医用物理学课件振动与波讲解

x Acos( t )
两个振动方向相同，振动频率 相同的简谐运动的合成运动仍 为简谐运动。
A2
A
2

1
A1
x2 x1
x

x
16
简谐振动的合成(代数法)
x x1 x2 A1cost 1 A2 cost 2 A1costcos1 sintsin1 A2 costcos2 sintsin2 cost A1cos1 A2 cos2 sint A1sin1 A2 sin2
a）从某时刻的波振面得到下一时刻的波振面
平面波
球面波
t 时 刻
t t
ut
时刻的
波面
的
波
t 2t
振
时刻的
面
波面
t 2t
ut
时刻的波面
t t
时刻的 波面
t 时 刻 的 波 振 面
39
b)解释衍射现象

A
A

Acost
其中：tg A1sin1 A2 sin2 A1cos1 A2 cos2
17
A A12 A22 2A1A2 cos( 2 1)
tg A1 sin 1 A2 sin 2 A1 cos 1 A2 cos 2
y Acos[(t x )]
u
34
第五节 波的能量与波的衰减
一、波的能量
简谐波在密度为ρ的弹性介质中传播，考虑介质中一体积元dV, 其动能Ek和势能Ep为
Ek

Ep

1 2
(dV
)
A2
2
sin
2

(t

x u
)
总能量为:
E (dV )A22 sin 2(t x )
u
单位体积介质中的波动能量，称为波的能量密度，即
令：A A1cos1 A2 cos2 2 A1sin1 A2 sin2 2
A12 A22 2 A1A2 cos2 1
原式 A cost A1cos1 A2 cos2 sint A1sin1 A2 sin2
(1) 若2 1 2k k 0,1,2,
即同相
A A12 A22 2 A1A2 A1 A2
(2) 若2 1 (2k 1) k 0,1,2,
A A12 A21 2 A1A2 A1 A2 (3) 其他 A1 A2 A A1 A2
w A22 sin 2(t x )
u
35
能量密度在一个周期内的平均值，称为平均能量密度。
w 1 A22
2
二、能流和能流密度
波的能量是随波传播的，在介质内取垂直于波速u的面积S，
单位时间内通过S的能量为通过该面积的平均能流。
P wuS
单位时间内通过垂直于波的传播方向的单位面积上的平均能 量称为能流密度（波的强度）。
即反相
18
二、两个同方向频率相近的简谐运动的合成
两种频率大而频率差很小的简谐运动合成： 拍：频率相差不大时合振幅时大时小的现象。
2 1 2
2 1 2
19
拍的解析分析： x1 Acos1t Acos(2v1t) x2 Acos2t Acos(2v2t)
x x1 x2 Acos(2v1t) Acos(2v2t)
I P wu 1 A2 2u
S
2
36
三、球面简谐波在各向同性介质中传播的规律
对于球面波，设其在半径为r1和r2处的强度分别为I1和I2，对应振幅 为A1和A2，若不考虑介质吸收，则
I14r12 I2 4r22
S1 r1
I1 I2

r22 r12
反平方定律
S2 r2
A1 r2 A2 r1
振动物体的速度和加速度
dx Asin(t )
dt
a

d2x dt 2


A
2
cos(t

)
4
特征量
1、振幅：振动物体离开平衡位置的最大位移A称为振幅。
2、周期和频率：振动物体完成一次振动所需要的时间T，称为
振动周期。在单位时间内所完成的振动次数，称为频率。振 动物体在2秒内所完成的振动次数，称为系统的角频率。
1 )
sin
2 (2
1 )
21
结论：两相互垂直同频率简谐运动的合成振动轨迹为 椭圆(又称“椭圆振动”)。椭圆轨迹的形状取决于两 个相互垂直振动的振幅和相位差。
当 2 1 0
y A2 x A1
y x
22
当
2
1


2
x2 A12

y2 A22
1
y x
23
四、频谱分析原理
y Acos[2 (t x )]
33
波动方程的意义：
(1) 给定x时，表示距原点为x处的给定点的振动情况。 (2) 给定t时，表示给定时刻各质点位移y的分布的波形。 (3) t和x都变化时，表示任意时刻波线上任意点的位移情况，描
述了波的传播。 (4) 沿x轴负方向传播: P点要比O点早开始振动，波动方程为
24
25
频谱图：以角频率为横坐标，相应的振幅为纵坐标。
26
第四节 波动的基本规律
一、波的产生与描述
波动： 振动的传播过程。 机械波： 机械振动在弹性介质中的传播过程。如声波、水波等。 产生条件：波源，弹性介质。 波的分类：横波、纵波。 质点振动方向与波的传播方向垂直的波称为横波，可以在固体中 传播。 质点振动方向与波的传播方向平行的波称为纵波，在固体、液体 和气体中均可传播。
31
三、平面简谐波的波动方程
简谐波是最简单最基本的波。一切复杂的波都可看成是 由多个简谐振动传播所构成的波合成的。 原点O处质点的振动方程：
y Acos(t )
P点在时刻t的位移等于O点在时 刻(t-x/u)的位移：
y Acos[(t x )]
u
32
其它形式
y Acos[2 ( t x )] T
0 Asin
A
x02

02 2
arctan( 0 ) x0
6
1、弹簧振子的运动方程为x 0.4cos0.7t 0.3(SI),
则该振动的振幅、角频率、频率、周期和初相位 各为多少？
解：与x Acost 比较可知：
振幅A 0.4m,角频率 0.7rad / s
于无穷大。
13
典故 公元五世纪成书的《天中记》中记载：“中 朝时，蜀人有畜铜澡盘，晨夕恒鸣如人扣，以向 张华。华曰：‘此盘与洛钟宫商相谐，宫中朝暮 撞钟，故声相应，可鑢令轻，则韵乖，鸣自止 也。’依其言，即不复鸣。”
现象举例 收音机调台、精密机器的安装、爬梯子、列 队过桥。
14
1940年，美国的Tacoma Narrows大桥在通车4个月
第三章 振动和波 (Oscillation and wave)
机械振动：物体在一定位置附近作周期性的往复 运动。
广义上：凡是描述物体性质或物体运动状态的物理量 在某一数值附近作周期性的变化都是振动。
习题：6，8，10，11，13，14，15，16，18
1
简 谐 运 动：振动中最简单、最基本的振动。
=1/T = 2 = 2 /T 单位 T (s) (Hz) (rad·s-1 )
无阻尼自由振动的 、 、T 完全取决与振动系统本身的
性质，称为固有角频率、固有频率和固有周期。
5
相位和初相位
t为相位和为初位相，在A和已知的情况下，初始状 态由决定。
x0 Acos
x

0
a.阻尼振动 阻尼较小时
2 02
b.过阻尼状态 阻尼较大时
2 02
c.临界阻尼状态 0
11
二、受迫振动
在驱动力作用下发生的振动，称为受迫振动。
F=Hcosft, H为力幅， f为驱动力的角频率。受迫
振动稳定方程为：
x Acos(f t )
A
H
m (02 f2 )2 4 2f2
频率 0.111Hz,周期T 1 8.97s
2

初相位： 0.3rad
7
二、简谐运动的矢量图示法
x Acos(t )
8
三、简谐运动的能量
系统的动能和势能：
Ek

1 2
m
2

1 2
mA2
2
sin
2
(t

)
EP

1 2
k
x2

1 2
k
A2
cos2
(t
dt
显然当t , 速度具有正的最大值A
2
又此时t 0, x 0.04cos10t
2
2
10
第二节 阻尼振动、受迫振动和共振
一、阻尼振动
振幅随时间减小的振动，称为阻尼振动。为阻尼因子。
d2x dt 2

2
dx dt
02
与振动的合成相反，任一复杂的周期运动都能分解为不同频率 及不同振幅的一系列简谐运动。
一个复杂的周期性振动分解为一系列简谐运动的方法，称为频 谱分析。
频率为ω的非简谐周期性函数x(t)，在一定条件下可以用傅里叶 级数表示：
x(t
)

a0 2

n1
(an
cos
nt bn sin
nt)
n=1 基频振动， n=其他 二次，三次，四次，……谐频振动。 频谱 a0/2、基频、谐频的集合。