矩形的判定练习题

矩形的判定

【基础诊断】

1．如图18－2－16，在平行四边形ABCD 中，请添加一个条件：________(不再添加其他字母和辅助线)，使得平行四边形ABCD 成为矩形．

图18－2－16

2．②

如图18－2－17，工人师傅砌门时，要想检验门框ABCD 是否符合设计要求(即门框是不是矩形)，在确保两组对边分别平行的前提下，只要测量出对角线AC ，BD 的长度，然后看它们是否相等就可以判断了．

图18－2－17

(1)当AC ________(填“等于”或“不等于”)BD 时，门框符合要求； (2)这种做法的根据是________________________．

3．已知：如图18－2－18，在平行四边形ABCD 中，对角线AC ，BD 相交于点O ，∠1＝∠2.求证：平行四边形ABCD 是矩形．

图18－2－18

命题点 1 有一个角是直角的平行四边形是矩形

4．如图18－2－19，在△ABC 中，AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ，CE ∥AB ，且CE ＝1

2AB .

求证：四边形CDBE 是矩形．

图18－2－19

命题点 2 有三个角是直角的四边形是矩形

5．如图18－2－20，在四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13.求证：四边形ABCD 是矩形．

图18－2－20

6．已知：如图18－2－21所示，在△ABC中，AB＝AC，AD⊥BC，垂足为D，AN是△ABC的外角∠CAM的平分线，CE⊥AN，垂足为E，猜想四边形ADCE的形状，并给予证明．

图18－2－21

命题点 3 对角线相等的平行四边形是矩形

7．如图18－2－22，四边形ABCD的对角线互相平分，要使它成为矩形，那么可以添加的条件是( )

图18－2－22

A．AB＝CD B．AD＝BC

C．AB＝BC D．AC＝BD

8．如图8－2－23，四边形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，AD∥BC，AC＝BD.试添加一个条件：________，使四边形ABCD为矩形．

图18－2－23

9．如图18－2－24，已知平行四边形ABCD中，E是BC的中点，连接AE并延长，交DC的延长线于点F，且AF＝AD，连接BF，求证：四边形ABFC是矩形．

图18－2－24

10．如图18－2－25，平行四边形ABCD中，延长边AB到点E，使BE＝AB，连接DE，BD和EC，设DE交BC于点O，∠BOD＝2∠A.求证：四边形BECD是矩形．

图18－2－25

命题点 4 矩形的性质与判定

11．如图18－2－26，在△ABC中，AB＝3，AC＝4，BC＝5，P为边BC上一动点，PE⊥AB于点E，PF⊥AC于点F，M为EF的中点，则AM的最小值为( )

图18－2－26

12．矩形ABCD中，AB＝2 cm，BC＝5 cm，P，Q分别为AD，BC上的动点，点P从点D出发向点A运动，运动到点A时停止，点Q同时从点B出发向点C运动，运动到点C时停止，点P，Q的

速度都是1 cm/s，设点P，Q运动的时间为t s.

(1)如图18－2－27①，连接PQ，AQ，CP，当t＝________时，四边形ABQP是矩形；

⑧(2)如图18－2－27②，当点P，Q运动1 s时，连接AQ，CP，BP，DQ，AQ交BP于点H，CP 交DQ于点F，得到四边形HPFQ.求证：四边形HPFQ是矩形．

图18－2－27

13．如图18－2－28，以△ABC(∠BAC≠60°)的三边为边在BC的同一侧分别作三个等边三角形，即△ABD，△BCE，△ACF，请回答下列问题：

(1)四边形ADEF是什么特殊形状的四边形

(2)当△ABC满足什么条件时，四边形ADEF是矩形

(3)为什么题中有条件∠BAC≠60°

图18－2－28

答案

1．答案不唯一，如∠A ＝90°

2．(1)等于 (2)对角线相等的平行四边形是矩形 3．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴OA ＝OC ，OB ＝OD . ∵∠1＝∠2，

∴OA ＝OB ，∴OA ＝OB ＝OC ＝OD ，即AC ＝BD ，∴平行四边形ABCD 是矩形． 4．证明：∵AC ＝BC ，CD 平分∠ACB 交AB 于点D ， ∴CD ⊥AB ，AD ＝BD ＝1

2AB ，∴∠CDB ＝90°.

∵CE ＝1

2AB ，∴CE ＝BD .

∵CE ∥AB ，∴CE ∥BD ， ∴四边形CDBE 是平行四边形． 又∵∠CDB ＝90°， ∴四边形CDBE 是矩形．

5．证明：∵四边形ABCD 中，AB ∥CD ，∠BAD ＝90°，∴∠ADC ＝90°. 又∵△ABC 中，AB ＝5，BC ＝12，AC ＝13，满足132

＝52

＋122

， ∴△ABC 是直角三角形，且∠B ＝90°， ∴四边形ABCD 是矩形． 6．解：四边形ADCE 是矩形． 证明：∵AB ＝AC ，AD ⊥BC ， ∴AD 平分∠BAC ，即∠BAD ＝∠CAD . ∵AN 是△ABC 的外角∠CAM 的平分线， ∴∠MAN ＝∠CAN ，

∴∠DAN ＝12∠BAC ＋1

2

∠CAM ＝90°.

又∵CE ⊥AN ，AD ⊥BC ，∴∠ADC ＝∠AEC ＝90°，∴四边形ADCE 是矩形．

7．D [解析] 因为四边形ABCD 的对角线互相平分，所以四边形ABCD 是平行四边形，所以只需添加对角线相等即AC ＝BD ，即可得四边形ABCD 是矩形．

8．答案不唯一，如AD ＝BC 等 [解析] 四边形ABCD 的对角线AC ＝BD ，所以只需添加条件使四边形ABCD 是平行四边形即可．因为AD ∥BC ，所以可以添加AD ＝BC ，即一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．

9．证明：∵四边形ABCD 是平行四边形， ∴AB ∥CD ，AD ＝BC ，

∴∠BAE ＝∠CFE ，∠ABE ＝∠FCE . ∵E 为BC 的中点，

∴EB ＝EC ，∴△ABE ≌△FCE ，∴AB ＝CF . ∵AB ∥CF ，∴四边形ABFC 是平行四边形． ∵AF ＝AD ，∴BC ＝AF ， ∴四边形ABFC 是矩形．

10．证明：在平行四边形ABCD 中，∠A ＝∠BCD ，

AB ＝CD ，AB ∥CD ，则BE ∥CD .

又∵AB ＝BE ，∴BE ＝CD ，∴四边形BECD 为平行四边形，∴OD ＝OE ，OC ＝OB . ∵∠BOD ＝2∠A ，∠A ＝∠BCD ，∠BOD ＝∠OCD ＋∠ODC ，∴∠OCD ＝∠ODC ， ∴OC ＝OD ，

∴OC ＋OB ＝OD ＋OE ，即BC ＝ED ， ∴四边形BECD 是矩形．

11．D [解析] 连接AP .∵在△ABC 中，AB ＝3，AC ＝4，BC ＝5，∴AB 2

＋AC 2

＝BC 2

， ∴∠BAC ＝90°.又∵PE ⊥AB 于点E ，PF ⊥AC 于点F ，∴四边形AEPF 是矩形，∴EF ＝AP . ∵M 是EF 的中点，∴AM ＝12EF ＝1

2

AP .