论学习数学的三种境界
论学习数学的三种境界
论学习数学的三种境界发表时间：2012-01-04T10:24:58.100Z 来源：《少年智力开发报（课改论坛）》2011年32期供稿作者：闫照建[导读] 做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
商丘市第十五中学闫照建清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：‘昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.’此第一境也. ‘衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.’此第二境也. ‘众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.’此第三境也.”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的.比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。
无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会.二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而 “衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴” 揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了.首先我们可以将问题“倒过来”想.比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的.如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！数学是思维的体操.生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到 “众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。
浅谈学习高等数学的四种境界
浅谈学习高等数学的四种境界随着科技的发展，数学作为一门科学技术所不可缺少的核心科目，在建立一个完善的现代化教育体系中发挥着极为重要的作用。
数学是人类科学思想发展的基础，它是抽象化思维和归纳推理的传承者和支柱。
不仅如此，它还能帮助学生更好地理解自然科学发展历史，加深对自然科学的认识，进而提高学生的学习效率和学习能力。
学习高等数学是一项教育的长期目标。
在有限的时间和精力里，学生通过思考，实践和探究来掌握数学表达，模型和解决问题。
学习高等数学有四个境界：理解和背诵、联想、推理和思考、抽象思维和系统思考。
首先，理解和背诵。
这是学习高等数学最基础的境界，一般学生可以较为容易地达到。
理解的过程包括对数学公式和定义的理解，它们有助于熟悉数学原理。
同时，背诵也有助于记忆，掌握一些基本的概念，为进一步的学习打下基础。
其次，联想。
这是学习高等数学的一个重要环节。
首先，应该从实际出发，通过实践，分析和研究来解决实际问题，然后将解决这些问题的方法用抽象方法来表示，可以将实际应用知识和专业数学思维联系起来，以便把学到的知识转变成抽象思维能力，这是构建数学模型的基础。
接下来是推理和思考，即归纳推理。
归纳推理是为了让别人能够从一般原则中找到特定的规律，从而产生推理性的思维。
它不仅能够帮助学生有效地掌握概念，而且还能促进学生的独立思考和创新能力的发展。
最后是抽象思维和系统思考，这是学习高等数学中最重要的维度。
通过抽象思维对问题进行思考，可以发现其中的规律，将抽象概念转变成具体实例；而系统思考则是将问题从细致的具体范围扩展到广泛的抽象层面，以全局的视角去思考问题，以期理解数学的内在机制，体现数学的属性。
综上，学习高等数学要达到很高的学习水平，必须通过不断探索，实践和归纳，逐渐深入理解，从而掌握数学知识及抽象思维能力，从而提高数学分析能力，并拓展知识面。
只有达到这一境界，学生才能更好地掌握数学，发展科学技术，推动社会发展。
数学的五种境界
数学学习的五种境界左勤勇数学学习水平的五种层次或者说五种境界：懂、会、熟、巧、通.懂.就是刚才童鞋们谈到的那样.老师在上面讲，你在下面坐着听.听懂了，这是最低要求.如果听不懂课，后面的练习、考试当然无从谈起.万丈高楼平地起，这个环节就是打地基.当然，如果课都听不懂，那就要高度警惕了：是老师表达能力太差还是自己接受能力不好呢？还有童鞋说，不会的题我看看答案也看懂了，可是自己怎么就想不到呢？这依然属于”懂“的层次.有老师或者答案给你一个逻辑切入点，带着你往前走，最后你到了目的地.于是，你说了：这题也不难吗，我好像也能做.这是幻觉，不信换道同类型的题试试？会.会指的是没有老师指导，无同学帮助，无答案提示，不参考笔记的情况下，你自己能独立地完成解题.这个层次意味着你找到了解决问题的入口，能够清楚往下走的流程，并且顺利到达目的地.熟.在”会“的前提下，加入了解题速度的要求.一道题无时间限制，你能慢悠悠地想，慢悠悠地写，慢悠悠的算，还能检查.显然，这不是考试的状态.考试都是限时的，要求你在短时间内拟定思路、准确运算、规范表达.这就是好多童鞋的感慨：我感觉都会呀，怎么一考试都不得分呢？你是不是在时间紧迫的时候就慌了，一慌就漏洞百出了？巧.巧指的是你能从不同角度观察和分析同一道题，能够在多个解法之中选择最优解法.在限定时间内，能够准确审题，判断解法的优劣并顺利执行，的确需要相当的积累.通.武侠小说里讲的打通任督二脉，大约就是这样的状态吧.通的主要表现就是数学知识、数学方法、数学思想之间能够快速建立联系、无障碍切换.亲爱的朋友们，你在哪一层呢？可以肯定地讲，到达”熟“这个层次，高考数学就到了120分以上.。
大乘数学三境界
大乘数学三境界数学= 小乘数学+ 大乘数学。
小乘数学= 推理+计算，大乘数学= 哲学+艺术。
小乘数学是术，大乘数学是道；小乘数学是剑招，大乘数学是剑意；小乘数学是科学的工具，大乘数学是科学的女王。
治大乘数学经历三种境界。
苏武慢仙峰绝壁，攀登无数，往往到头虚老；支离破碎，细微末节，多少青春废了；鲸吞碧海，芥纳须弥，中西合璧最好，只凭这微分代数，消融那纤维同调；谁听得，千尺崖前，百丈悬冰，杜宇一声春晓？黑洞路远，夸克关深，行人原自稀少；体系我立，定理自出，此心可通天道；寻根本，识破源流，自有人间真宝。
此乃第一境界。
声声慢寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依，万水千山独行，登天有计，有我美梦做伴，怎怕他晚来风急，我来也，正悦目，别有一番天地。
满室书本堆积，翻阅尽，查找蛛丝马迹，中西合璧，探索数学真谛，春风化物细雨，会心处点点滴滴，这次第，唯极乐差可比拟。
此乃第二境界。
寻寻觅觅，冷冷清清，寂寂寞寞依依。
万水千山独行，登天有计。
这是一条神奇的天路，用中国数学传统文化破解数学七十二绝技。
一、学数参禅学数浑似学参禅，一经领悟便超然。
五灯会元东方亮，光芒四射照人间。
破除迷信，张扬自我，众生平等，皆可成佛；解粘去缚，方便接引，就近取譬，随机化寻；真参实证，圆融无碍，以心传心，心心相印；因缘契合，自悟本心，明心见性，见性成佛。
禅是穷理尽性之学。
穷理于事物始生之处，研几于心意初动之时。
禅者，意也，以人意会天意，以己意会大师之意，禅的真理以心传心，心灵相通时方可传授。
禅师接引学人，讲求心心相印，因缘相契，以心传心，啐啄同时。
灵犀相通才称得上因缘相契。
禅是看入自己生命本性的艺术，从枷锁到自由的道路。
禅的真理把单调乏味的生活，索然平凡的生命，变为充满真实内容的创造性真理。
做学问是一种精神统一的修行，面壁就是面书壁，在精神上创造自己理想的世界。
疑生滞，通破疑，疑被通破则无可生滞。
禅宗张扬自我，崇尚自我，使学人确立自信，崇拜自我，打破外在权威，敢于作祖成佛。
《高等数学》第一课
《⾼等数学》第⼀课更多、更好资源和精彩⽂章请参见本⽂结尾给出的推荐阅读列表注重⼤学数学特点初等数学的研究对象基本上是不变的量，⽽⾼等数学中研究对象则是变动的量．函数关系就是变量之间的依赖关系，极限⽅法是研究变量的⼀种基本⽅法，也是⾼等数学研究的基本⼯具与⼿段．⼤学数学有以下三个显著特点。
（⼀）精确性数学从诞⽣之⽇起，以严密、简洁、精确⽽著称。
⽽《⾼等数学》（也称分析数学），更是集中体现了这⼀风格，整个分析数学都建⽴在极限的精确语⾔ε-N语⾔与ε-δ语⾔之上。
这两个语⾔的精确性，可以说是字字千⾦。
（⼆）抽象性⾼等数学中的⼀些概念具有⼀定的抽象性，如极限、可导、可积等概念。
设想⼀下，如果数学没有了抽象性，总是就⼀个问题研究⼀个问题，那么数学的发展不可能有今天这样繁荣，那么数学科学可能就成了⼀本厚厚的习题解。
（三）技巧性必须指出，任何⾼超的技巧离不开基本理论、基本思想与运算技能的辅助。
学习的境界有⼈研究孔⼦关于学习的论述，发现了学习的三境界：第⼀境界是“知之”；第⼆境界是“好之”；第三境界是“乐之”。
有的把读书三境界归纳成：为知、为⼰、为⼈三境。
有⼈⽤充满禅机语⾔来说明：第⼀境界是“看⼭是⼭，看⽔是⽔”；第⼆境界是“看⼭不是⼭，看⽔不是⽔”；第三境界是“看⼭还是⼭，看⽔还是⽔”。
也有把三境界引为企业家之⼤境界：第⼀境界是“⼤智慧”；第⼆境界是“⼤抱负”；第三境界是“⼤⼿笔”。
林林总总的三境界就是要告诉我们：第⼀要⽴志，要确⽴⼈⽣⽬标；第⼆要为实现⽬标⽽锲⽽不舍的奋⽃；第三是功夫不负有⼼⼈，最后⼀定会成功。
如何学习⾼等数学相关推荐。
学好数学的三个阶段
学好数学的三个阶段华罗庚先生在谈及数学研究时,提到了三种境界:1、依葫芦画瓢地模仿；2、利用现成的方法解决新的问题；3、提出新的思路,创造新的方法。
这对于数学的学习也是很有启发的。
数学学习的境界也可分为三个阶段：第一阶段：横看成岭侧成峰，远近高低各不同。
很多同学在课堂上听懂老师讲的题目之后，立刻做题，遇到不会做的地方再拿出书翻开看看，接着再做，如此反复。
这样的结果就是再遇到类似的题目，仍然束手无策，无从下手。
为什么呢？数学的学习与其他学科不同，要想真正领悟其中奥妙，首先要把书上的每一条定义、定理、公式等理会深透，绝不仅仅是一个结论。
所以，要先把其中的内涵吃透，就不会“不识庐山真面目”了。
第二阶段：欲穷千里目，更上一层楼。
数学的学习，听懂了并不意味着学会了。
听懂了只是听懂老师的解题思路，而真正意义上的学会了是不仅能正确领会老师的解题意图，而且能从老师的思路中归纳出一类方法为自己所用。
有些同学仅限于完成老师的作业，满足于跟在老师的后面，亦步亦趋，而自己不做任何的提高。
只有走在老师的前面，时时为自己的提高留足充分空间的学生才能凭借自己的实力跃上一个新层次！第三阶段：蓦然回首，却在灯火阑珊处。
经常有同学问“为什么我（的孩子）在数学上花了那么多的时间，做了那么多的题，成绩就是不见提高呢？”原因何在？首先，问题出在做题上。
有些学生、家长一看数学成绩不好，马上去书店买回一堆习题集开始做，做完这本做那本，一本连着一本，力求以做题的数量取胜。
这是错误的。
一本好的习题集都有它自己的知识结构，都会有一个由浅入深、由单一知识点向多个知识点综合的渐变过程，也就是梯度变化。
所以在做题时首先要对练习册进行认真选择，质量不高的书宁愿舍弃。
一旦选定一种练习册，就应该狠抓落实。
一定要动手，在动手的过程中既能发现隐藏的问题，又能使自己的思维集中，很多学生学数学不动手，看似用了很长时间，其实效果很差；一定要抓住错误不放松，错误的出现正是问题的暴露，改过来了也就提高了一步，所以在学数学时要舍得花时间改正错题。
刍议数学自主学习的三重境界
元。 （ ２） ， 元 角 ，还可 以完写成 元。 通过这样 的系列训 练 ，学生 习得 知识 ，能力得 到了提高 ， 形成一定 的数学 素养 。同时审题 能力 、技 巧得 到发展 ，动手操 作能力增强 。在操作 的过程 中 ，学生感受 到知识 的来龙 去脉 。 逐渐地 由具体形象思维 向抽象思 维过 渡。思维 习惯得到 了锻炼 ，
思 维 品质 得 到 提 高 。 二 、会 学—— 学生主动探 学。 学生 会学不是教 师教 出来 的 ，是主动 习得 知识 ，是靠 学生 在 一 系列 学 习活动 中独 立思 考或 与他 人合 作 获得 的知识 及 本
领 。要 求教师根 据教学 内容 与学生实际情况 ，选用指导 自学与 适时 点拨相结合 、直观演示 与学生动手操作 相结合 、个人 思考 与小组学 习相结合等方法 ，让每个学生 “ 动”起来 。 例如 ：苏教版 四下 因数 和倍数一课 自主学 习案 （ 部分 ） 。 学 习提示语 ：数学知识 ，一般都是从概念学 习起 。 我们先来学 习概念 ：倍数和 因数 。课 内小组合作完成 。 １ ． 阅读课 本第 ７ ０和 ７ １ 页内容 ， 按 照课 本上 要求 做一 做（ 用 ｌ ２个 同样 的小 正方形 片拼成一个 长方形或 正方形等 ） ， 再完 成下 作者简介 ：朱从宝 ，男 ，中高，从事小学数学教学工作 ３ ０年。
【 关键词 】自 主 学习 境界
自主学习方式 ，是提高学 生 自学能力 的重要途径 和方 法 ， 有利 于培养学 生 良好 的学 习习惯 ，激发学 习的 内在潜力 。 自主 学 习方式 ，是解放教师 ，不再 “ 填鸭 ” ，释放学生学习潜能的实 践过 程 。 自主学习方式 ，有 利于激发学 生的学习热情 ，提高学 习的积极性 和主动性 ，能够 为学生一生学 习和成长打好 坚实的
数学解题教学中的三境界:“真”、“善”、“美”
数学解题教学中的三境界：“真”、“善”、“美”经中进【期刊名称】《上海中学数学》【年(卷),期】2015(000)007【总页数】4页(P76-78,80)【作者】经中进【作者单位】211800 江苏省江浦高级中学【正文语种】中文著名数学家怀特海说过:“数学是真善美的统一.”“真善美”是一种大智慧，一门大学问.数学的真善美，既是数学研究中的重要领域，也是数学探索中追求的一个目标，还是数学待以发展的重要原动力.笔者将“真”“善”“美”作为习题教学的三个境界，结合教学实践探讨例题教学。
教学实际中，对于教师讲的很多题目，学生以为自己都懂了，但把题目稍微变化下就不会了，或者遇到相关题目，不知道从什么角度去思考问题，其实都不是真“懂”真“会”.原因之一，学习者不求甚解，不重视对发现过程、探索过程去反思，没能领悟出问题本质.原因之二，教师没能结合学生认知水平去深入研究问题，不能让学生充分地理解知识的内涵，课堂教学没能深刻地揭示出问题本质特性。
1.1 暴露思维错中求真例1 已知a>0,b>0，且a+b=1，则的最小值为．生1：∵，∴。
生。
生。
展示完上述三种解法，笔者提醒大家注意“一正二定三相等”原则，让学生上黑板补充写上“三相等”，结果发现都取不到等号。
师：一经“三相等”检验时，发现都求错了.所以，只要用到基本不等式的地方，“三相等”步骤一定要写.那么到底怎样求呢？学生沉思。
师：其实生3的解法有可取的地方。
-2.除了最后一个不等式用错了，前面的变形演算都是正确的，而且取得了很大的进展，成功地将项数减少至三项(其中有一项还为常数项-2)，只需关注的最小值即可.虽然用不了基本不等式，但是可以用函数单调性。
生4：设)，可证在单调递减，则，所以的最小值为，从而的最小值为。
说明：本道题还可以用均值代换法、三角换元法等。
1.2 层次理解调控方向例2设等差数列{an}满足以下等式=1，公差d∈(-1,0).若当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值，则首项a1取值范围为．本题是上课时的一道例题，当时很多学生拿到题目，不知如何下手.教师启发学生整合信息，发现条件间有层次性、递进性.学生就很自然地想到先从“当且仅当n=9时，数列的前n项和Sn取最大值”这个条件入手.于是有了下面两种处理方式。
数学教学的三种境界
身 的素养 ， 这也是判 断学 习效果 的一个标 志 。
用所学 的方 法解 决 新 问题 ， 实质 上也 反 映并 体现 了知识 的迁移 能力 。反观 我们 的数 学教 学， 更多 的是 “ 着 走” 即 让 学生 模 仿 性 学 扶 （
同时 ， 不能 忘了另 一个职 责 ， 那就 是教会 学生 质疑 、 反思 、 归纳 、 总结 。当然 ， 也可 以从模 这
究 问题 ， 不仅 仅是 单 向的传 授 ； 放得 开 ， 而 要 能让学生 做的事 ， 教师不 要包办 替代 ， 学生 给
ｖ 口ｚ ）＋ｃ ｖ ｚ ＝ 十意 十ｃ ＝ｎ 一 （ ＋尼。 —ｎ ２
一
＋ ＋ｃ环绕课本 知识展 开 ， 腻 中见 扎实 ， ， 细 面面俱 到 ， 一遗 漏 ， 生 也 确 实 学 得 很 到 无 学
一
些 学生对根与系数 的关系 的思索 。但这种
感悟并不是与生俱来 、 人人都 有 的， 学生倘若
都 束手无 策 ， 只是 回答 我一句话 ： 老师还 没有 教 过 。可见 ， 学生 的 知识迁 移 能力 和 胆 略还
会有 什么 额外 的收获 。而且 ， 味地 模仿 会 一 使人 失去求 异创 新 的信 心 和勇气 ， 如 联合 正
国教科 文 组织 的报 告 《 会 生 存 》 学 中所 指 出 的 ：教育既 有培 养创 造 精神 的力量 ， 有压 “ 也
仿， 夯实知识基础 ； 之二 ， 境界 学会迁 移 ， 融会 贯通 ， 拓展能 力空 间 ； 境界之三 ， 深入源 头 ， 性思考 ， 理 感悟文化精髓。数学教育只有深入 到数学学科的文化层面 ， 而不仅 仅局限于 数学学科 的知识 层面 ， 才
高三第一轮数学复习方法
高三第一轮数学复习方法数学教育家傅种孙先生言：“几何之务不在知其然，而在知其所以然;不在知其然，而在知何由以知其所以然。
”实际上也为数学的学习标明了三个递进的境界：一是知其然，二是知其所以然;三是知何由以知其所以然。
数学首轮复习，不能满足于一，应该立足于二而求三。
今天小编给大家带来一些高三第一轮数学复习方法。
高考复习有别于新知识的教学，它是在学生基本掌握了中学数学知识体系，具备了一定的解题经验的基础上的复课数学;也是在学生基本认识了各种数学基本方法、思维方法及数学思想的基础上的复课教学，其目的在于深化学生对基础知识的理解，完善学生的知识结构，在综合性强的练习中进一步形成基本技能，优化思维品质，使学生在多次的练习中充分运用数学思想方法，提高数学能力，高考复习是学生发展数学思想，熟练掌握数学方法理想的难得的教学过程。
实际上，高考这一年数学复习工作概括起来就三句话：澄清概念(思维细胞);归纳方法(何时用，用的要领);学会思考。
为便于同学操作，在此向进入数学第一轮复习的同学提五项建议：一、夯实基础，知识与能力并重。
没有基础谈不上能力;复习要真正地回到重视基础的轨道上来，这里的基础不是指针对考试机械重复的训练，而是指要搞清基本原理、基本方法，体验知识形成过程以及对知识本质意义的理解与感悟，同时，对基础知识进行全面回顾，并形成自己的知识体系。
著名数学家华罗庚先生说：“数学是一个原则，无数内容，一种方法，到处可用。
”华罗庚先生还一再倡导读书要把书读得“由薄到厚”，再“由厚到薄”，如果说我们从小学到中学学年数学的过程是“由薄到厚”的过程，那么高考复习的过程应该是深刻领会数学的内容、意义和方法，认真梳理、归纳、探究、总结、提练，把握规律、灵活运用，把数学学习变成“由厚变薄”的过程，变成我们培养科学精神、掌握科学方法的最有效的工具，成为自己做高素质现代人的重要武器，那时，做高考数学题就会得心应手。
二、复习中要把注意力放在培养自己的思维能力上。
学生数学学习的三种境界
浅谈学生数学学习的三种境界叶圣陶指出：“学习是学生自己的事，不调动他们的积极性，不让他们自己学，是无论如何也学不好的。
”这句话对于数学教学尤其适用。
在数学教学中，要充分发挥学生学习的主体作用，帮助学生逐步养成良好的学习习惯，培养创造性的思维，提高创新的能力。
结合新课改和自身的实践经历，根据初中生身心发展规律，笔者总结出学生学习数学的三种境界：了解、理解、见解。
这“三解”是学生形成数学概念，建构知识、整合知识和学习反思的过程。
在整个过程中都是以学生为主体，教师参与辅导。
一、了解学生初步接触新知识，或多或少有好奇而又担心学不好的心理，这就需要老师根据学科的特点和学生的差异，预设不同层次学生的学习任务，引导学生根据自身的实际情况有侧重的对新知识进行初步了解。
让学生在学习过程中有目的的学习，主动思考，使学生获得各自的情感体验。
本人对新内容了解学习的过程总结如下三种方法：一是阅读了解。
阅读的过程是尝试用自己已有的知识去“内化”教材的过程，也是发现问题的过程。
通过对数学课本和辅助学习材料的阅读，从分析概念定义入手去理解概念的含义，再根据教材所提供的现象去理解本质规律。
通过对新的知识进行比较、归纳，筛选出有效理论，初步感知教材、体会主要内容，把握精华。
二是调查了解。
通过问卷调查、实地调查、收集有效信息等途径，及时了解生活中的数学问题反映的共性特征，了解问题产生的原因，分析解决问题的办法和措施，让学生感受生活、数学原是密不可分的，生活中蕴藏着丰富的数学知识。
三是实验了解。
要求学生能根据自身经验、课本知识，利用生活中的生活用品制作器材，设计一些小实验，并要求将准备好的实验带进课堂，让他们在课堂上展示自己的成果，享受掌控知识带来的成就感，充分发挥学生自主探究的能动性，进而调动学生参与、学习的积极性。
我常常要求学生用生活中常见的物品设计一些与所学内容有关系的实验，在学习菱形时，有学生用木条做成了“菱形衣帽架”。
学习相似性质有学生展示小孔成像问题，等等。
对数学学习中“学”“练”“思”“悟”环节的思考
对数学学习中“学”“练”“思”“悟”环节的思考作者：赵正强来源：《考试周刊》2013年第103期摘要：数学学习的最高境界是“悟”，只有领悟才能创新，才能有新发现，自觉地运用知识解决问题，培养学生优秀的思维品质和能力，要达到“悟”的境界，还需“学”“练”“思”这三个过程。
关键词：数学学习精练反思领悟课堂教学改革可谓层出不穷，不同形式的课堂教学改革的落脚点是学生，而学生如何通过课堂获取知识方法，如何巩固课堂教学的成果，并能够创新利用知识解决问题，成为当前要解决的问题，笔者就学生的学习数学谈谈思考。
数学是一门理性思维学科，体现在概念抽象、逻辑性强，公式、定理、方法繁多，各种能力要求高，若不关注其学科的特点，不关注学习的方法，不关注学习的过程，就很难灵活运用所学数学知识，更谈不上创新利用知识解决问题。
那如何才能学好数学呢？“学”是获取知识的第一环节，这里的学指的是自主学习，是自觉、自立、自控地学习，学习过程中体现我是学习的主人，我有我的主见，不是被动接受知识而是主动地汲取知识，不是一味听别人怎么讲而是自己怎么思考，不是为了完成任务去学习而是我要主动地探索，不是停留在知识的表面而是主动地总结知识，对知识有自己的见解。
教师在课堂上要把学生引领到知识肥沃的地方，让学生主动汲取知识的营养丰富自己。
高中教材函数的概念这一节应该是高中数学中最抽象的概念，我们可能学过之后对函数的本质没有把握，一做题便无从下手。
那是为什么呢？我们先回顾一下概念的生成过程，教材给出三个引例：1.人口普查，2.自由落体运动，3.一城市24小时温度变化曲线。
从这三个引例我们能从中抽象概括出它们有怎样的共同特点，它们研究的对象是什么，在数学中它们有怎样的相关关系。
在练习初中我研究的一次函数、二次函数、反比例函数，能得到我们所研究的函数在哪个范围内进行研究，研究的是两个数据上的对应，这种对应应该满足怎样的关系，一连串的问题自然对函数的概念就有了清晰的认识，那么认识函数的概念和本质就没有问题了。
学习数学的三阶梯 魏新图
学习数学的三阶梯方城县广阳镇孟庄小学魏新图数学是人们生产劳动中的重要工具，我们对数学的学习是不容忽视的。
数学学习是一个认知过程，从一无所知到一知半解，再到大彻大悟，在每个阶段，学习者的眼界、心境都不同。
我认为随着学生身心的发育、知识经验的积累和智力的发展，学生的数学学习会经历三个不同的阶段——模仿、迁移和创新，每个阶段会达到不同的境界。
一、模仿模仿是小学生学习数学的第一阶段，模仿学习一般多为接受性学习。
我们可以认为模仿学习是打好数学基础并引发学生思索的必要环节。
但是，一味地机械模仿训练而缺乏创新意识的培养也会阻碍学生的发展。
因此，教师在引导学生模仿训练的同时，不能忘了另一个职责：教会学生质疑、反思、归纳总结。
例如:当学生认识圆的半径、直径后，可以设计如下作业。
如图，圆中哪些线段是半径？哪些线段是直径？哪些线段既不是半径也不是直径？为什么?这样的练习，学生就不能间的地依葫芦画瓢，而是要运用所学的知识和方法去比较和思考。
二、迁移随着学生年龄的增长和知识经验的积累，他们开始把一些表象的东西初步地联系在一起，用所学的知识、方法去试着解决新的问题，这时，学生的学习就进入了较高的境界——迁移阶段。
迁移学习能否取得应有的效果，往往跟教师创设的探究情景有关。
一个好的情景往往能激发学生的探究欲望，取得良好的迁移效果。
例如:三年级第一次学习笔算除法，因为学生已有口算的基础，对于像96÷3这样的题目，可以先让学生独立尝试。
学生反馈的结果一般有两种：32 323) 96 3) 969 966 06碰到这种情况，教师千万不能把他们强行拉回到预设的轨道，可让学生每人再选3道两位数除以一位数的题目，用各自喜欢的方式去做一做。
在第二轮研究中，就会发现32÷2这种题目，学生经过计算、验证、分析、讨论，会自觉地调整自己的思维方式，从而心服口服地接受第一张书写格式。
三、创新对于小学生来说，他们的探究创新一般是对已有结论进行再发现，同时也可能有新的发现甚至发明。
浅谈学习高等数学的四种境界
浅谈学习高等数学的四种境界在学习高等数学时，我们都可以进入不同的境界，每个境界都有各自不同的意义，让我们能够从不同的角度去理解这门学科。
如果我们需要更好地掌握高等数学，那么我们就必须搞清楚它的四种境界。
首先，我们需要进入“宏观层面”，以便更好地理解高等数学的概念。
我们可以通过宏观层面来研究高等数学的结构，以及它在科学、数学、社会等其他领域的应用。
宏观层面也会帮助我们更好地理解数学的发展历程，从而更加深入地了解这门学科。
其次，我们必须进入“微观层面”，以便更好地理解高等数学的定义与实践。
我们需要熟悉数学的基本概念与技巧，并实践这些内容，以便更加清楚地掌握数学的基本原理。
学习数学的基本内容也会帮助我们更好地理解更高层次的概念，从而更加深入地理解高等数学。
第三，我们需要进入“实战”层面，把所学内容运用到实践中去。
实战中，我们可以把高等数学的概念与技巧用到实际问题中去，以便更有效地解决实际问题。
当我们遇到实战中的问题时，不仅能运用所学内容，而且也能学习更多的内容。
不仅如此，实战还可以帮助我们更好地理解高等数学的概念与原理，也能够在实践中更好地利用学到的内容。
最后，我们要进入“创新层面”，把数学的原理和技巧用于实践，并利用它们来解决实际问题。
关于创新，我们可以从宏观层面思考问题，如深入理解数学概念和原理，从而推论出更加宏观的问题。
在这里，我们可以借鉴前人的经验，结合自身的理解，在不同的领域、不同的环境中，利用数学的原理和知识进行探究，从而解决更多实际问题。
总之，学习高等数学时，我们必须搞清楚它的四种境界：宏观层面、微观层面、实战层面与创新层面。
只有在这四个层面都取得良好的成绩，我们才能更好地掌握高等数学。
我想，无论是学习任何一门学科，我们都必须认真学习，体会其中的乐趣，以便在这个过程中得到更多的收获。
数学的学习可分为以下几个层次
关于数学学习数学的学习可分为以下几个层次：第一层次：弄懂基本概念，背熟公式定理；第二层次：理解老师教的基本例题，会模仿做题；课后作业中的错误要在了解错误原因的情况下及时改正，即使是算错那也是有原因的，往往是运算的技巧不掌握或跳步骤引起，找到了原因，有了解决的方法才能减少不必要的错误。
第三层次：在熟练掌握基础的前提下能解决难度中档的题，这需要在教师的点拨下学会逻辑思维的推理和一些技巧的应用，但学生本人需要多做题来巩固，离开了学生本人的实践所有的指导仅仅是纸上谈兵，技巧和逻辑思维是靠大量的训练才能理解、掌握并熟练应用的。
就像运动员一样，在教练的指导下需要日复一日年复一年的进行艰苦卓绝的训练才有可能迈上奖台。
第四层次：能自主解决难题，这需要见多识广，一道难题反复琢磨、练习。
达到这一层次的同学往往是“两耳不闻窗外事，一心只做数学题“。
要想数学学得很好并且成绩稳定要学会在“题海”中遨游。
但在教学过程中，发现数学不好的同学普遍第一层次就做不好，公式概念几乎都不会。
（上课不认真听，不好好记笔记，就算记，也只是表面，压根没往心里去），第二层次也做不到（作业存在抄袭现象，错误不好好订正或就写一个看来的答案，导致随着时间的延伸问题越积越多，成绩越来越差），这样怎会学好数学呢？每次试卷上的基础题型（有些是做过的原题）大多在学校里就已经训练过少则3、5遍，多则10遍以上，甚至有的题已达20、30遍，但学生考试时还是做不出来，直接导致数学分数极差，甚至只能考考三、五十分。
这反映的是学习态度的问题，这也是家长最要注意的问题，但问学生本人，他（她）会找一大堆理由来搪塞，从来不说自己不好的因素。
原因大致上可以归结于以下几种情况：一、心思不在学习上。
热衷于看小说或打游戏、谈恋爱；二、懒惰怕吃苦。
这几次布置的双休日补课作业，要求同学回去把做错的再重新做一遍，也仅仅只有部分同学能完成，一周五天，每天最多只要花10到15分钟时间也做不到。
高中数学美学认知三境界的探讨
高中数学美学认知三境界的探讨作者：***来源：《广东教育·综合》2021年第04期数学教育家张奠宙先生从数学教育者的角度就数学教学过程中如何展现数学美提出了四个层次：美观、美好、美妙、完美，并对每个层次做详细阐述. 本文从数学初学者角度和数学文化角度，提出初学者感悟数学美学的三种境界.对称性是最能给人以美感的一种形式，德国数学家和物理学家魏尔曾指出：“美和对称性紧密相关.”对称美反映了事物的秩序、简洁、完整以及彼此的联系，显示了运动的稳定性和对立的统一性，反映了审美对象和结构的平衡，体现了平衡之美.第一境界：以形感之——以数学形态让学生直观感受数学美第一境界与张奠宙先生的数学美第一层美观是一致的. 这主要是指数学对象以形态上的对称、和谐、简洁，给人带来感官上美丽、漂亮的感受. 从数学形态美入手，让学生感受数学形态之美，可以让学生对貌似繁杂的数学产生兴趣，萌生学好数学的念头.在对称美的教育中，我们可以通过对比，让学生直观感受“对称”带来的美;我们可以从自然形态中抽象出数学图形，让学生感受数学直觀形态之美，体现数学与自然的完美结合.例1：美与不美——有对比才有说服力.图形是非常直观的一种形式. 显然，在上述三图中，左右两边的图具有对称性，中间的图给人一种怪怪的感觉，相对于中间图形，左右两边的图形会让欣赏者更加心情愉悦.例2：自然与数学蜜蜂选择正六边形蜂巢不仅因为正六边形对称、漂亮，还有其他更深刻的原因，但这种自然的选择体现出数学对称美与自然的和谐统一.第二境界：以理服之——让学生理性认知数学美如果我们仅仅停留在对图形美的思考，学生既无法深入提升美学素养，也无法深入理解数学美学. 因此我们需要思考“美从何来？”“美本质在何处”，即穷美之理，以理服之.在以理服人的过程中，我们既可以结合生活实际，也可以与经验常识结合，使学生在纵横捭阖之间，打破数学学习的封闭性，不再囿于于数学本身，在数学原理、数学知识运用、数学手段掌握上能够更接地气，有利于学生内化数学知识、活用数学.在对称美的欣赏中，我们至少可以从两个角度进行赏析.第一角度：对称美的产生来源于内心的满足. 从美学角度，美是人对自身需求被满足时所产生的愉悦反应. 由对称的性质，我们可以对具有对称结构的事物“窥部分而得整体”，达到“一叶知秋”的效果;利用镜面对称也能达到“知一得二”的效果. 这两种效果都可以使我们利用“较少的已知信息”获取“较多的未知信息”，既能够满足“以小博大”“事半功倍”的人性，也可以使人减少对未知的恐惧，从而产生内心的愉悦，美由此产生.例3：利用对称结构进行条件转化.已知直线l ∶ x-2y+8=0和点A（2，0）、点B（-2，-4），在直线上求一点P，使|PA|+|PB|最小，则P点坐标是_______.分析：|PA|+|PB|≥|AB|，等号成立条件为A、B在P的两侧，显然原题不满足等号的条件. 若要满足等号的条件，A、B两点必须在直线的异侧. 为此我们可以利用对称性质，将点A转化到直线另一侧，然后利用两点之间线段最短的定理得到最小值.解：设点A（2，0）关于直线x-2y+8=0对称的点坐标为A′（a，b），则-b+8=0=-2 a=-2b=8，即A′（-2，8）. 结合图形可知|PA|+|PB|≥|AB|，即三点A′、B、P共线时，|PA|+|PB|最小，此时直线A′B的方程为 x=-2，将x=-2代入直线x-2y+8=0可得交点P（-2，3）.第二个角度：对称美体现了事物平衡. 对称是指事物整体中各个部分之间的匀称和对等，而匀称又往往与和谐的协调性相联系. 这种协调即是平衡. 平衡观的引入，为数学解题提供了思路，为数学学习赋予了生活气息，也为数学学习赋予了哲学意义.例4：从平衡角度思考问题的解决.我们在推导椭圆方程过程中，多次利用了对称美和平衡的思想.（1）对称建系很明显在上述三图中，中间的建系很漂亮，左右平衡、稳定美观. 这种对称建系给后续的化简带来美的体验，为最终结果的简洁性提供保障.（2）从平衡角度化简代数式根据椭圆的定义，设M（x，y）是椭圆上任意一点，椭圆的焦距为2c（c>0），那么焦点F1、F2的坐标分别为（-c，0）、（c，0）. 根据椭圆的定义，设点M与焦点F1、F2的距离的和等于2a.由椭圆定义可知，椭圆可以看作点集P={M│|MF1|+|MF2|=2a}. 所以有：这一步的变换思路的来源即是满足等式的平衡. 从代数式整体结构来看，变换后等式两边结构更加均衡、稳定. 这种均衡为后续化简提供了便利.例5：从平衡角度思考等价转化.证明：对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.分析：本题从代数式结构来看，不等号左右两边的结构是不平衡的. 左边lnx是初等函数，形式简单;右边为指数函数和反比例函数的和函数，研究起来非常繁杂，即便求导后导数也很复杂. 从不等式结构均衡的角度，我们将不等号两边同时乘以x，将问题转化为证明xlnx>■-■，x∈（0，+∞），这样，左边代数式结构变复杂，但右边代数式结构变简单，不等式结构相对均衡，然后通过分别研究不等式两边的函数，得到不等式的证明.证明：易知f（x）=xlnx的最小值 f（■）=-■. 设（x）=■-■，（x∈（0，+∞）），则？覬′（x）=■;由？覬（x）的单调性易得？覬（x）max=？覬（1）=-■，因此xlnx≥-■≥■-■，因为两个等号不能同时取得，所以xlnx>■-■，即对一切x∈（0，+∞），都有lnx>■-■成立.第三境界：以用喜之——利用对称美解决实际问題以理服之，能够让学生深刻感受数学美学. 但如果不能用美学之理指引我们解决问题，于学生而言就止步于数学之门，停留在欣赏美学，不能产生数学的美学体验. 因此教师需要利用数学美学解决学生遇到的数学问题，让审美意识产生实际效用，使学生感受“美学之用”. 让内化的美学之理外显，指导学生解决问题，既丰富数学美学体验，也能感受数学之用.由前文所述，可以看到对称美的产生来源于可以用“较小的代价”获取“最多的信息”，因此利用对称美可以达到“化繁为简”的效果.例6：已知A、B分别为椭圆E：■+y2=1的左、右顶点，P为直线x=6上的动点，PA与E 的另一交点为C，PB与E的另一交点为D.证明：直线CD过定点.分析：本题解法很多，但是大都涉及到直线与椭圆联立方程、求点等，计算繁杂. 如果我们能够关注到C、D点的对称性，利用对称美学可以得到一个非常漂亮的解法.解：由椭圆的性质可知：kAC·kBC= -■;kAD·kBD =-■;∴■=■;因为P是直线x=6上的动点，由几何性质可知：kAC=kPA=■;kBD=kPB=■;∴3kAC=kBD，∴■=■=■;设直线CD方程为x=sy+t，由上述可知：3kAC=kBD且3kAD=kBC∵3kAC=kBDxC=syC+txD=syD+t 3■=■xC=syC+txD=syD+t2syC yD+（3t-9）yC-（t+3）yD=0……①同理：3kAD=kBC？圯2syCyD+（3t-9）yD-（t+3）yC=0……②则①-②得：（9-3t）（yD-yC）=（t+3）·（yD-yC）……③∵yC≠yD，由③可知，t=■. 所以直线CD的方程为x=sy+■，因此直线CD恒过点（■，0）.将数学美学教学引入高中课堂，可从直观感知、理性认知、学以致用三个逐层递进的境界认知数学美学. 在这个过程中学生能够打破数学学习封闭性，提升数学学习兴趣、内化数学素养、增强学习内驱力. 更重要的是，以数学美学角度注入课堂教学，可以丰富学生情感体验、提升学生美学修养、提高学生核心素养. 这也是数学学习的价值和意义之所在.注：本文系广东省教育科学“十三五”规划课题“普通中学生态美育体系的研究与实践”（课题批准号：2020ZQ JK071）阶段性成果.责任编辑罗峰。
提升数学课中例题教学“境界”,培养学生思维能力论文
提升数学课中例题教学的“境界”,培养学生的思维能力内容摘要：数学课上，我们要善于利用例题教学，提高学生的解题能力、思维能力。
到底怎样才能使我们的例题教学更有效，更有利于提高学生的思维能力？本文斗胆借“境界”一词，分析了初中数学三种不同境界的例题教学，真诚希望借此引发广大老师们的共鸣。
关键词：例题教学、培养、思维、境界第一种境界：利用例题的变式教学、培养学生思维的广阔性变式教学是指变换问题的条件和结论，变换问题的形式，而不变换问题的本质，使本质的东西更全面。
使学生不迷恋于事物的表象，而能自觉地注意到从本质看问题，同时使学生学会比较全面地看问题，注意从事物之间的联系的矛盾上来理解事物的本质，在一定程度上可克服和减少思维中的绝对化而呈现的思维僵化及思维惰性。
通过变式教学，不断改变问题的呈现形式，常给人以新鲜感，能够唤起学生好奇心和求知欲，因而能够产生主动参与的动力，保持其参与教学活动的兴趣和热情。
如图1，△abc和△cde都是正三角形，求证ae=bd变式1：如图2 △abe和△acd都是正三角形。
求证bd=ce.变式2：如图3四边形acde和四边形abfg都是正方形。
求证bd=ce 变式3:△abd和△ace是等腰三角形，且两顶角∠dab=∠cae。
求证：cd=be其实上面的几个变式是对数学中的问题进行不同角度、不同层次、不同情形、不同背景的探究，以暴露问题的本质特征：都是通过三角形全等达到解决。
变式训练的核心是利用构造一系列变式的方法,来展示知识的发生、发展过程；“万变不离其宗”,从变中加深对不变的理解,从而使学生灵活掌握基础知识,提高解决问题的能力,培养良好的思维品质。
第二种境界：探究题目的源头，找寻变化的规律，培养学生思维的深刻性通过数学例题教学，引导学生对例题的解题过程、例题特点、例题结论等方面进行反思，提炼解题经验，学生在练习中以例题为默会对象，领悟来自于例题的解题反思和启示。
随着练习的不断深入，理解能力的提高，综合能力、分析问题解决问题能力、概括能力的逐渐提高，学生不仅能概括或抽象出例题的解决原理，抓住其变化规律，找到其变化线索，把例题的原理方法迁移到其它同类问题或相似问题的解决上，形成有效地数学正迁移，提高数学学习效率。
浅谈学好高中数学的三个阶段
第一阶段：学会看，学会听，才能题会做 学会看就是学会看课本、看老师。看数学课本，认真研读教 材也是掌握数学知识非常重要的方法。只有这样，才能较好的掌 握数学语言，提高自学能力。数学学习的过程中，一定要改变只 做题不看书，把课本当成查公式的词典的不良习惯。另外，看数 学课本或者数学题不是语文的泛读，一目十行，走马观花的看， 而是语文的精读，需要细细的品味每一个符号，每一个条件，每 一个关键词的内涵和外延。如果某个地方有疑惑时，还要反复的 看。第一要看本节课新知识与旧知识如何联系起来。第二要看老 师讲课的表情手势，不同的表情，不同的手势可能就是对某些知
浅谈学好高中数学的三个阶段
刘红霞
（河南省焦作孟州市第五高级中学 河南 焦作 454750）
【摘要】学好高中数学需经历：题会做，会做题，做题会三个阶段。要想做好第一阶段，数学课上就要首先学会看，学会听。
想做好第二阶段就要学会选，学会用。第三个阶段就要学会变，学会思。
【关键词】高中数学 题会做 会做题 做题会
【中图分类号】G632
【文献标识码】A 【文章编号】2095-3089（2017）30-0150-02
华罗庚先生在谈及数学研究时，提到了三种境界：（1）依 葫芦画瓢的模仿；（2）利用现成的方法解决新问题；（3）提出 新的思路，创造新的方法，开辟新的研究领域。而我们的学生往 往误认为课堂上老师讲的问题都听懂了，布置的作业会做了就是 数学学好了。其实不然，事实上很多学生课下做数学题时经常束 手无策，为什么呢？带着学生们的种种疑问，受“一切为了学生， 为了学生的一切，为了一切学生”这句话的启发，我认为学好高 中数学需经历：题会做，会做题，做题会这三个阶段。
浅谈学习高等数学的四种境界
浅谈学习高等数学的四种境界大学的高等数学课程包括大量的概念、定义和定理，通过学习来获取美妙的宇宙结构，深入了解它们之间的联系，丰富学生的知识结构。
想要学好高等数学课程，要掌握跨越不同境界的学习技巧。
接下来，就以“浅谈学习高等数学的四种境界”为标题，就学习高等数学的四种境界进行详细阐述。
第一种境界是记忆。
这是最基本也是最重要的一个境界，是数学学习的基础，是其他境界的基础。
记忆就是记住所学的知识，比如：定义、公式、定理、证明等。
这个过程除了直接记忆外，还要通过理解以及结构化来深入记忆，例如：利用数学定理推导出数学公式；学习一些数学定理，同时记忆实际意义；记忆一些典型的例子，以便理解抽象概念，以及其它一些记忆技巧。
第二种境界是理解。
在记忆完知识点之后，就要开始理解它们之间的联系，理解所学知识的实际意义，理解抽象概念。
虽然这个过程的重点是复习和理解，但是要牢记记忆的技巧，结合反复的练习，才能够真正理解所学的知识。
第三种境界是概括。
这种境界的重点是将所学知识概括出一些准确的定义，熟悉它们之间的联系，例如：熟悉定义、公式、定理、证明等数学思想，理解数学结构；熟悉数学证明的最佳结构，以及数学直观思维；熟悉数学解决问题的步骤；熟悉数学抽象思维。
第四种境界是实践。
实践是掌握数学知识最好的方法。
实践是练习，是将所学知识付诸实践，实践中不仅要记住所学的知识点，还要理解它们的联系，发现新的知识，解决新的问题，学会分析问题，掌握新的知识，把所学知识扎根于脑海中。
实践是掌握数学知识最有效的方式。
以上就是关于学习高等数学的四种境界的介绍，我们应该清楚地认识这些境界，理解它们之间的联系，逐步提高自己的学习能力，不断的练习，只有这样，才能学好高等数学。
高等数学作为一门学科，其学习具有严谨的理论框架，也有科学的学习方法，学习者可以根据各自的情况，结合四种境界，实施分阶段学习，这样才能有效地掌握所学的知识。
只有通过反复记忆、理解、概括、实践，深入地学习，才能学好高等数学。
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论学习数学的三种境界
清代词学家王国维曾在《人间词话》说：“古今成大事业大学问者，必经过三种境界：…昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路.‟此第一境也. …衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴.‟此第二境也. …众里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处.‟此第三境也。
”其实不但做大学问的人要经过这样三种境界，对于我们每一个人来讲，也是能达到这样三种境界的。
比如我们学习数学，我认为也应该经历类似的三种境界：
一、做数学.数学光看不做是不行的，结果就犹如入宝山而空手返。
数学必须得亲自去做才能巩固所学的知识，才能将书本知识化为独立解决问题的能力，才能提高成绩。
无论是作为学生或老师，还是作为数学家都必须经历长时间地去“做数学”这一关.这正是所谓第一境界“昨夜西风凋碧树，独上西楼，望尽天涯路”吗？但数学光靠做题还是不行的，因为我们学习过程中不能老搞题海战，原因是一方面这样做我们没有这么多的时间；另一方面是我们会因此失去更多的思考的时间，失去“研究数学”的机会。
二、研究数学.有人看到“研究”这两个字就害怕了，认为“研究数学”只有数学家才能做到的。
其实不然，正如自然的美景对于所有的人都是开放的，数学王国的奇妙也绝对不是几个“数学家们”的特权！只要你善于独立思考，善于发现问题并勇于质疑，并想办法解决它，那么你就是在“研究数学”；只要你对数学抱有浓厚的兴趣，甚至如痴如醉，并坚持不懈地去探究数学世界的奥秘，那么你就是在“研究数学”；如果你善于运用数学的眼光看生活，用数学的眼光看世界，那么你就是在“研究数学”！而“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”揭示的就是这种境界.其实我们每个人都可以研究数学，并且我们每个人都可以做出前无古人的发现！发现无处不在！有的同学可能会问我们怎样研究数学呢？其实“研究数学”并不高深，而且还是有规律可寻的，我们只需要掌握几种思考问题的思维方式就可以研究数学了。
首先我们可以将问题“倒过来”想。
比如一道几何题，都有题设和结论的，假如题设和结论互换一下将会怎样呢？是否成立？每一个数学题都可以这样想的。
如果做完题在反思的时候，倒过来这样一想，说不定你可以发现什么新定理呢！在这儿我举一个例子吧，大家都很熟悉“等腰三角形的两底角平分线相等”，当然证明这个命题也很简单，只需要利用两个三角形全等即可证明.可是我们如果倒过来想的话就会得到这样一个命题：“如果三角形的两个角平分线相等，那么这个三角形是等腰三角形.”这个命题是真还是假呢？其实这个命题早是在1840年，数学家莱默斯（C.L.Lehmus）就提出来了.瑞士几何学家斯坦纳
（J.Steiner,1796~1863）首先给出证明，因而这个命题后来就称为＂斯坦纳—莱默斯定理＂，大家看看是不是觉得这个问题的提出确实很容易呢？其实这样的例子俯首皆是，数不胜数！有时候我们仔细想想，我们做人也应该如此，假如我们和同学或老师之间出现矛盾时，能用这种“倒过来”的思维方式，也即换位思考的方式站在别人的立场上考虑的话，我们就不会有那么多的烦恼了，那么我们的生活其实可以变得更美的！
数学是思维的体操。
生命在于运动，思维的精髓其实也在运动. 让我们思维“动起来”！最精彩的问题来自于运动的观点的运用！比如我们研究几何中的某个原本固定的点，你不妨让这个点运动起来试试看！会出现什么变化？我们大可不必让自己缩手缩脚，眼界开阔些，是否能让这个点运动到该边的延长线或反向延长线呢？甚至整个平面或整个空间上呢？不
想尝试一下吗？现举一个例子，我们知道“等腰三角形底边上一点到两腰的距离和是一个定
值”，这个定值是什么呢？如果我们让这个点动起来，运动到底边一端时就会发现距离和等于一腰上的高！我们再想下去，如果将这个点运动拓展到底边的延长线上的时候，距离和将会怎样呢？还等于一腰上的高吗？如果不相等的话，两个距离以及一腰上的高三者之间还有什么数量关系吗？如果仔细研究，你肯定会发现新的结论！
三、享受数学.其实研究数学的思维方式还有很多，关键在于自己做个细心的人！俗语不是说事事留心皆学问吗？其实这句话也可以改为：事事留心皆数学！如果学习数学时能注重训练自己思维的话，数学就可以使愚钝的人变聪明，聪明的人变得更聪明！如果在做数学的同时能经常反思，你就会从做数学中提高成绩，迷上数学，陶醉在研究数学之中！在研究数学时，有些问题常常让你百思不得其解，但又不忍轻易放弃，苦苦寻觅，使你“衣带渐宽终不悔，为伊消得人憔悴”后，忽然发现方法竟如此之妙！答案如此简单！这不正是感受到“众
里寻他千百度，蓦然回首，那人却在灯火阑珊处”的心境吗？
数学不仅很有趣的，更是美的！是一种体现我们人类思维之美的科学！如果你能够在“做数学”中发现数学之美，更能在“研究数学”中享受数学之美！这样你就达到了学习数学的第三种境界：最高境界------享受数学！。