幂级数及其收敛性(精)

DEPARTMENT OF APPLIED MATHEMATICS
求下列幂级数的收敛区间: n x ( 2) ( nx )n ; (1) ( 1)n ; n n 1 n 1
xn ( 3) ; n 1 n!
n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1

应用达朗贝尔判别法
n 1 un1 ( x ) 1 2 2 lim lim x , 2 n 1 n u ( x ) n x 2 n n 2 1 2 即 x 2时, 级数收敛, 当 x 1, 2
x
2 n 1
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证明 对级数 an x n 应用达朗贝尔判别法
n 0
a n1 设 lim n a n
(或 lim n an )
n
lim
n
a n 1 x n 1 an x n
a n 1 lim x x, n a n
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R , 收敛区间( , ) .
问题 如何求幂级数的收敛半径?
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定理 2 如果幂级数
n a x n 的所有系数an 0 , n 0

1 (1) 则当 0 时, R ; (2) 当 0 时,R ; (3) 当 时,R 0 .
从而级数 an x 绝对收敛. 收敛半径 R ;
n n 0
( 3) 如果 ,
n 级数 a x x 0, n 必发散. n 0
(否则由定理1知将有点x 0使 | an x | 收敛 )
n

收敛半径 R 0.
n 0
定理证毕.
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2.收敛性:
例如级数
x n 0

n
1 x x ,
2
当 x 1时, 收敛;
当 x 1时, 发散;
收敛域( 1,1); 发散域(,1] [1,);
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n0

收敛 , 也不是在整个数轴上都收敛 , 则必有一个 完全确定的正数 R 存在 , 使得
当 x R 时,幂级数绝对收敛;
当 x R 时,幂级数发散;
当 x R与x R 时,幂级数可能收敛也可能发散.
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a n 1 (1) 如果 lim ( 0)存在, n a n 1 由比值审敛法, 当 | x | 时, 级数 | an x n | 收敛,
从而级数 an x n绝对收敛.


n 0
n 0 n n 1 n | a x 并且从某个n开始 | an1 x || an x |, n | 0
x x 当 1时, 等比级数 M 收敛, x0 x0 n 0

n
an x n 收敛, 即级数 an x n收敛;
n 0 n 0


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(2) 假设当x x0时发散,
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(2) 乘法
( an x ) ( bn x ) cn x . x R, R
n n
n



n 0
n 0
n 0
(其中 cn a0 bn a1 bn1 an b0 )
2.幂级数和函数的性质和求法:
(1) 幂级数
a
n 0

n
x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n
( R, R ) 内连续,在端点收敛,则在端点单侧连续.
(2) 幂级数
n a x n 的和函数s( x ) 在收敛区间 n 0
( R, R ) 内可积,且对x ( R, R ) 可逐项积分.
南京农业大学理学院应用数学系
第一节 幂级数
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一、 幂级数及其收敛性
1.定义1 形如 a n ( x x 0 ) n 的级数称为幂级数 .
当x0 0时,
n0

n a x n , 其中a n 为幂级数系数 . n 0
例2
a n 1 n 解 (1) lim lim 1 R 1 n a n n 1 n
n ( 1 ) 当x 1时, 级数为 , n n 1 1 当x 1时, 级数为 , n1 n
该级数收敛 该级数发散
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而有一点x1 适合 x1 x0 使级数收敛,
由(1)结论 则级数当 x x 0 时应收敛,
这与所设矛盾.
几何意义 收敛区域 发散区域 R

o

R

发散区域
x
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推论 如 果 幂 级数 a n x n 不 是 仅 在x 0 一 点

1 R , 2
1 1 即 x 收敛, 2 2
x (0,1)收敛,

当x 0时,
当x 1时,
1 级数为 , n1 n ( 1) n 级数为 , n n 1
发散
收敛
故收敛区间为(0,1].
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原级数绝对收敛.
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1 ( 2) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 2 x 0时,
原级数发散.
(3) 当 | 1 x | 1, x 0或x 2,
n 0
n 1 na x (a n x ) n .
当 x 0时,
当 x 2时,
( 1) 级数 收敛; n n 1 1 级数 发散; n 1 n
n
故级数的收敛域为(,2) [0,).
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x 2 n 1 例 4 求幂级数 n 的收敛区间. n 1 2 x x3 x5 解 级数为 2 3 缺少偶次幂的项 2 2 2
定义2
正数R称为幂级数的收敛半径.
开区间(-R,R)称为幂级数的收敛区间.
从而决定了收敛域为以下四个区间之一 :
( R, R ), [ R, R ), ( R, R], [ R, R].
规定
(1) 幂级数只在x 0 处收敛,
R 0,
收敛区间 x 0 ;
(2) 幂级数对一切x 都收敛,
1 2 当 x 1, 2
即 x 2时,

级数发散,
当x 2时, 级数为
n 1
1 , 2
级数发散,
1 当x 2时, 级数为 , 级数发散, n1 2
原级数的收敛区间为 ( 2 , 2 ).

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( 1) n 1 n ( ) 的收敛域. 例 3 求级数 n 1 x n1 由达朗贝尔判别法 解
un1 ( x ) n 1 1 (n ) un ( x ) n 1 1 x 1 x
1 (1) 当 1, 1 x 1, 1 x
即 x 0或x 2时,
(3) 除法
收敛域内 bn x n 0
n 0

an x n 0 bn x n 0


n
n
cn x n .
n 0

注： 相除后的收敛区间比原来两级数的收敛 区间小得多
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定理 1(阿贝尔 Abel 定理)
如果级数
n a x n 在 x x 0 ( x 0 0 ) 处收敛,则 n0
它在满足不等式 x x 0 的一切 x 处绝对收敛 ;
如果级数
n a x n 在 x x0 处发散,则它在满足 n 0

不等式 x x 0 的一切x 处发散.
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即 s( x )dx ( a n x )dx
x x n 0 0 n 0 x

a n x n dx
n 0


0
a n n 1 x . n 0 n 1
幂级数的运算
1.代数运算性质
设 an x n和 bn x n的收敛半径各为 R1和R2 ,
n 0 n 0
R minR1 , R2
x .
n
(1) 加（减）法
an x bn x c n 0 n 0
n n
n 0



n
x R, R
(其中 cn an bn )
（收敛半径不变)
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(3) 幂级数 a n x 的和函数s( x ) 在收敛区间
n

( R, R ) 内可导, 并可逐项求导任意次.
n 0
即 s( x ) ( a n x n )
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故收敛区间是( 1,1] .
( 2) ( nx )n ;

lim n an lim n , R o, n n
级数只在 x 0 处收敛,
n 1
xn ( 3) 0, R , lim n n 1 n a n
收敛区间( , ) .
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n 2 1 n n (4) ( 1) (x ) . n 2 n1 a n 1 2 n lim lim 2 n a n n 1 n
从而级数 an x 发散.
n n 0
当 | x |
1
n 0
时, 级数 | an x n | 发散,

收敛半径 R
1

;
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( 2) 如果 0, x 0, n1 a n1 x n 有 0 ( n ), 级数 | a x | 收敛, n n an x n 0
证明 (1)
an x0 收敛, n 0
n

lim an x0 0,
n
n
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M , 使得 an x0 M
n n n
n
( n 0,1,2,)
n n
x x x n a n x a n x0 n a n x0 M x0 x0 x0