2.2函数的单调性及值域补充例题

2.2函数的单调性及值域补充例题

例1．判断对错并说明理由：()x

x f 1=在定义域上单调递减.

常见题型

题型一、分式函数的单调性及值域问题.

(1)形如d

cx b ax y ++=

(解法：反比例函数图象的平移) 例2．求112--=x x y 的单调性及值域

(2)形如⎪⎭

⎫ ⎝⎛+++=一次二次e dx c bx ax y 2 (解法：分离常数) 例3．求()11

332->+++=x x x x y 的单调性及值域

(3) 形如⎪⎭⎫ ⎝⎛+++=

二次一次c bx ax e dx y 2 (解法：将一次整体换元成t ，再分子分母同时除以t) 例4．求8

522+++=

x x x y 的单调性及值域.

(4)形如f

ex dx c bx ax y ++++=22的值域(判别式法) 例5．求4

2168222+-+-=x x x x y 的值域

题型二：与三角函数的分式相关

例6．()2

cos 1sin +-=x x x f 方法一：利用三角函数的有界性

方法二：看作斜率，设P (cos x ，sin x )，Q (1,2-)两点连线的斜率

题型三：含根式的最值问题

(1)形如：d cx b ax y +±+=(解法：将d cx +换元成t ，你会发现______________) 例7．求x x y ++=1的值域.

(2)形如：()()

⎩⎨⎧+++=用柯西不等式异号直接用函数单调性做同号，c a ，c a d cx b ax y ,, 例8．2312-++=x x y 的值域为___________

例9．x x y 21015-+-=的最大值为____________

(3)形如：()()⎩⎨⎧+-+=直接用函数单调性做

异号用柯西不等式同号，c a ，c a d cx b ax y ,, (4)形如：若遇根号中有2x a - ，则实行三角换元，如θcos a x =

例10．求21x x y -+=的值域.

题型四：若题中遇到最大值与最小值之和的问题，联想到奇函数

例11．(2012全国)设()()1

sin 122+++=x x x x f 的最大值为M ，最小值为N ，则M+N =___

重点题型之题型五：抽象函数单调性的问题.

例12．已知函数()x f 对任意的实数x ，y ，恒有()()()y f x f y x f +=+，当x >0时，()0

[分析，需联想到正比例函数y=kx ，因为正比例函数是过原点的一条直线，故可得附加结论，满足如题式子的函数也是奇函数]

例13．已知定义在区间()+∞,0上的函数()x f 满足()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛，且当x >1时，

f (x )<0，判断()x f 的单调性.

[分析：此题式子貌似对数公式，故联想到()x f 的原貌应该是对数函数()x x f a log =.其实()()y f x f y x f -=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛与()()()y f x f xy f +=此两式子能够互证，请同学们尝试]

例14．已知定义在R 上的正值函数()x f 满足()()()y f x f y x f =+，且当x >0时，f (x )>1，判断()x f 的单调性.

[分析：此题式子貌似指数公式，故联想到()x f 的原貌应该是指数函数()x a x f =.其实()()()y f x f y x f =+与()()()

y f x f y x f =-此两式子能够互证，请同学们尝试]

重点题型之题型六：单调函数中定义域为[m ，n ]，值域亦为[m ，n ]的问题.

例15．x a y +

=存有定义域为[m ，n ]时，值域也为[m ，n ]，求实数a 的取值范围.

变式：(1) a x y +=2(x ≤0)存有定义域为[m ，n ]时，值域也为[m ，n ]，求实数a 的取值范围.

(2) x a y +=存有定义域为[m ，n ]时，值域为[2m ，2n ] 求实数a 的取值范围.

重点题型之题型七：分段函数中的单调性问题.

例16．已知函数()()()()⎩⎨⎧≥+-<=0,430,x a x a x a x f x 在R 上单调递减，求a 的取值范围.