矩形的判定练习题

矩形的判定
【基础诊断】
1．如图18－2－16，在平行四边形ABCD 中，请添加一个条件：________(不再添加其他字母和辅助线)，使得平行四边形ABCD 成为矩形．
图18－2－16
2．②
如图18－2－17，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD 是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC ，BD 的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．
图18－2－17
(1)当AC ________(填“等于”或“不等于”)BD 时，门框符合要求； (2)这种做法的根据是________________________．
3．已知：如图18－2－18，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.求证：平行四边形ABCD 是矩形．
图18－2－18
命题点 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形
4．如图18－2－19，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CE ∥AB ，且CE ＝1
2AB .
求证：四边形CDBE 是矩形．
图18－2－19
命题点 2 有三个角是直角的四边形是矩形
5．如图18－2－20，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13.求证：四边形ABCD 是矩形．
图18－2－20
6．已知：如图18－2－21所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明．
图18－2－21
命题点 3 对角线相等的平行四边形是矩形
7．如图18－2－22，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可以添加的条件是( )
图18－2－22
A．AB＝CD B．AD＝BC
C．AB＝BC D．AC＝BD
8．如图8－2－23，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件：________，使四边形ABCD为矩形．
图18－2－23
9．如图18－2－24，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．
图18－2－24
10．如图18－2－25，平行四边形ABCD中，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE，BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A.求证：四边形BECD是矩形．
图18－2－25
命题点 4 矩形的性质与判定
11．如图18－2－26，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )
图18－2－26
12．矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝5 cm，P，Q分别为AD，BC上的动点，点P从点D出发向点A运动，运动到点A时停止，点Q同时从点B出发向点C运动，运动到点C时停止，点P，Q的
速度都是1 cm/s，设点P，Q运动的时间为t s.
(1)如图18－2－27①，连接PQ，AQ，CP，当t＝________时，四边形ABQP是矩形；
⑧(2)如图18－2－27②，当点P，Q运动1 s时，连接AQ，CP，BP，DQ，AQ交BP于点H，CP 交DQ于点F，得到四边形HPFQ.求证：四边形HPFQ是矩形．
图18－2－27
13．如图18－2－28，以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：
(1)四边形ADEF是什么特殊形状的四边形
(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形
(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°
图18－2－28
答案
1．答案不唯一，如∠A ＝90°
2．(1)等于 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD . ∵∠1＝∠2，
∴OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，即AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形． 4．证明：∵AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ， ∴CD ⊥AB ，AD ＝BD ＝1
2AB ，∴∠CDB ＝90°.
∵CE ＝1
2AB ，∴CE ＝BD .
∵CE ∥AB ，∴CE ∥BD ， ∴四边形CDBE 是平行四边形． 又∵∠CDB ＝90°， ∴四边形CDBE 是矩形．
5．证明：∵四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，∴∠ADC ＝90°. 又∵△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，满足132
＝52
＋122
， ∴△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． 6．解：四边形ADCE 是矩形． 证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠CAD . ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAN ＝∠CAN ，
∴∠DAN ＝12∠BAC ＋1
2
∠CAM ＝90°.
又∵CE ⊥AN ，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形．
7．D [解析] 因为四边形ABCD 的对角线互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以只需添加对角线相等即AC ＝BD ，即可得四边形ABCD 是矩形．
8．答案不唯一，如AD ＝BC 等 [解析] 四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，所以只需添加条件使四边形ABCD 是平行四边形即可．因为AD ∥BC ，所以可以添加AD ＝BC ，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．
9．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ＝BC ，
∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE . ∵E 为BC 的中点，
∴EB ＝EC ，∴△ABE ≌△FCE ，∴AB ＝CF . ∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵AF ＝AD ，∴BC ＝AF ， ∴四边形ABFC 是矩形．
10．证明：在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ，
AB ＝CD ，AB ∥CD ，则BE ∥CD .
又∵AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴OD ＝OE ，OC ＝OB . ∵∠BOD ＝2∠A ，∠A ＝∠BCD ，∠BOD ＝∠OCD ＋∠ODC ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴OC ＝OD ，
∴OC ＋OB ＝OD ＋OE ，即BC ＝ED ， ∴四边形BECD 是矩形．
11．D [解析] 连接AP .∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2
＋AC 2
＝BC 2
， ∴∠BAC ＝90°.又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP . ∵M 是EF 的中点，∴AM ＝12EF ＝1
2
AP .
∵AP 的最小值为直角三角形ABC 斜边上的高，等于12
5，
∴AM 的最小值是6
5.
12．解：(1)5
2
[解析] ∵四边形ABCD 是矩形，∴AD ＝BC ＝5 cm ，AD ∥BC ，∠B ＝90°.当AP ＝BQ 时，四边形
ABQP 是矩形，即5－t ＝t ，解得t ＝5
2
.
(2)证明：在矩形ABCD 中，AD ＝BC ，AD ∥BC .∵当t ＝1时，PD ＝BQ ＝1 cm ，∴四边形DPBQ 是平行四边形，∴BP ∥DQ .∵AD ＝BC ，AD ∥BC ，DP ＝BQ ，∴AP ＝CQ ，AP ∥CQ ，∴四边形APCQ 是平行四边形，∴AQ ∥CP ，∴四边形HPFQ 是平行四边形．∵在矩形ABCD 中，
∠ADC ＝∠ABQ ＝90°，AD ＝BC ＝5 cm ，AB ＝CD ＝2 cm ，由勾股定理得：CP ＝ 5 cm ，BP ＝2 5 cm ，∴BP 2
＋CP 2
＝BC 2
，∴∠BPC ＝90°，
∴四边形HPFQ 是矩形．
13．解：(1)四边形ADEF 是平行四边形． 理由：∵△ABD ，△EBC 都是等边三角形， ∴AD ＝BD ＝BA ，BC ＝BE ＝EC ，
∠DBA ＝∠EBC ＝60°，∴∠DBE ＋∠EBA ＝∠ABC ＋∠EBA ，∴∠DBE ＝∠ABC . 在△DBE 和△ABC 中，∵BD ＝BA ，∠DBE ＝∠ABC ，BE ＝BC ，∴△DBE ≌△ABC ， ∴DE ＝AC .
又∵△ACF 是等边三角形， ∴AC ＝AF ，∴DE ＝AF . 同理可证：AD ＝EF ，
∴四边形ADEF 是平行四边形．
(2)∵四边形ADEF 是矩形，∴∠DAF ＝90°，
∴∠BAC ＝360°－∠DAF －∠DAB －∠FAC ＝360°－90°－60°－60°＝150°， ∴当∠BAC ＝150°时，四边形ADEF 是矩形．
(3)当∠BAC ＝60°时，以A ，D ，E ，F 为顶点的四边形不存在．
理由如下：
若∠BAC＝60°，则∠DAF＝360°－∠BAC－∠DAB－∠FAC＝360°－60°－60°－60°＝180°.
此时，A，D，E，F四点共线，∴此时以A，D，E，F为顶点的四边形不存在．。