两点间距离公式数学阅读教学反思

两点间距离公式的教学设计

教学目标

1、掌握两点间的距离公式，熟练地运用距离公式来解决实际问题；

2、培养学生的数学阅读能力、阅读方法；

3、渗透用代数的方法解决几何问题的思想。

教学内容

重点：两点间距离公式及其应用。

难点：对课本例题的深层次的思考和知识的迁移。

教学过程

一、 复习提问

师：上节课我们学习了有向线段的概念，我们先来复习一下。

提问1：请回答AB AB 、、有什么不同？

生: AB 表示以A 为起点,B 为终点的有向线段，是一个几何图形; AB 是有向线段的长度；AB 表示有向线段的数量，AB 与AB 都是一个实数。 师：提问2：设在x 轴上或与x 轴平行时，有向线段的数量、长度公式如何用B A ,点在x 轴上的坐标21,x x 表示呢？ 生：2121,x x AB x x AB -=-=。

师：提问3：沙尔公式的内容是什么？

生：设轴上点n A A A A ,,,,321 的坐标分别n x x x x ,,,,321 为那么有n n n A A A A A A A A 113221=+++- ，或0113221=++++-A A A A A A A A n n n 。

二、新课导入 师：如果与y 轴平行或在y 轴上，有向线段的数量与长度如何求？

生：设B A ,两点的纵坐标为21,y y ，则2121,y y AB y y AB -=-= 师：那么，当有向线段与坐标轴不平行时，能否通过端点的坐标求出线段的长，即两端点间的距离呢？

我们可以通过作有向线段在x 轴，y 轴上的投影（射影），利用勾股定理即可求出线段的长，即两端点间的距离。如图1，设

),(),,(222111y x P y x P 两点。从21,P P 分别向x 轴和y 轴作垂线22221111,,,N P M P N P M P ，相交于点Q 。

在Q P P Rt 21∆中2

221221Q P Q P P P += 因为12211x x M M Q P -== 所以121x x Q P -=

同样21122y y N N Q P -== 所以212y y Q P -= 所以221212*********)()(y y x x y y x x P P -+-=-+-=

于是，我们得到平面上两点间的距离公式：

22121221)()(y y x x P P -+-=

下面我们来看看这个公式的应用。

例1 求下列B A ,两点间的距离：

（1）)1,5(),1,2(-B A ；

（2）)0,(),2,(22ac B abc ab A 。

解（1）

1349)11()25(22=+=--+-=AB （2）)()(4)()20()(22222122222222222b c a b c a c b a b c a abc ab ac AB +=+=+-=-+-=

例2 ABC ∆中，AO 是BC 边上的中线，求证: )(2222

2OC AO AC AB +=+。

解 建立平面直角坐标系，如图2，设点C B A O ,,,的坐标分别为)0,(),0,(),,(),00(a C a B c b A O -，，利用平面上两点间距离公式有22222222

2222)()(c b a a b c c a b AC AB ++=-++++=+ 又有22222c b a OC AO ++=+，

从而)(22222OC AO AC AB +=+。

师：看过上述例题后，你知道了一些什么？

启发1：若不按例2的方法建立平面直角坐标系，

能否证明上述结论？

例如，方法1：见图3，设

)0,2(),0,0(),,(),0(a C B c b A a O ，，证明从略。

方法2：见图4，设),(),,(),(332211y x C y x B y x A ，，

因为D 是BC 的中点，所以)2

,2(3232y y x x D ++。

由此可见，解答例2，建立坐标系的方法是最简单

的。

启发2：通过本题，我们体会到解析几何的一种基

本思想方法就是建立坐标系，将几何问题通过代数计算

的方法加以解决。试想，此题若不通过建立坐标系，而是用纯平面几何的办法来解决，将怎样添辅助线？

启发3：如果本题不是书上的例题，而是一道考试题，谁能用学过的办法

比较简单地将其解决呢？

师：我们可以通过学过的余弦定理来解。

设n OC m AO AOC ===∠,,θ 则

)1(cos 2)cos(222222θ

θπmn n m mn n m AB ++=--+=)2(cos 2222θ

mn n m AC -+= 得)2()1(+ )(2)(2222222OC AO n m AC AB +=+=+

这就是说，我们要善于利用已知将为之转化为已知，不断

地培养自己分析问题，解决问题的能力。

启发4：读了本例题后，你们知道本例题的几何意义是什么吗？

我们可以这样想：将ABC ∆沿边作一个对称变换（中心对称），得到BC A ’

∆，则由本题解决)(22222OC AO AC AB +=+，可知平行四边形四边长的平方和等于对角线的平方和。

三、课堂练习

设点P 为矩形A B C D 所在平面上任意一点，求证：2222PD PB PC PA +=+。

方法1：

建立如图7所示坐标系，设),(),,(),,0(),0(y x P b a D b A a C ，。

by

ax b a y x y a x b y x PC PA 2222)()(22222

22222--+++=+-+-+=+因为 by ax b a y x b y a x y x PD PB 2222)()(22222

22222--+++=-+-++=+ 所以2

222PD PB PC PA +=+。

方法2：

以矩形ABCD 的对称中心O 为原点，建立如图8

所示的