积n分1得
x s(nt )dt x 1 dt
0
0 1 t
即 s( x) s(0) ln(1 x) s(x) ln(1 x),
0
(1)n1 xn ln(1 x)，(1 x 1).
1
即|
x |
1 时,
n0
级数 | an xn
n0
| 发散,
从而级数 anxn发散，
n0
于是收敛半径 R 1 .
limliamn1anx1 x0 a a nn
nn
（2）若 0, 根据比值审敛法，对任意的x，
级数an xn绝对收敛. 因此收敛半径 R .
n0
（3）若 , 对于除x 0外的一切x,
问题 如何求幂级数的收敛半径?
定理2
如果幂级数 an xn的所有系数 an 0，
n0
设
lim an1 a n
n
,
则 (1)
当
0 时, R
1；
幂级数的收敛性
由比值审敛法,
当|
x
|
1 时,
级数 | an xn
n0
| 收敛,
从而级数 an xn绝对收敛.
n0
当 | x | 1 时,
级数 | an xn | 发散,
n0
并且从某个 n开始 | an1 xn1 || an xn |, | an xn | 0
n0
n0
(2) 假设当x x0时发散,
而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛, 由(1)结论 则级数当 x x0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何说明
收敛区域
o
发散区域 R
R 发散区域 x
推论
如果幂级数 an x n 不是仅在x 0 一点收敛,也
证明 (1)
an x0n收敛,
lim
n
an
x0n
0,
n0
M , 使得 an x0n M (n 来自,1,2,)an xn
an x0n
xn x0n
an x0n
x x0
n
M
x x0
n
当 x
1时,
等比级数 M
n
x 收敛,
x0
n0 x0
an xn 收敛, 即级数 an xn收敛;
(2) 当 1 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时, 原级数发散.
(3) 当| 1 x | 1, x 0或x 2,
当 x 0时, 当 x 2时,
幂级数及其收敛性
其中
f ( n +1) (ξ ) rn ( x ) = ( x x 0 ) n +1 (n + 1)!
( ξ 在 x0 与 x 之间 ) .
称为泰勒公式 称为拉格朗日型余项 . ① 式称为泰勒公式 .
如果令 x 0 = 0 ,
就得到
f ′′(0) 2 f ( n ) ( 0) n f ( x ) = f (0) + f ′(0) x + x ++ x n! 2! + rn ( x ) . ②
还要考察函数 f ( x ) = e x 的麦克劳林公式中的余 项 , 因为
⑥ ⑥ ⑥ ⑥
e (θ x ) n + 1 rn ( x ) = x ( n + 1)!
(0 < θ < 1) ,
且θ x≤
θ x < x , 所以 e θ x < e x , 因而有
θ x
x
e e n +1 n +1 rn ( x ) = x x . < ( n + 1)! ( n + 1)!
f (0) = f ′(0) = f ′′(0) = = f ( n ) (0) = 1 .
因此我们可以得到幂级数
1 2 1 n 1 + x + x + + x + . 2! n!
⑥
显然， ∞,+ 显然，这个幂级数的收敛区间为 (∞ ∞) . 至于级 ∞
数
是否以 f ( x ) = e x 为和函数 , 收敛于 f ( x ) = e x ,
∞
n=0
∑1
∞
, 它是发散的 ;
当x = 4时，幂级数 化为∑ ( 1) n , 也是发散的 .
8.5 幂级数及其收敛性
例3 设有级数
n 2 a x a a x a x n 0 1 2 n0
n 0
(1)
(2)
an x n
的情形.因为只要把(2)中的 x 换成 x x0 , 就得到(1). 首先讨论幂级数(2)的收敛性问题. 显然形如(2)的任
意一个幂级数在 x 0 处总是收敛的. 除此之外, 它 还在哪些点收敛? 我们有下面重要的定理.
8.5 幂级数及其收敛性
1 幂级数收敛半径与区间 2 收敛半径的求法
3 幂级数的性质
一、幂级数的收敛半径与区间
幂级数的一般形式为 n 2 a ( x x ) a a ( x x ) a ( x x ) n 0 0 1 0 2 0
an ( x x0 )n , 为方便起见, 下面将重点讨论 x0 0 , 即
n n
幂级数(2)的收敛半径. 究竟用比式法还是根式法,
可以参考第十二章的相关说明.
xn 例1考虑级数 2 的收敛域. n
an1 n2 解由于 1( n ), 2 an ( n 1)
所以其收敛半径 R 1 , 即收敛区间为 ( 1, 1) ; 而当
Hale Waihona Puke ( 1)n 1 1 x 1 时, 有 2 , 由于级数 2 收敛, 所 2 n n n n n x x 以级数 2 在 x 1 时也收敛. 于是级数 2 n n 的收敛域为[ 1, 1].
定理3(柯西-阿达玛(Cauchy-Hadamard)定理)
对于幂级数(2), 设
lim | an |,
n
n
(5)
则当
(i) 0 时, 收敛半径 R
(ii) 0 时, R ; (iii) 时, R 0.
幂级数收敛区间
幂级数收敛区间1. 引言幂级数是数学分析中的一个重要概念，经常被应用在微积分、数值分析、物理学、工程学等学科中。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来，而在哪些范围外的数值则无法计算。
本文将详细阐述幂级数的收敛性以及如何求解幂级数的收敛区间。
2. 幂级数的定义幂级数是一个形如 $ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 的级数，其中 $ a_0, a_1, a_2, ... $ 是一系列常数，$ x $ 是变量。
幂级数通常是一种无限级数，也就是说，级数中的项数可以无限增加。
如果变量 $ x $ 取某个值 $ x_0 $ 时，级数$ \sum_{n=0}^\infty a_n x^n $ 收敛，那么这个值 $ x_0 $ 称为幂级数的收敛点。
幂级数的收敛点可以是一个实数、一个复数或者 $ x\to \infty $ 的情况。
幂级数的收敛性是指级数在什么条件下可以收敛。
幂级数的收敛区间是指幂级数在哪些范围内的数值可以被计算出来。
如果幂级数在所有数值上都收敛，那么这个幂级数的收敛区间为全体实数或复数。
3. 幂级数的收敛性幂级数的收敛性可以用收敛定理来判断。
下面介绍几个常用的收敛定理。
3.1 比值判别法比值判别法是幂级数收敛性最基本的定理之一。
比值判别法的表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \left| \frac{a_{n+1}}{a_n} \right| = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
3.2 根值判别法根值判别法是比值判别法的一种变形，表述如下：$$ \lim_{n \to \infty} \sqrt[n]{|a_n|} = L $$如果 $ L < 1 $，则幂级数收敛；如果 $ L > 1 $，则幂级数发散；如果 $ L = 1 $，则不能判断幂级数收敛性。
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求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1
应用达朗贝尔判别法
n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim x , 2 n 1 n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
x
2 n 1
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证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
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R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0
1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
n 级数 a x x 0, n 必发散. n 0
(否则由定理1知将有点x 0使 | an x | 收敛 )
n
收敛半径 R 0.
n 0
定理证毕.
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2.收敛性:
例如级数
x n 0
n
1 x x ,
2
当 x 1时, 收敛;
当 x 1时, 发散;
收敛域( 1,1); 发散域(,1] [1,);
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n0
收敛 , 也不是在整个数轴上都收敛 , 则必有一个 完全确定的正数 R 存在 , 使得
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
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a n 1 (1) 如果 lim ( 0)存在, n a n 1 由比值审敛法, 当 | x | 时, 级数 | an x n | 收敛,
从而级数 an x n绝对收敛.
n 0
n 0 n n 1 n | a x 并且从某个n开始 | an1 x || an x |, n | 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0
n
an x n 收敛, 即级数 an x n收敛;
n 0 n 0
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(2) 假设当x x0时发散,
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(2) 乘法
( an x ) ( bn x ) cn x . x R, R
n n
n
n 0
n 0
n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
2.幂级数和函数的性质和求法:
(1) 幂级数
a
n 0
n
x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n
( R, R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
(2) 幂级数
n a x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n 0
( R, R ) 内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.
南京农业大学理学院应用数学系
第一节 幂级数
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一、 幂级数及其收敛性
1.定义1 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 .
当x0 0时,
n0
n a x n , 其中a n 为幂级数系数 . n 0
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
n ( 1 ) 当x 1时, 级数为 , n n 1 1 当x 1时, 级数为 , n1 n
该级数收敛 该级数发散
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而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何意义 收敛区域 发散区域 R
o
R
发散区域
x
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推论 如 果 幂 级数 a n x n 不 是 仅 在x 0 一 点
1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,
当x 0时,
当x 1时,
1 级数为 , n1 n ( 1) n 级数为 , n n 1
发散
收敛
故收敛区间为(0,1].
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原级数绝对收敛.
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1 ( 2) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时,
原级数发散.
(3) 当 | 1 x | 1, x 0或x 2,
n 0
n 1 na x (a n x ) n .
当 x 0时,
当 x 2时,
( 1) 级数 收敛; n n 1 1 级数 发散; n 1 n
n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
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x 2 n 1 例 4 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2
定义2
正数R称为幂级数的收敛半径.
开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间.
从而决定了收敛域为以下四个区间之一 :
( R, R ), [ R, R ), ( R, R], [ R, R].
规定
(1) 幂级数只在x 0 处收敛,
R 0,
收敛区间 x 0 ;
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
1 2 当 x 1, 2
即 x 2时,
级数发散,
当x 2时, 级数为
n 1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n1 2
原级数的收敛区间为 ( 2 , 2 ).
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( 1) n 1 n ( ) 的收敛域. 例 3 求级数 n 1 x n1 由达朗贝尔判别法 解
un1 ( x ) n 1 1 (n ) un ( x ) n 1 1 x 1 x
1 (1) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时,
(3) 除法
收敛域内 bn x n 0
n 0
an x n 0 bn x n 0
n
n
cn x n .
n 0
注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛 区间小得多
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定理 1(阿贝尔 Abel 定理)
如果级数
n a x n 在 x x 0 ( x 0 0 ) 处收敛,则 n0
它在满足不等式 x x 0 的一切 x 处绝对收敛 ;
如果级数
n a x n 在 x x0 处发散,则它在满足 n 0
不等式 x x 0 的一切x 处发散.
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即 s( x )dx ( a n x )dx
x x n 0 0 n 0 x
a n x n dx