趣味数学高中数学 第11课时 立体几何趣题 球在平面上的投影教学案 新人教版必修1

第11课时 立体几何趣题——

球在平面上的投影

教学要求：明白球在不同光照下的投影 教学过程：

放在水平面上的球与水平面切于点A ，一束光线投射到球上，那么球的影子的轮廓是什么曲线?切点A 与轮廓曲线的关系又是什么?

一、平行光线下球的投影

放在水平面上的半径为R 的球与水平面切于点止，与水平面所成角为α(ο

90≠α)的太阳光投射到球上，则球在水平面上的投影是以A 为 一个焦点的椭圆．

分析：显然，当太阳光垂直于水平面，即ο

90=α时，球在水平面上的投影是以为A 圆心，R 为半径的圆；当0

0900<<α时，

球在水平面上的投影是以A 为一个焦点的椭圆，如图1．

如图l 所示，与球面相切的光线构成一个圆柱面，与球切于圆O ，则光线在水平面上的投影，可以看成圆柱面与水平面的交线1l ， 设与水平面平行且与球相切的平面γ与球相切于点D ，与圆柱面的交线为2l ；P 为1l 上的任意一点，经过点P 的光线为PP ’

，(P ’

，为光线

PP ’

与平面γ的交点)，且与球相切于点C ，过点D 作与光线平行的直线交水平面于点B ，连

结PB,易知，PB=P'D=P ’C ，PA=PC,即知PA+PB=PP

’,

又PP

’ =

αsin 2R

为一定值，则知点P 在以

A,B 为焦点，长轴长为α

sin 2R

的椭圆上，

二、点光源下的球的投影

放在水平面上的半径为R 的球与水平面切于点A ，与水平面距离为h 的点光源S(S 在球面外)投射到球上，则球在水平面上的投影是以A 为一个焦点的圆锥曲线或以A 为圆心的圆，且其形状与大小与光源到水平面的距离h 及SA 与水平面所成角有关．

1．当过点S ，球心O 的直线与水平面垂时，此时必有h>2R ．球在水平面上的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆(图略)，

2．当过点S 、球心O 的直线与水平面不垂直时． ①若h>2R ，则球在水平面上的投影是以A 为一个焦点的椭圆，如图2．

如图2所示，与球O 相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆3O ；球1O 与圆锥面及水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆2O ，与水平面的切点为B ；P 为球在水平面的投影线上的任意一点，过P 的光线与球O 、1O 的切点分别为D ，C ，则有PC=PB 、PD=PA ，易知CD 为两圆锥母线之差(为一定值)．即PA+PB=CD(定值)，所以，球在水平面上的投影是

以A 、B 为焦点的椭圆.

②若h=2R,则球在水平面上的投影是以A 为焦点的抛物线，如图3．

如图3所示，与球O 相切的光线构成一个圆锥面．设切点的集合为圆Ol ；

过S 、O ，A 的平面与水平面交于AG ；圆Ol 所在的平面γ与水平面的交

线为L ；P 为球在水平面的投影线上的任意一点，过P 与γ平行的平面与圆锥面交于2O 圆所以，球在水平面上的投影是以A 为焦点，L 为准线的抛物线．

○

3若h<2R ，则球在水平面上的投影是以A 为一个焦点的双曲线的一支，如图4．

如图4所示，与球O 相切的光线构成一个圆 锥面．设切点的集合为圆02；球Ol 与圆锥面及

水平面都相切，与圆锥面的切点的集合为圆03， 与水平面的切点为月；户为球在水平面的投影线上的任意一点，过户的光线与球O 、Ol 的切点分 别为G 、打，则有PH 二PB 、PG 二PA ，且易知GH 为两圆锥母线之和(为一定值)．即PB-PA=CH(定值)，所以，球在水平面上的投影是以A,B 为焦点的双曲线的一支．

三、小结：当平行光线与水平面垂直时，球 在光线的投射下的轮廓线是一个圆，且球与水平面的切点为这个圆的圆心，当平行光线与水平 面不垂直时，球在光线下的投影是以球与

水平面的切点为一个焦点的椭圆．

当点光源S与球心的连线与水平面垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为圆心的圆，当点光源与球心的连线与水平面不垂直时，球在光线下的投影是以球与水平面的切点为一个焦点的圆锥曲线．