结构力学 结构塑性分析的极限荷载

(a) s 线弹性状态
M
M = M u
(b) s 弹塑性及塑性流动阶段
2、极限弯矩Mu
当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大 M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面 高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用， 见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不 再与截面高度保持线性关系。
(1)截面的弹塑性阶段 (2)截面的塑性流动阶段 矩形截面在塑性极限状态的极限弯矩
Mu
(bh 2
S
h) 4
2
bh2 4
S
(d)
(3)塑性铰概念
当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性 发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的 塑性极限状态止，截面上应变的发展始终 与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段 塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但 应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共 线发展。因此，当截面达到塑性极限状态 时，比弹性极限状态的应变值显著增大， 由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个 截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位 移效应。
FP2/2
5FP1/2
5FP2/2
(b) M C M s FP1 FPs (c) M S M C M u FPs FP2 FPu
3FPu Mu
FPu/2
Fpu FPu/2
5FPu/2
(d) M C M u
2FPu
FPu/2
(e)
(1).结构的极限状态
极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。
第三节 梁的极限荷载
研究梁的极限荷载，是寻找能使梁结 构达到塑性极限状态时的荷载值，也 就是梁结构在丧失承载力之前所能承 受的最大荷载值。
在上一节讨论过的截面极限状态 （极限弯矩）的基础上，本节讨论 结构的极限状态（极限荷载）。
1.静定梁的极限荷载
2FP
FP/2
2FP1
(a)
FP1/2 Fp1
2FP2
第一节 概述
1.结构的弹塑性
b
II s A C
I
III B D
o s `
`
b
普通钢筋拉伸曲线
考虑图所示材料的路径在弹性阶段I 以后的的II、III两条路经上的特性 和承载能力。
这两条路经的曲线显示一个共同的 点，材料产生明显变形且有残余应 变，但仍有承载能力。
残余变形是材料不能恢复的变形。
max
M ym a x I
s
(a)
时，认为该截面已达到截面的弹性极限状 态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极 限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得：
MS
y
I
m
ax
s
(b)
对图示矩形截面梁，代入 I bh3 得矩形截面弹性极限弯矩： 12
h ymax 2
MS
bh2 6
S
(c)
M
M
M =M s
第二节 极限弯矩和塑性铰
M
M
(a)纯弯曲 矩形截面梁
(b) s
(c) s
1、弹性极限弯矩Ms
由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯 弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外 力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保 持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的 伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应 变按截面高度线性分布，在中性轴处的应 变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外 层纤维达到材料的屈服应力，即
塑性铰的以下特征：
(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 (2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷 载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的 转动。 (3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的 长度。
综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力 的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成 塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极 限状态。
C
I
II C o
s A
I
(b)刚塑性模型
o s
(a)线性强化模型
s A
II
C
I
o s
残余应变
(c)理想弹塑性模型
各类简化曲线模型
理想弹塑性材料假定：
(1)材料的拉压性能相同
(2)加载时，材料的 曲线分弹性I、
塑性II两个阶段。 (3)卸载时，卸载点在I、II两个阶段上 是不同的。
理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性， 卸载时呈弹性。
当MC<Mu，FP2<FPu时，梁处于弹塑性发 展阶段，弯矩图见图(c)。 当MC=Mu时，截面C也将首先达到截面的塑 性极限状态，也即形成第一个塑性铰。
结构上出现足够多的塑性铰，能使原结构 成为破坏机构时的状态为结构的极限状态。 结构在极限状态仍能保持静力平衡。
(2)结构的极限荷载
a.极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
y dA ydA ydA S1 S2
A1
A2
则极限弯矩可表示为：
Mu s (S1 S2 ) (14-2-2)
弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段， 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。
以上所讨论的是梁在纯弯受力和变形状态 下的截面的两个阶段的极限状态和相应的 极限弯矩。
对非纯弯状态梁，通常剪力对梁的承载力 的影响可忽略。所以仍可利用以上概念和 结果。利用式(14-2-1)或(14-2-2)计算截 面极限弯矩。
截面在塑性极限状态的中性轴平分截面 总面积A，即为截面的等面积轴。
(2)截面的极限弯矩Mu
已知在塑性极限状态时截面的中性轴位置， 可推导截面的极限弯矩如下。弯矩等于截面 上应力对中性轴的合力矩，即：
Mu s y dA s y dA (14-2-1)
式中积分为截面的面积净矩，可写成：
结构的弹性设计方法，是以只要结构 上有一个截面的一点的应力达到材料
的许用应力 为标志的。即结构上
任一点的应力 和应变 都不许超过
材料的屈服应力 s和屈服应变 s 。
即：
s s (a)
FPu 即：FP FP FPu
(b)
许用荷载法。
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2.理想弹塑性材料假设
s A II
3.具有一个对称轴截面的极限弯矩
形 心 轴 等 面 积 轴
(1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足：
dA 0
(a)
A
在塑性极限状态时截面上的轴力应满足：
S dA S dA 0
A1
A2
即 S ( dA dA) S (A1 A2 ) 0
A1
A2
上式只有在 A1 A2 0 成立时才能满足， 即受拉区的面积须等于受压区的面积。