(完整版)高三数学复习概率知识点、题型方法

绵阳市开元中学高2014级高三二轮复习

《计数原理与概率及其分布列》知识点、题型与方法归纳 制卷：王小凤 学生姓名：

【计数原理 知识梳理】

一、分类计数原理和分步计数原理：

分类计数原理：如果完成某事有几种不同的方法，这些方法间是彼此独立的，任选其中一种方法都能达到完

成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的和。

分步计数原理：如果完成某事，必须分成几个步骤，每个步骤都有不同的方法，而—个步骤中的任何一种方

法与下一步骤中的每一个方法都可以连接，只有依次完成所有各步，才能达到完成此事的目的，那么完成此事的方法总数就是这些方法种数的积。

区别：如果任何一类办法中的任何一种方法都能完成这件事，则选用分类计数原理，即类与类之间是相互独

立的，即“分类完成”；如果只有当n 个步骤都做完，这件事才能完成，则选用分步计数原理，即步与步之间是相互依存的，连续的，即“分步完成”。

二、排列与组合：

1．排列与组合的区别和联系：都是研究从一些不同的元素中取出n 个元素的问题；

区别：前者有顺序，后者无顺序。

2．排列数的公式：)()!

(!

)1()2)(1(n m m n n m n n n n A m

n

≤-=+---=Λ

注意：全排列：!n A n

n =；

组合数的公式：)()!(!!

!)1()2)(1(n m m n m n m m n n n n A A C m m

m n m

n

≤-=+---==Λ

组合数的性质： ①m n n m n C C -= ②1

11---+=m n m n m n C C C

3．排列、组合的应用：

解排列组合应用题时主要应抓住是排列问题还是组合问题，其次要搞清需要分类，还是需要分步 切记：排组分清(有序排列、无序组合)，分类分步明确 解排列组合的应用题，通常有以下途径：

①以元素为主，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素——特殊元素优先法 ②以位置为主，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置——特殊位置优先法

③先不考虑附加条件，计算出排列或组合数，再减不合要求的排列数或组合数——间接法

4．对解组合问题，应注意以下三点：

①对“组合数”恰当的分类计算，是解组合题的常用方法。

②是用“直接法”还是“间接法”解组合题，其前提是“正难则反”。 ③命题设计“分组方案”是解组合题的关键所在。

5．解排列、组合题的基本策略与方法：

①整体排除法：对有限制条件的问题，先从总体考虑，再把不符合条件的所有情况去掉。这是解决排列

组合应用题时一种常用的解题方法。

②分类处理：某些问题总体不好解决时，常常分成若干类，再由分类计数原理得出结论。这是解排列组

合问题的基本策略之。注意的是：分类不重复不遗漏。即：每两类的交集为空集，所有各类的并集为全集。

③分步处理：与分类处理类似，某些问题总体不好解决时，常常分成若干步，再由分步计数原理解决。

在处理排列组合问题时，常常既要分类，又要分步。其原则是先分类，后分步。

④插入法（插空法）：某些元素不能相邻采用插入法。即先安排好没有限制条件的元素，然后再将有限

制条件的元素按要求插入排好的元素之间。

⑤“捆绑”法：要求某些元素相邻，把相邻的若干特殊元素“捆绑”为一个大元素，然后再与其余“普

通元素”全排列，最后再“松绑”，将特殊元素在这些位置上全排列，即是“捆绑法”。

【计数原理 题型应用】

1．5位同学报名参加两个课外活动小组，每位同学限报其中的一个小组，则不同的报名方法共有( )

A ．10种

B ．20种

C ．25种

D ．32种

2．从6位男学生和3位女学生中选出4名代表，代表中必须有女学生，则不同的选法有( ) A ．168 B ．45 C ．60 D ．111 3．用1,2,3,4,5这5个数字，组成无重复数字的三位数，其中奇数共有( )

A ．30个

B ．36个

C ．40个

D ．60个

4．某班新年联欢会原定的5个节目已排成节目单，开演前又增加了两个新节目，如果将这两个节目插入原节目单中，那么不同方法种数为( )

A ．42

B ．30

C ．20

D ．12

5．停车场上有一排七个停车位，现有四辆汽车需要停放，若要使三个空位连在一起，则停放方法数为（ ）

A ．47A

B ．37A

C ．55A

D ．535

3A A 6．有4位学生和3位老师站在一排拍照，任何两位老师不站在一起的不同排法共有（ ）

A ．(4!)2种

B ．4!·3!种

C ．3

4A ·4!种 D ．35A ·4!种

7．用数字1，2，3，4，5可以组成没有重复数字，并且比20000大的五位偶数共有（ ）

A.48个

B.36个

C.24个

D.18个

8．某市拟从4个重点项目和6个一般项目中各选2个项目作为本年度启动的项目，则重点项目A 和一般项目B 至少有一个被选中的不同选法种数是（ ） A ．15 B ．45 C ．60 D ．75

【概率 知识梳理】

一、随机事件的概率

1、事件

(1)．在条件S 下，一定会发生的事件，叫做相对于条件S 的必然事件． (2)．在条件S 下，一定不会发生的事件，叫做相对于条件S 的不可能事件．

(3)．在条件S 下，可能发生也可能不发生的事件，叫做相对于条件S 的随机事件． 2、概率和频率

(1)．用概率度量随机事件发生的可能性大小能为我们决策提供关键性依据．

(2)．在相同条件S 下重复n 次试验，观察某一事件A 是否出现，称n 次试验中事件A 出现的次数n A 为

事件A 出现的频数，称事件A 出现的比例f n (A )＝n A

n

为事件A 出现的频率．

(3)．对于给定的随机事件A ，由于事件A 发生的频率f n (A )随着试验次数的增加稳定于概率P (A )，因此可以用频率f n (A )来估计概率P (A )．

3

4(1)．概率的取值范围：0≤P(A)≤1.

(2)．必然事件的概率P(E)＝1. (3)．不可能事件的概率P(F)＝0.

(4)．概率的加法公式：如果事件A 与事件B 互斥，则P(A ∪B)＝P(A)＋P(B)． (5)．对立事件的概率：

若事件A 与事件B 互为对立事件，则A ∪B 为必然事件．P (A ∪B )＝1，P (A )＝1－P (B

)．

【题型应用】

互斥事件与对立事件的概率

1．从装有5个红球和3个白球的口袋内任取3个球，那么互斥而不对立的事件是( )

A ．至少有一个红球与都是红球

B ．至少有一个红球与都是白球

C ．至少有一个红球与至少有一个白球

D ．恰有一个红球与恰有二个红球

【总结】：要判断两事件是互斥而不对立的事件：只需判断交事件为不可能事件，和事件为必然事件。

2．袋中有12个小球，分别为红球、黑球、黄球、绿球，从中任取一球，得到红球的概率为1

4

，得到黑球或

黄球的概率为512，得到黄球或绿球的概率是1

2

，试求得到黑球、黄球、绿球的概率各是多少？

二、古典概型

1、基本事件的特点

（1）．任何两个基本事件是互斥的． （2）．任何事件(除不可能事件)都可以表示成基本事件的和． 2、古典概型的两个特点

（1）．试验中所有可能出现的基本事件只有有限个，即有限性． （2）．每个基本事件出现的可能性相等，即等可能性．

[提示] 确定一个试验为古典概型应抓住两个特征：有限性和等可能性． 3、古典概型的概率公式:P (A )＝

A 包含的基本事件的个数

基本事件的总数

.

【题型应用】

1．某小组共有A ，B ，C ，D ，E 五位同学，他们的身高(单位：米)及体重指标(单位：千克/米

2

)如下表所示：

(1) 1.78以下的概率； (2)从该小组同学中任选2人，求选到的2人的身高都在1.70以上且体重指标都在[18.5,23.9)中的概率．

【变式1】袋中共有6个除了颜色外完全相同的球，其中有1个红球、2个白球和3个黑球．从袋中任取两球，两球颜色为一白一黑的概率等于( )

A ．15

B ．25

C ．35

D ．45

【变式2】在变式1条件下，则两球不同色的概率为______

2．任意抛掷三枚硬币,恰有两枚硬币正面向上的概率是( )

Ａ．41 Ｂ．83 Ｃ．43 Ｄ．3

2

【变式】同时掷两颗骰子，向上点数之和为7的概率为（ ）

A ．41

B ．113

C ．61

D ．11

1