事件的相互独立性 ----习题课
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=0.8(1-0.8)+(1-0.8) 0.8 =0.16+0.16=0.32.
(3)解法1："两人各射击一次，至少有一个击中目标” 的概率为P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.64+0.32=0.96.
解法2："两人都未击中目标"的概率是 P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.2 0.2=0.04,
3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为"蓝色骰子的点 数为3或6"，事件B为"两颗骰子的点数之和大于8". (1)求 P(A), P(B), P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点 数之和大于8的概率为多少？
点拨：(1)利用古典概型公式求解.(2)利用条件概 率公式求解.
解：(1)设x为掷红色骰子所得的点数，y为掷蓝色骰子
事件的相互独立性
----习题课
1.从一副扑克牌（去掉大、小王）中任抽一张，设 A="抽到K"，B="抽到红牌"，C="抽到J"，那么下列 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1) A与B; (2) C与A.
点拨：利用相互独立事件的定义（即P(AB)=P(A)P(B)） 可以判定两个事件是否为相互独立事件，这是用定量 的方法进行分析的，定量计算可以较为准确、果断地 判断两个事件是否相互独立，因此我们必须熟练掌握 这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件 之间的区别，也就是说若两个事件相互独立，则一定 不能互斥（对立）；反之，若两个事件互斥（对立）， 则一定不能相互独立。
故P(A)P(B)= 1 1 1 , 13 2 26
事件 AB为"既抽到K 又抽到红牌"，即"抽到红桃K
或方块K", 故P(AB)= 2 1 ,从而P(A)P(B)=P(AB), 52 26
因此A与B是相互独立事件。
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到
K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，
P(AB)=P(A)P(B)=0.8 0.8=0.64.
(2)"两人各射击一次，恰有一人击中目标"包括两种情 况：一种是甲击中乙未击中，即AB ，另一种是甲未 击中乙击中，即AB.根据题意， 这两种情况在各射击一次时不可能同时发生， 即事件AB与AB是互斥的， 所求概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
所得的点数，对所有可能的事件与(x,y)建立对应关系，
可知：
P(A)= 12 1 , P(B)= 10 5 , P(AB)= 5 .
36 3
36 18
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(2)解法1： P(B | A) n(AB) 5 . n(A) 12
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解法2：
P(B |
A)
P(AB) P(A)
36 1
5 12
解法2：他两次都未遇到红灯的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.4 0.4=0.16.
所以至少有1次遇到红灯的概率是1-0.16=0.84 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 2 和 3 .假设两人射击是否击中目标之间没有影响， 34 每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终 止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
至少有一人击中目标的概率为 1-P(AB)=1-0.04=0.96.
解题归纳：在求事件的概率时，有时会遇到求“至 少”或“至多”等事件的概率问题，它们是诸多事 件的和或积，如果从正面考虑这些问题时，求解过 程烦琐。但这些事件的对立事件的概率易求出， 此时，可利用逆向思维，运用“正难则反”的思想 求解。
点拨：甲、乙两人分别击中目标为相互独立事件，故 可以根据相互独立事件的概率公式求解。
解：设"甲射击一次，击中目标"为事件A,"乙射击 一次,击中目标"为事件B，则A与B相互独立，"甲、 乙两人都击中目标"是事件AB,"恰有一个击中目标" 是AB或AB，"至少有一人击中目标"是AB或AB或AB.
(1)"两人各射击一次，都击中目标"就是事件AB，又 事件A与B相互独立，
.
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4.某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个 交通岗，假设他在这两个交通岗外遇到红灯的事件 是相互独立的，并且概率都是0.6，计算： (1)两次都遇到红灯的概率； (2)至少有1次遇到红灯的概率；
点拨：本题考查相互独立事件，互斥(对立)事件概率 的计算方法，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 对于"至多""至少"等问题，常常先求其对立事件的 概率。
解：(1)记"他第一次遇到红灯"为事件A,"他第二次 遇到红灯"为事件B,由题意知A与B是相互独立的， 因此，"他两次都遇到红灯"就是事件AB,
根据相互独立事件的概率乘法公式， 得P(AB)=P(A)P(B)=0.6 0.6=0.36. 所以,他两次都遇到红灯的概率是0.36.
(2)解法1：A "他第一次没有遇到红灯"，B "他第二 次没有遇到红灯"，所以 AB="他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯"， AB="他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯"， 并且AB与AB是互斥的， 因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P[(AB) (AB)] =P(AB)+P(AB)=(1-0.6) 0.6+0.6 (1-0.6) 0.48. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是 P(AB) P[(A B) (A B)] 0.36 0.48 0.84. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，
由于P(A)= 1 0, P(C) 1 0,而 P(AC) 0,
13
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所以A与C不是相互独立事件.又抽不到K不一定抽到J,
故A与C并非对立事件。
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2.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的 概率都是0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率。
解：(1)由于事件A为"抽到K",事件B为"抽到红牌"， 故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能 抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是 互斥事件，更不是对立事件。
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P(A)= 4 1 , 52 13
抽到红牌的概率为P(B)= 26 1 . 52 2
(3)解法1："两人各射击一次，至少有一个击中目标” 的概率为P(AB)+[P(AB)+P(AB)]=0.64+0.32=0.96.
解法2："两人都未击中目标"的概率是 P(A)P(B)=(1-0.8)(1-0.8)=0.2 0.2=0.04,
3.抛掷红、蓝两颗骰子，设事件A为"蓝色骰子的点 数为3或6"，事件B为"两颗骰子的点数之和大于8". (1)求 P(A), P(B), P(AB); (2)当已知蓝色骰子的点数为3或6时，两颗骰子的点 数之和大于8的概率为多少？
点拨：(1)利用古典概型公式求解.(2)利用条件概 率公式求解.
解：(1)设x为掷红色骰子所得的点数，y为掷蓝色骰子
事件的相互独立性
----习题课
1.从一副扑克牌（去掉大、小王）中任抽一张，设 A="抽到K"，B="抽到红牌"，C="抽到J"，那么下列 事件是否相互独立？是否互斥？是否对立？为什么？
(1) A与B; (2) C与A.
点拨：利用相互独立事件的定义（即P(AB)=P(A)P(B)） 可以判定两个事件是否为相互独立事件，这是用定量 的方法进行分析的，定量计算可以较为准确、果断地 判断两个事件是否相互独立，因此我们必须熟练掌握 这种方法，但需要注意的是互斥事件与相互独立事件 之间的区别，也就是说若两个事件相互独立，则一定 不能互斥（对立）；反之，若两个事件互斥（对立）， 则一定不能相互独立。
故P(A)P(B)= 1 1 1 , 13 2 26
事件 AB为"既抽到K 又抽到红牌"，即"抽到红桃K
或方块K", 故P(AB)= 2 1 ,从而P(A)P(B)=P(AB), 52 26
因此A与B是相互独立事件。
(2)从一副扑克牌(去掉大、小王)中任取一张，抽到
K就不可能抽到J，抽到J就不可能抽到K，
P(AB)=P(A)P(B)=0.8 0.8=0.64.
(2)"两人各射击一次，恰有一人击中目标"包括两种情 况：一种是甲击中乙未击中，即AB ，另一种是甲未 击中乙击中，即AB.根据题意， 这两种情况在各射击一次时不可能同时发生， 即事件AB与AB是互斥的， 所求概率为P(AB)+P(AB)=P(A)P(B)+P(A)P(B)
所得的点数，对所有可能的事件与(x,y)建立对应关系，
可知：
P(A)= 12 1 , P(B)= 10 5 , P(AB)= 5 .
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(2)解法1： P(B | A) n(AB) 5 . n(A) 12
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解法2：
P(B |
A)
P(AB) P(A)
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解法2：他两次都未遇到红灯的概率为 P(AB)=P(A)P(B)=0.4 0.4=0.16.
所以至少有1次遇到红灯的概率是1-0.16=0.84 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
5.甲、乙两人各射击一次，击中目标的概率分别是 2 和 3 .假设两人射击是否击中目标之间没有影响， 34 每人每次射击是否击中目标相互之间也没有影响. (1)求甲、乙各射击一次均击中目标的概率； (2)求甲射击4次，恰有3次连续击中目标的概率； (3)若乙在射击中出现连续2次未击中目标则会被终 止射击，求乙恰好射击4次后被终止射击的概率.
至少有一人击中目标的概率为 1-P(AB)=1-0.04=0.96.
解题归纳：在求事件的概率时，有时会遇到求“至 少”或“至多”等事件的概率问题，它们是诸多事 件的和或积，如果从正面考虑这些问题时，求解过 程烦琐。但这些事件的对立事件的概率易求出， 此时，可利用逆向思维，运用“正难则反”的思想 求解。
点拨：甲、乙两人分别击中目标为相互独立事件，故 可以根据相互独立事件的概率公式求解。
解：设"甲射击一次，击中目标"为事件A,"乙射击 一次,击中目标"为事件B，则A与B相互独立，"甲、 乙两人都击中目标"是事件AB,"恰有一个击中目标" 是AB或AB，"至少有一人击中目标"是AB或AB或AB.
(1)"两人各射击一次，都击中目标"就是事件AB，又 事件A与B相互独立，
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4.某学生骑自行车上学，从家到学校的途中有两个 交通岗，假设他在这两个交通岗外遇到红灯的事件 是相互独立的，并且概率都是0.6，计算： (1)两次都遇到红灯的概率； (2)至少有1次遇到红灯的概率；
点拨：本题考查相互独立事件，互斥(对立)事件概率 的计算方法，以及运用概率知识解决实际问题的能力. 对于"至多""至少"等问题，常常先求其对立事件的 概率。
解：(1)记"他第一次遇到红灯"为事件A,"他第二次 遇到红灯"为事件B,由题意知A与B是相互独立的， 因此，"他两次都遇到红灯"就是事件AB,
根据相互独立事件的概率乘法公式， 得P(AB)=P(A)P(B)=0.6 0.6=0.36. 所以,他两次都遇到红灯的概率是0.36.
(2)解法1：A "他第一次没有遇到红灯"，B "他第二 次没有遇到红灯"，所以 AB="他第一次没有遇到红灯，第二次遇到红灯"， AB="他第一次遇到红灯，第二次没有遇到红灯"， 并且AB与AB是互斥的， 因此，他恰有一次遇到红灯的概率是P[(AB) (AB)] =P(AB)+P(AB)=(1-0.6) 0.6+0.6 (1-0.6) 0.48. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是 P(AB) P[(A B) (A B)] 0.36 0.48 0.84. 所以他至少有1次遇到红灯的概率是0.84.
故事件C与事件A不可能同时发生，A与C互斥，
由于P(A)= 1 0, P(C) 1 0,而 P(AC) 0,
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所以A与C不是相互独立事件.又抽不到K不一定抽到J,
故A与C并非对立事件。
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2.甲、乙两人各进行一次射击，如果两人击中目标的 概率都是0.8，计算： (1)两人都击中目标的概率； (2)其中恰有一人击中目标的概率； (3)至少有一人击中目标的概率。
解：(1)由于事件A为"抽到K",事件B为"抽到红牌"， 故抽到红牌中有可能抽到红桃K或方块K，即有可能 抽到K，故事件A，B有可能同时发生，显然它们不是 互斥事件，更不是对立事件。
以下考虑它们是否为相互独立事件：
抽到K的概率为P(A)= 4 1 , 52 13
抽到红牌的概率为P(B)= 26 1 . 52 2