结构力学 结构塑性分析的极限荷载
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结构塑性分析的极限荷
刚塑性模型
线性强化模型
各类简化曲线模型
理想弹塑性模型
加载时，材料的 曲线分弹性I、塑性II两个阶段。
材料的拉压性能相同
理想弹塑性材料假定：
卸载时，卸载点在I、II两个阶段上是不同的。 理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性，卸载时呈弹性。
2
3
4
1
第二节 极限弯矩和塑性铰 纯弯曲 矩形截面梁
1)限定给结构加载的方式为按比例加载
结构的范围内。并假定： 材料为理想弹塑性材料。 轴力和剪力对极限荷载的影响可以 忽略不计。
2)限定仅在梁、刚架一类以弯曲变形为主的
1
2
平衡条件 在极限状态下，结构的整体、或任一局 部都满足静力平衡条件。 在极限状态下，结构的任一截面上的 弯矩值都不能超过截面的极限弯矩。
即
成立
证毕。
2.唯一性定理（单值定理）： 结构的极限荷载是唯一的。
证明：
。根据极限荷载应同时满足既是可破坏荷载又是可接受荷载，先设
为可破坏荷载，
为可接受荷载，由基本定理知应有：
和
（a）
为可破坏荷载，
为可接受荷载，
再设
（b）
(a)、(b)两式应同时成立，否则， 、 均为极限荷载的假设不能成立。而使该两不等式同时成立的条件是：
当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用，见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不再与截面高度保持线性关系。
Hale Waihona Puke (3)塑性铰概念当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的塑性极限状态止，截面上应变的发展始终与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共线发展。因此，当截面达到塑性极限状态时，比弹性极限状态的应变值显著增大，由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位移效应。
16结构的塑性分析和极限荷载
ε
εs
塑性区
第十六章 结构的极限荷载
三、基本假设
结 构 力 学 Ι
1、材料为“理想弹塑性材料” 。 、材料为“理想弹塑性材料” 2、拉压时，应力、应变关系相同。 、拉压时，应力、应变关系相同。 3、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。 、满足平截面假定。即无论弹、塑性阶段，保持平截面不变。
Mu1
M u1 = M u 2 q u1 ≠ q u 2
Mu2 Mu2
第十六章 结构的极限荷载
§16-3 梁的极限荷载
§16-3-1如何确定单跨梁的极限荷载 如何确定单跨梁的极限荷载
q u1
Mu
q u1 l = Mu 12
q u1 l 2 M u = 24 2
2
结 构 力 学 Ι
1、逐步加载法 q 、
第十六章 结构的极限荷载
极限荷载的直接分析方法——极限平衡法 极限平衡法 极限荷载的直接分析方法
结 构 力 学 Ι
（1）超静定结构极限荷载的计算无需考虑结构弹塑性变形的发展过 ） 只需考虑最后的破坏机构。 程，只需考虑最后的破坏机构。
（2）超静定结构极限荷载的计算，只需考虑静力平衡条件，而无需 ）超静定结构极限荷载的计算，只需考虑静力平衡条件， 考虑变形协调条件，因而比弹性计算简单。 考虑变形协调条件，因而比弹性计算简单。
σ
σy
卸载时有残余变形
ε
第十六章 结构的极限荷载
§16-2 纯弯曲梁的极限弯矩和塑性铰
结 构 力 学 Ι
1. 弹性阶段
b b 2 2
M
σ = Eε
σs =
Ms 1 2 bh 6
ε=
y
ρ
=κy
11 结构力学—— 结构的极限荷载
MC
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17
结构的塑性分析和极限荷载
A B C FP D
破坏机构实现的条件：
（1）B、C 点出现塑性铰 则：
M C Mu
M A Mu
M B Mu
3
A
Mu
Mu
Mu FP B
Mu
D
9Mu F l
P1
Mu C Mu
Mu
M A 3Mu
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结构的塑性分析和极限荷载
限弯矩。
80 mm
例题：已知材料的屈服极限σs =240MPa，求图示截面的极 解:
A 0.0036 2 m
g
A1 A2 A / 2 0.0018 2 m
A1 形心距离下端0.045m A2 形心距离上端0.01167m A1与A2的形心距离为0.0633m
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结构的塑性分析和极限荷载
s
y 弹性阶段 结束的标志是最外纤维某 处应力达到屈服极限应力σs ，此时的弯 矩称屈服弯矩 Ms。 s 2 bh M s dA. y s W s W 弹性抗弯截面系数 6
弹塑性阶段 截面上既有塑性区又 有弹性区（弹性核 y0）。随弯矩 增大，弹性核逐渐减小。
Mu
FP u
6Mu l
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结构的塑性分析和极限荷载
q
例题：试求图示结构的极限荷载 qu 解： 由梁的弯矩图可 A 知：第一个塑性 铰必出现在固定 支座处； 1 2 ql 8 首先求当出现第一 个塑性铰时支座B 的 约束反力FRB
结构力学结构的塑性分析与极限荷载 ppt课件
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
s
→屈服弯矩
图b）弹塑性阶段，y0部分为弹性区,称为弹性核。
图c）塑性流动阶段，y0→0。相应的弯矩M为：
Mu
bh
s
→极限弯矩
是截面所能承受的最大弯矩。
极限弯矩的计算
Mu
bh
s
设塑性流动阶段截面上受压区和受拉区的面积分别为A1
和A2，并且此时受压区和受拉区的应力均为常量，又因为
梁是没有轴力的，所以:
sA1sA20
A1A2A/2
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
【例17.1 】 图示为矩形截面简支梁在跨中承受集中荷载，试 求极限荷载。
FP
FPu
已知Mu
解：
FPul
Mu
FPu
Mu l
可破坏荷载： 对于任一单向破坏机构，用平衡条件求得的荷载值，称
为可破坏荷载，常用FP+ 表示。
基本定理：
（1）唯一性定理：极限荷载FPu值是唯一确定的。
（2）极小定理：极限荷载是可破坏荷载中的极小者。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s(SS)
S、S分别为面 A、 积 A对等面积轴的静矩
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
M q =64 2u . u l
§15-4 比例加载时判定极限荷载的一般定理
比例加载：
所有荷载变化时都彼此保持固定的比例，整个荷载可用一 个参数来表示，即所有荷载组成一个广义力。 荷载参数只是单调增大，不出现卸载现象。 结构的极限受力状态应当满足的一些条件： 平衡条件：在结构的极限受力状态中，结构的整体或任一 平衡条件 局部都能维持平衡。 内力局限条件：在极限受力状态中，任一截面的弯矩绝对 内力局限条件 值都不超过其极限弯矩。 单向机构条件：在极限受力状态中，已有某些截面的弯矩 单向机构条件 达到极限弯矩，结构中已经出现足够数量的塑性铰，使结构 成为机构，能够沿荷载方向作单向运动
σs
⊕
(c)
σs
⊕
(d)
b h M = σs u 4
2
(15−2)
§15-2 15-
极限荷载、 极限荷载、塑性铰和极限状态
几个概念： 几个概念：
塑性铰—当截面达到塑性流动阶段时， 塑性铰 当截面达到塑性流动阶段时，在极限弯矩值保 当截面达到塑性流动阶段时 持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限 持不变的情况下，两个无限靠近的相邻截面可以产生有限 的相对转角，这种情况与带铰的截面相似。 的相对转角，这种情况与带铰的截面相似。因此当截面弯 矩达到极限弯矩时，该截面称为塑性铰。塑性铰为单向铰 单向铰， 矩达到极限弯矩时，该截面称为塑性铰。塑性铰为单向铰， 仅能沿弯矩增大的方向发生有限的转动； 仅能沿弯矩增大的方向发生有限的转动；如果沿相反方向 变形，则截面立即恢复弹性刚度而不再具有铰的性质。 变形，则截面立即恢复弹性刚度而不再具有铰的性质。 极限状态—某些截面，弯矩首先达到极限值， 极限状态 某些截面，弯矩首先达到极限值，形成塑性 某些截面 此时，结构变成机构，挠度可以任意增大， 铰。此时，结构变成机构，挠度可以任意增大，承载力已 无法再增加，这种状态称为极限状态，此时的荷载称为极 无法再增加，这种状态称为极限状态，此时的荷载称为极 限荷载。 限荷载。
结构力学第十五章 结构的塑性分析与极限荷载.ppt
坏形态才可能实现。
A l/3
B
Mu
B
l/3
FPu
DC Mu
D
l/3
FPu MuB MuD
B
3 l
FPu
M
u
(
3 l
6 l
)
Mu 3Mu
Mu
A
B
FPu
9 l
Mu
(Mu 3Mu )
D
6 l
FPu
D
C
Mu
20
2) A、D截面出现塑性铰。由弯矩图可知，只
解:
为Mu。
塑性铰位置：A截面及跨 A
中最大弯矩截面C。
q
B l
整体平衡 M A 0
FRB
1(1 l2
qul 2
Mu )
qu
A
Mu A
l-x
Mu C C x
B
FRB
FRB
1 2
qul
Mu l
qu
BC段平衡
Fy 0 FQC FRB qu x 0
C
FQC Mux
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后，从C点卸载至D
点，即应力减小为零。此时，应变并不等于
零，而为εP。由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变的塑性部分，称为残余应变。
s A
CB
o
ε
D
sεεP
ε
s
ε
理想弹塑性模型
5
2）应力与应变关系不唯一
当应力达到屈服应力σs后，应力σ与应变ε之 间不再存在一一对应关系，即对于同一应力，
第15章 结构的塑性分析与极限荷载
弹性阶段的弯矩如 图所示。固端处弯矩 最大。
A
B
5 FPl 32
§15-3
超静定梁的极限荷载
FP
l/2
6 FPl 32
当荷载超过FPS后，塑 性区首先在A端形成并扩 大，然后在C截面也形成 塑性区。 此时的弯矩随荷载的变 化而不断变化，但不再与 弹性弯矩图成比例。 当A端达到Mu时，第一 个塑性铰形成。结构变成 简支梁。
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
塑性铰与普通铰的区别：
● 普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受着极 限弯矩Mμ ； ● 普通铰是双向的，而塑性铰则是单向的，即只 能沿着弯矩增大方向发生有限相对转动，如果沿相 反方向变形，则不再具有铰的性质。
● 普通铰的位臵是固定的，而塑性铰的位臵是由荷 载情况而变化的。
《结构力学教程》（Ⅱ）
第15章 结构的 塑性分析与极限荷载
主要内容
§15-1 概述 §15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §15-3 超静定梁的极限荷载
§15-1 概
1、弹性计算
述
——在计算中假设应力与应变为线性关系，荷载 全部卸除后结构没有残余变形。 对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态， 弹性计算能够给出足够准确的结果。
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
解：方法一：平衡法 （1）作M图。
FP
A
l/2
B
C
l/2
由M图可知：在荷载 作用下，塑性铰将在C处 形成。
（2）由静力平衡条件可知， 要达到极限荷载，Mc应等于M u， 即：
FPl MC 4
FPl MC Mu 4
FPu 4M u / l
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
A
B
5 FPl 32
§15-3
超静定梁的极限荷载
FP
l/2
6 FPl 32
当荷载超过FPS后，塑 性区首先在A端形成并扩 大，然后在C截面也形成 塑性区。 此时的弯矩随荷载的变 化而不断变化，但不再与 弹性弯矩图成比例。 当A端达到Mu时，第一 个塑性铰形成。结构变成 简支梁。
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
塑性铰与普通铰的区别：
● 普通铰不能承受弯矩，而塑性铰则能承受着极 限弯矩Mμ ； ● 普通铰是双向的，而塑性铰则是单向的，即只 能沿着弯矩增大方向发生有限相对转动，如果沿相 反方向变形，则不再具有铰的性质。
● 普通铰的位臵是固定的，而塑性铰的位臵是由荷 载情况而变化的。
《结构力学教程》（Ⅱ）
第15章 结构的 塑性分析与极限荷载
主要内容
§15-1 概述 §15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态 §15-3 超静定梁的极限荷载
§15-1 概
1、弹性计算
述
——在计算中假设应力与应变为线性关系，荷载 全部卸除后结构没有残余变形。 对于结构在正常使用条件下的应力和变形状态， 弹性计算能够给出足够准确的结果。
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
解：方法一：平衡法 （1）作M图。
FP
A
l/2
B
C
l/2
由M图可知：在荷载 作用下，塑性铰将在C处 形成。
（2）由静力平衡条件可知， 要达到极限荷载，Mc应等于M u， 即：
FPl MC 4
FPl MC Mu 4
FPu 4M u / l
§15-2 极限弯矩、塑性铰和极限状态
15_结构的塑性分析与极限荷载解读
2l l A y C y 3 3 D A C 9y / 2l
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
A
2M u
P
B
列虚功方程： P uy 2M u A M u D 0
A A
2M u
Pu
Mu
C
D
C
2019/2/20
3 9 Puy 2 M u y M u y 0 2l 2l 15 Pu Mu 2l
M u1 M u 2 Mu2 qu1 qu 2
结构力学
M u1
2019/2/20
Mu2
12
例16-1 如图所示设有矩形截面简支梁在跨中承受集 中荷载作用，试求极限荷载FPu。
解：由静力条件
即
静定结构无多余约束， 出现一个塑性铰即成为 破坏机构。这时结构上 的荷载即为极限荷载。
2019/2/20
可接受荷载：如果在某个荷载值的情况下，能够找 到某一内力状态与之平衡，且各截面的内力都不 超过其极限值，则此荷载值称可接受荷载，用 P表示。 可破坏荷载：对于任一单向破坏机构，用平衡条件 求得的荷载值称为可破坏荷载，用P+表示。
可破坏荷载--- 同时满足单向机构条件和平衡条件。 P 可接受荷载--- 同时满足弯矩极限条件和平衡条件。 P 极限荷载既是可破坏荷载又是可接受荷载。
2 bh h bh h bh M u s A1a1 s A2 a2 s S1 S2 s s 2 4 2 4 4
S1、S2为A1、A2对该轴的静矩。 a1、a2为A1、A2的形心到等分截面轴的 距离，
bh2 Mu s 4
2019/2/20
结构力学
2
§ 16-1 概述 16-1-1 弹性设计
第15章结构的塑性分析与极限荷载
2、不适用于对变形控制严格的结构。
C15 结构的塑性分析与极限荷载 JUST - WL
§15-2 极限荷载、塑性铰和极限状态
以图示理想弹塑性材料的矩形截面梁处于纯弯曲 状态的情况为例，说明一些概念。
M
M
h
b
随着 M 的增大，梁会经历一个由弹性阶段到弹 塑性阶段最后达到塑性阶段的过程。 实验表明，无论在哪个阶段，梁弯曲变形时的 平截面假定恒成立。各阶段截面应力的变化如下。
其缺点：未考虑（塑性、超静定结构）材料超过屈服极限后的承 载力，未能正确反映结构的强度储备，因而不够经济合理。
C15 结构的塑性分析与极限荷载 JUST - WL
§15-1概述
结构塑性分析：基于考虑材料塑性性质的结构分析方法。
塑性设计方法
是研究结构在材料处于塑性状态下的工作性能。将结构进入塑性 阶段并丧失承载能力时的状态，作为结构破坏的标志，称为极限状态。
塑性铰与普通铰的区别：1）普通铰不能承受弯矩，塑性铰能承受Mu ；
2）普通铰为双向铰，塑性铰为单向铰。
极限状态——某些截面，弯矩首先达到极限值，形成塑性铰。 此时，结构变成机构，挠度可以任意增大，承载力已无法再增 加，这种状态称为极限状态，此时的荷载称为极限荷载。 （考虑塑性）截面承载力增大系数：
则：
Mu q3 6.756 2 l
∴
2 极限荷载取各跨独自破坏时的
破坏荷载的最小值
Mu qu q1 6.4 2 l
2 y dA
图b表示截面处于弹 性阶段，最外边缘纤 维处的应力达到屈服 强度 s 。
图d表示截面处于塑性 流动阶段，这时的弯矩是 截面所能承受的最大弯矩， 称为极限弯矩 Mu 。
M u s y bh dA2 s y dA
结构力学 第十四章 结构塑性分析的极限荷载
即：
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
(
FP 2 L 4
Mu 2
)
FP L 4
Mu
解得：
FP 2
FP
6M u L
(a)
即：
FPu
6M u L
2)超静定梁的极限荷载
由前已由叠加方法得出了式(a)所示单跨 超静定梁的极限荷载。观察梁的最后极 限 弯 矩 图 (g) ， 既 是 所 叠 加 的 两 弯 矩 图 (c)、(e)的叠加结果。利用梁的极限弯 矩图的平衡条件，可得：
解： 1)基本方法用破坏机构法
可能机构I：
FP1
L 3
3M u
0
(a)
FP1
9M u L
注意：在突变截面处的塑性铰的极限弯 矩为较小极限弯矩。
可能机构II：
FP 2
L 3
(M
` u
M u )
Mu
0
由几何关系知： 2 代入上式，得：
FP 2
3(M u `3M u ) 2L
(b)
可能机构III：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
2FPu
3
FPu 2
2
Mu
2
0
解该虚功方程，得：
FPu
2 5
M
u
c.关于静定梁极限荷载的求解
由于静定结构只要出现一个塑性铰即达到 其塑性极限状态，即静定梁的极限状态时 弹性阶段最大弯矩截面形成塑性铰，且弯 矩图分布与弹性阶段相同，因此可由弹性 阶段的弯矩图一次确定极限弯矩图。
12.结构的塑性分析与极限荷载
第15章结构的塑性分析与极限荷载•前面的计算都是在结构的线弹性范围内，荷载卸除后没有残余变形。
•弹性设计，在结构的局部甚至一个截面超过弹性极限，就认为结构发生破坏，弹性计算是精确的。
•对于非弹性材料，特别是超静定结构，最大应力超过弹性极限，甚至局部进入塑性，结构仍然能够继续加载，因此，弹性设计是不经济的。
结构的塑性分析：基于考虑材料塑性性质的结构分析。
其任务是研究结构处于塑性状态下的性能，确定结构破坏时所能承受的荷载---极限荷载。
极限荷载：结构的变形随荷载的增加而增大。
当荷载达到某一临界值时，不再增加荷载变形也会继续增大，这时结构丧失了进一步的承载能力，这种状态称为结构的极限状态，此时的荷载是结构所能承受的荷载极限，称为极限荷载，记作Pu 。
弹性设计时的强度条件：塑性设计时的强度条件：ksσσσ=≤][maxkPPP uW=≤][计算假定：材料为理想弹塑性材料。
σεsσsε2. 极限弯矩、塑性铰和极限状态MMh bεεζsεsεs ζsOABCD变形的平面假设MMhb1.弹性阶段sσσ<maxεσE=---应力应变关系yk=ε---应变与曲率关系Eyk=σ---应力与曲率关系EIkydAMA==⎰σ---弯矩与曲率关系sσsσsσσ=maxssbhMσ62=---弹性极限弯矩(屈服弯矩)线性关系bhMσ2=MMhb2.弹塑性阶段中性轴附近处于弹性状态.处于弹性的部分称为弹性核.])(3[22k k M M s s -=---弯矩与曲率关系sσs σ非线性关系sσsσ0y 0y ss M M k k 23-=或3.塑性流动阶段s σsσsu bh M σ42=---塑性极限弯矩(简称为极限弯矩)bh M σ2=5.1=suM M设截面上受压和受拉的面积分别为和，当截面上无轴力作用时1A 2A 021=-A A s s σσ2/21A A A ==中性轴亦为等分截面轴。
)(212211S S a A a A M s s s u +=+=σσσ由此可得极限弯矩的计算方法式中距离，的形心到等分截面轴的、为、2121A A a a 对该轴的静矩。
结构力学-第17章-结构的塑性分析与极限荷载
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
AB跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
1.2M u
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
1.2M
u
0.5l
M
u
( 0.5l
0.5l
)
q1
6.4 l2
M
u
BC跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
A1 A2 A / 2 1800mm2
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等
M u S (S S ) S [ A A .]
S
A
[
.]
S
A
.
26.79KN m
塑性铰、极限荷载
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
AB跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
1.2M u
(b)
Mu
ql 1.2MuB Mu ( A B )
1.2M
u
0.5l
M
u
( 0.5l
0.5l
)
q1
6.4 l2
M
u
BC跨破坏时
ql
(a) A
B
0.5l 0.5l
q 1.5ql
C
D
l 0.75l 0.75l
A1 A2 A / 2 1800mm2
A2
等面积轴
90mm
A1
A1的面积形心距等面积轴45mm, A2的面积形心距等
M u S (S S ) S [ A A .]
S
A
[
.]
S
A
.
26.79KN m
塑性铰、极限荷载
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
结构力学 第17章 结构的塑性分析与极限荷载
可见，塑性流动阶段的中性轴应等分截面面积。
由此，极限弯矩的计算方法: M u s (S S )
S、S 分别为面积A、A 对等面积轴的静矩。
可见，极限弯矩与外力无关,只与材料、截面几何形状 和尺寸有关。
6
[例]已知材料的屈服极限 s 240MPa ，试求图示截面的
极限弯矩。
80mm
解: A 3600mm2
荷载只是单调增大，不出现卸载现象。
2．结构的极限状态应当满足的条件
1）平衡条件：在极限受力状态下，结构的整体或任一 局部都保持平衡。
2）内力局限条件（屈服条件）：在极限受力状态下，
结构任一截面的弯矩绝对值都不大于其极限弯矩，即
︱M︱≤Mu 。 3）单向机构条件：在极限状态，结构中已经出现足够
数量的塑性铰，使结构成为机构，该机构能够沿荷载
FP
FPu
l/2
l/2
Mu
①图中简支梁随着荷载的增大，梁跨中弯矩达到极限弯矩Mu。
②跨中截面达到塑性流动阶段，跨中两个无限靠近的截面可以产生有
限的相对转角，因此，当某截面弯矩达到极限弯矩Mu时，就称该截面
产生了“塑性铰”。
③这时简支梁已成为机构，这种状态称为“极限状态”，此时的荷载
称为“极限荷载”，记作FPu。
35
1、静定结构只要产生一个塑性铰即发生塑性破坏，n次超 静定结构一定要产生n +1个塑性铰才产生塑性破坏。
答案：错误
2、塑性铰与普通铰不同，它是一种单向铰，只能沿弯矩增 大的方向发生相对转动。
答案：正确
3、超静定结构的极限荷载不受温度变化、支座移动等因素 影响。
答案：正确
4、结构极限荷载是结构形成最容易产生的破坏机构时的荷 载。
结构力学 结构的塑性分析与极限荷载
A l/3
FPu
B
DC
Mu
B
Mu
D
l/3
l/3
B
3 l
D
6 l
此时M图如图，MA=3Mu
3M u
Mu
A
B
l/3 l/6
FPu
D
C
Mu
当3M u M u，此破坏可实现。
由虚功方程可得： FPu MuB MuD
FPu
Mu
(3 l
6) l
FPu
M u l
2 当截面D和A出现塑性铰时的破坏机构
FPu Mu' A MuD
极限荷载
q 2l x 2M u x(l x) l
qu
22 3 24
Mu l2
11
.7
Mu l2
极限荷载复习题
1. 极限分析的目的是什么？ 答：寻找结构承载能力的极限，充分利用材料。
2. 试说明塑性铰与普通铰的异同。 答：当截面弯矩达到极限弯矩时，这种截面可称为塑性铰； 塑性铰是单向铰，塑性铰只能沿弯矩增大的方向发生有限的 转角；塑性铰可传递弯矩，普通铰不能传递弯矩。
屈服弯矩、极限弯矩 以理想弹塑性材料的矩形截面纯弯曲梁为例：
M
M
随着M的增大，梁截面应力的变化为：
b
s
s
h b
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
b
s
s
s
h
y0 y0
s
s
a)
b)
s
c)
图a）弹性阶段，最外纤维处应力达到屈服极限σs ，弯矩M
为：
MS
bh2 6
结构力学15第十五章.结构的塑性分析与极限荷载
2
内力虚功
Wi Mu Mu 2 Mu 4Mu
由We=Wi，可得
所以有
1 2 qu l 4 M u 4
16 M u qu l2
16
例15-3-3 求梁的极限荷载，已知梁截面极限弯矩 为Mu。 q 解: 塑性铰位置：A截面及跨 A l 中最大弯矩截面C。 qu 整体平衡 M A 0
有当 1 ( M u' M u ) M u ,即M u' 3M u 时，此破坏 2 FPu 形态才可能实现。
FPu M A M u D
' u
A
3 9 FPu M Mu 2l 2l
' u
M u' A 2l /3
A
3 2l
D Mu
C
D
l /3
3
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性， 其应力与应变关系如下：
s A
C B
s A
C
B
o
εs εP εs ε
D
ε
o
εs
ε
D
a) 理想弹塑性模型
b) 弹塑性硬化模型
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后在C点卸载至D点， 即应力减小为零，此时，应变并不等于零，而 为εP，由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变 的塑性部分，称为残余应变。
一、 极限弯矩
下图示理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁， 随着M 增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶 段最后到塑性阶段的过程（见下页图）。无论 在哪一个阶段，平截面假定都成立。
M M h
b
内力虚功
Wi Mu Mu 2 Mu 4Mu
由We=Wi，可得
所以有
1 2 qu l 4 M u 4
16 M u qu l2
16
例15-3-3 求梁的极限荷载，已知梁截面极限弯矩 为Mu。 q 解: 塑性铰位置：A截面及跨 A l 中最大弯矩截面C。 qu 整体平衡 M A 0
有当 1 ( M u' M u ) M u ,即M u' 3M u 时，此破坏 2 FPu 形态才可能实现。
FPu M A M u D
' u
A
3 9 FPu M Mu 2l 2l
' u
M u' A 2l /3
A
3 2l
D Mu
C
D
l /3
3
二、材料的应力——应变关系
在塑性设计中，通常假设材料为理想弹塑性， 其应力与应变关系如下：
s A
C B
s A
C
B
o
εs εP εs ε
D
ε
o
εs
ε
D
a) 理想弹塑性模型
b) 弹塑性硬化模型
4
1）残余应变
当应力达到屈服应力σs后在C点卸载至D点， 即应力减小为零，此时，应变并不等于零，而 为εP，由下图可以看出， ε= εs+ εP， εP是应变 的塑性部分，称为残余应变。
一、 极限弯矩
下图示理想弹塑性材料的矩形截面纯弯梁， 随着M 增大，梁会经历由弹性阶段到弹塑性阶 段最后到塑性阶段的过程（见下页图）。无论 在哪一个阶段，平截面假定都成立。
M M h
b
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max
M ym a x I
s
(a)
时，认为该截面已达到截面的弹性极限状 态，此时截面的弯矩即为该截面的弹性极 限弯矩。用Ms替换式(a)中的M，即得：
MS
y
I
m
ax
s
(b)
对图示矩形截面梁，代入 I bh3 得矩形截面弹性极限弯矩： 12
h ymax 2
MS
bh2 6
S
(c)
M
M
M =M s
第二节 极限弯矩和塑性铰
M
M
(a)纯弯曲 矩形截面梁
(b) s
(c) s
1、弹性极限弯矩Ms
由材料力学知，在线弹性范围内，处于纯 弯曲受力状态的梁的任一截面上只有与外 力偶相等的弯矩产生，截面在变形后仍保 持平截面，即截面上各层纤维沿梁轴线的 伸缩与截面高度成正比，或说截面上的应 变按截面高度线性分布，在中性轴处的应 变等于零。 按结构的弹性设计方法，当截面的最外 层纤维达到材料的屈服应力，即
3.具有一个对称轴截面的极限弯矩
形 心 轴 等 面 积 轴
(1)截面在塑性极限状态的中性轴位置 截面上的应力应满足：
dA 0
(a)
A
在塑性极限状态时截面上的轴力应满足：
S dA S dA 0
A1
A2
即 S ( dA dA) S (A1 A2 ) 0
A1
A2
上式只有在 A1 A2 0 成立时才能满足， 即受拉区的面积须等于受压区的面积。
y dA ydA ydA S1 S2
A1
A2
则极限弯矩可表示为：
Mu s (S1 S2 ) (14-2-2)
弹性极限和塑性极限之间的弹塑性阶段， 中性轴界于截面的形心轴和等面积轴之间。
以上所讨论的是梁在纯弯受力和变形状态 下的截面的两个阶段的极限状态和相应的 极限弯矩。
对非纯弯状态梁，通常剪力对梁的承载力 的影响可忽略。所以仍可利用以上概念和 结果。利用式(14-2-1)或(14-2-2)计算截 面极限弯矩。
塑性铰的以下特征：
(1)塑性铰承受并传递极限弯矩Mu。 (2)塑性铰是单向铰，只能使其两侧按与荷 载增加（弯矩增大）相一致方向发生有限的 转动。 (3)塑性铰不是一个铰点，而是具有一定的 长度。
综上所述，截面上各点应力均等于屈服应力 的应力状态、截面达到极限弯矩、截面形成 塑性铰，均表示该截面达到其塑性流动的极 限状态。
C
I
II C o
s A
I
(b)刚塑性模型
o s
(a)线性强化模型
s A
II
C
I
o s
残余应变
(c)理想弹塑性模型
各类简化曲线模型
理想弹塑性材料假定：
(1)材料的拉压性能相同
(2)加载时，材料的 曲线分弹性I、
塑性II两个阶段。 (3)卸载时，卸载点在I、II两个阶段上 是不同的。
理想弹塑性假定，材料加载时呈弹塑性， 卸载时呈弹性。
截面在塑性极限状态的中性轴平分截面 总面积A，即为截面的等面积轴。
(2)截面的极限弯矩Mu
已知在塑性极限状态时截面的中性轴位置， 可推导截面的极限弯矩如下。弯矩等于截面 上应力对中性轴的合力矩，即：
Mu s y dA s y dA (14-2-1)
式中积分为截面的面积净矩，可写成：
结构的弹性设计方法，是以只要结构 上有一个截面的一点的应力达到材料
的许用应力 为标志的。即结构上
任一点的应力 和应变 都不许超过
材料的屈服应力 s和屈服应变 s 。
即：
s s (a)
FPu 即：FP FP FPu
(b)
许用荷载法。
2.理想弹塑性材料假设
s A II
Mu
(bh 2
S
h) 4
2
bh2 4
S
(d)
(3)塑性铰概念
当截面出现并不断扩大塑性区进入弹塑性 发展阶段，直到整个截面被塑性区充满的 塑性极限状态止，截面上应变的发展始终 与截面高度成线性关系。即尽管这一阶段 塑性区上的应力停止在屈服应力值上，但 应变仍与弹性核部分的应变分布斜直线共 线发展。因此，当截面达到塑性极限状态 时，比弹性极限状态的应变值显著增大， 由此产生的是该截面两侧无限靠近的两个 截面绕中性轴发生相对的转动的相对角位 移效应。
第三节 梁的极限荷载
研究梁的极限荷载，是寻找能使梁结 构达到塑性极限状态时的荷载值，也 就是梁结构在丧失承载力之前所能承 受的最大荷载值。
在上一节讨论过的截面极限状态 （极限弯矩）的基础上，本节讨论 结构的极限状态（极限荷载）。
1.静定梁的极限荷载
2FP
FP/2
2FP1
(a)
FP1/2 Fp1
2FP2
(a) s 线弹性状态
M
M = M u
(b) s 弹塑性及塑性流动阶段
2、极限弯矩Mu
当截面达到弹性极限状态外力偶继续增大 M>Ms以后，截面上的应变分布仍与截面 高度呈线性关系，即平截面假定仍然适用， 见图14-2-1(c)。但截面上的应力分布不 再与截面高度保持线性关系。
(1)截面的弹塑性阶段 (2)截面的塑性流动阶段 矩形截面在塑性极限状态的极限弯矩
当MC<Mu，FP2<FPu时，梁处于弹塑性发 展阶段，弯矩图见图(c)。 当MC=Mu时，截面C也将首先达到截面的塑 性极限状态，也即形成第一个塑性铰。
结构上出现足够多的塑性铰，能使原结构 成为破坏机构时的状态为结构的极限状态。 结构在极限状态仍能保持静力平衡。
(2)结构的极限荷载
a.极限弯矩平衡法 由静力平衡条件得：
1
1
5
M C 4 (2FPu ) 6 2 FPu 2 FPu
即
5 2 FPu
Mu
则
2 FPu 5 M u
b.破坏机构法
荷载和极限弯矩在虚位移上所作的总外力 虚功方程为：
第一节 概述
1.结构的弹塑性
b
II s A C
I
III B D
o s `
`
b
普通钢筋拉伸曲线
考虑图所示材料的路径在弹性阶段I 以后的的II、III两条路经上的特性 和承载能力。
这两条路经的曲线显示一个共同的 点，材料产生明显变形且有残余应 变，但仍有承载能力。
残余变形是材料不能恢复的变形。
FP2/2
5FP1/2
5FP2/2
(b) M C M s FP1 FPs (c) M S M C M u FPs FP2 FPu
3FPu Mu
FPu/2
Fpu FPu/2
5FPu/2
(d) M C M u
2FPu
FPu/2(e)源自(1).结构的极限状态极限荷载是相应于结构极限状态时的荷载。