高考数学复习专题 直线与圆位置关系

第66炼 直线与圆位置关系

一、基础知识：

1、定义：在平面上到定点的距离等于定长的点的轨迹是圆

2、圆的标准方程：设圆心的坐标(),C a b ，半径为r ，则圆的标准方程为：

()

()2

2

2x a y b r -+-=

3、圆的一般方程：圆方程为2

2

0x y Dx Ey F ++++= （1）2

2

,x y 的系数相同 （2）方程中无xy 项

（3）对于,,D E F 的取值要求：22

40D E F +->

4、直线与圆位置关系的判定：相切，相交，相离，位置关系的判定有两种方式：

（1）几何性质：通过判断圆心到直线距离与半径的大小得到直线与圆位置关系，设圆的半径为r ，圆心到直线的距离为d ，则： ① 当r d >时，直线与圆相交 ② 当r d =时，直线与圆相切 ③ 当r d <时，直线与圆相离

（2）代数性质：可通过判断直线与圆的交点个数得到直线与圆位置关系，即联立直线与圆的方程，再判断解的个数。设直线：0Ax By C ++=，圆：2

2

0x y Dx Ey F ++++=，则：

22

Ax By C x y Dx Ey F ++=⎧⎨++++=⎩消去y 可得关于x 的一元二次方程，考虑其判别式的符号 ① 0∆>，方程组有两组解，所以直线与圆相交 ② 0∆=，方程组有一组解，所以直线与圆相切 ③ 0∆<，方程组无解，所以直线与圆相离 5、直线与圆相交：

弦长计算公式：2

2

22AB AM r d ==-6、直线与圆相切：

（1）如何求得切线方程：主要依据两条性质：一是切点与圆心的连线与切线垂直；二是圆心到切线的距离等于半径

例：已知圆的方程为：22

4x y +=

及圆上一点(P ，求过P 的圆的切线

方法一：利用第一条性质：OP k =

k = ∴

切线方程为：)13

y x =-

，整理后可得：4x += 方法二：利用第二条性质：设切线方程l

为：()1y k x =-

即kx y k -+

2O l d r -∴=

==

整理可得：)

2

2

31010k ++=⇒

+=

解得：3

k =-

):143

l y x y ∴-=-

-⇒+= （2）圆上点的切线结论：

① 圆222

x y r +=上点()00,P x y 处的切线方程为200x x y y r +=

② 圆

()

()2

2

2

x a y b r -+-=上点

()

00,P x y 处的切线方程为

()()()()200x a x a y b y b r --+--=

（3）过圆外一点的切线方程（两条切线）：可采取上例方法二的做法，先设出直线方程，再利用圆心到切线距离等于半径求得斜率，从而得到方程。（要注意判断斜率不存在的直线是否为切线）

7、与圆相关的最值问题

（1）已知圆C 及圆外一定点P ，设圆C 的半径为r 则圆上点到P 点距离的最小值为PM PC r =-，最大值为PN PC r =+（即连结PC 并延长，M 为PC 与圆的交点，N 为PC 延长线与圆的交点

（2）已知圆C 及圆内一定点P ，则过P 点的所有弦中最长的为直径，最短的为与该直径垂直的弦MN

解：，弦长的最大值为直径，而最小值考虑弦长公式

为

AB =AB 最小，则d 要取最大，在圆中CP 为定值，

在弦绕P 旋转的过程中， d CP ≤，所以d CP =时，AB 最小 （3）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则圆上点到直线距离的最小值为C l PM d r -=-，距离的最大值为C l PN d r -=+（过圆心C 作l 的垂线，垂足为P ，CP 与圆C 交于M ，其反向延长线交圆C 于N

（4）已知圆C 和圆外的一条直线l ，则过直线l 上的点作圆的切线，切线长的最小值为PM

解：PM =

PM 最小，则只需CP 最小即可，

所以P 点为过C 作l 垂线的垂足时，CP 最小

∴过P 作圆的切线，则切线长PM 最短

8、圆与圆的位置关系：外离，外切，相交，内切，内含

（1）可通过圆心距离与半径的关系判定：设圆12,O O 的半径为12,r r ，12OO d = ① 12d r r >+⇒12,O O 外离 ② 12d r r =+⇒

12,O O 外切

③ 1212r r d r r -<<+⇒12,O O 相交

④ 12d r r =-⇒12,O O 内切 ⑤ 12d r r <-⇒

12,O O 内含

（2）可通过联立圆的方程组，从而由方程组解的个数判定两圆位置关系。但只能判断交点的个数。例如方程组的解只有一组时，只能说明两圆有一个公共点，但是外切还是内切无法直接判定。

N

二、典型例题：

例1：已知直线20ax y +-=与圆心为C 的圆()()2

2

14x y a -+-=相交于,A B 两点，且

ABC 为等边三角形，则实数a =（ ）

A. 3±

B. 1

3

± C. 1或7

D. 4± 思路：因为ABC 为等边三角形且C 为圆心，所以该三角形的边长为2，由等边三角形的性

即C 到AB

由圆方程可得：()1,C a ，所以利用点到直线距离

公式可得：()()2

22231C AB d a a -==-=+

，解得：4a =±答案：D

例2：圆心在曲线()2

0y x x

=>上，且与直线210x y ++=相切的面积最小的圆的方程为（ ）

A. ()()2

2

125x y -+-= B. ()()2

2

215x y -+-= C. ()()2

2

1225x y -+-= D. ()()2

2

2125x y -+-= 思路：不妨设圆心2,

a a ⎛⎫

⎪⎝⎭

，其中0a >，半径为r ，因为直线与圆相切，所以

有d r =

=

，若圆的面积最小，则半径最小，则221r a a ⎫==++⎪⎭

21⎛⎫≥⋅+=⎪⎪⎭

，

即min r =，此时1a =，所以圆方程为：()

()2

2

125x y -+-=

答案：A

例3：设点(),1M m ，若在圆2

2

:1O x y +=上存在点N ，使得30OMN ∠=，则m 的取值

范围是（ ）

A. ⎡⎣

B. 11,22⎡⎤

-⎢⎥⎣⎦ C. []2,2-

D. ⎡

⎢⎣⎦

思路：由圆的性质可知：圆上一点T ，与,M O 所组成的角OMT ∠，当MT 与圆相切时，