第七章 利率期权(固定收益证券-北大, 姚长辉)

180,530 ruu=7.0053% 111,008 ru=5.4289% 25,631 rd=4.4448% 53,540 rud=5.7354%
66,009 r0=3.5%
0 rdd=4.6958%
例 7.4: Value of the year 3 caplet
399,870 295,775 214,217 150,214 r0=3.5% ru=5.4289% ruuu=9.1987% 233,120 ruud=7.5312% 96,600 46,134 rdd=4.6958% rudd=6.1660%
例 7.2: 应用 Black's Model
• 给10个月期的欧式期权定价：标的债券为9.75 的，面值 $1,000, 半年利息 $50 (在3个月后和 9个月后得到)? • 已知
– 今天债券价格 $960 (包括应计利息) – 执行价格 $1,000 – 3个月的无风险利率为 9% ，9个月的无风险利率为 9.5%，10个月的无风险利率为10% (以年为基础， 连续利率) – 债券价格的波动率为年9%
例 7.2: 应用 Black's Model
• 求解 • 第一步: 找到远Байду номын сангаас价格
P0 960 50 e 0.09(.25) 50 e 0.09 (.75) F e 0.09(.8333) F 939.86
• 计算期权价格的参数为:F = 939.68, X=1000, r=0.1, σ =0.09, T = 10/12=.8333.
V=102.075 C=0 r0=3.5%
V=99.461 C=5.25 rU=4.976% V=101.333 C=5.25 rd=4.074%
例7.3
• Pricing a European Call Option: 假定票面利率 5.25%的债券是可回购的，回购日为2年末，回购价格 为 $99.50. Vcall=0.383, Vbond=101.692 Vcall=0 ruu=6.757% Vcall=0.232 rud=5.532% Vcall=1.189 rdd=4.53%
r0=3.5%
例7.3
• Price option-free bonds . 例如 票面利率
5.25%（年支付），期限3年的债券
V=98.588 C=5.25 ruu=6.757% V=99.732 C=5.25 rud=5.532% V=100.689 C=5.25 rdd=4.53% V=100 C=5.25 V=100 C=5.25 V=100 C=5.25 V=100 C=5.25
第四节 二项式模型
• 可回购债券的价值 =不可回购债券价值 -Call Option 的价值 • 可回卖债券的价值 =不可回卖债券价值 + Put Option的价值 • 回购债券定价策略: – 利用利率模型给不可回购债券定价 – 利用利率模型给嵌入的call option定价.
第四节 二项式模型
期权的盈亏
• profit profit
•
Long a call
Short a call
期权的盈亏
• profit profit
•
Long a put
Short a put
第二节 影响期权价值的因素
因素 标的证券的价格 执行价格 到期时间 利率波动率 短期利率 利息支付 Call 的价格 上升 下降 上升 上升 上升 下降 Put 的价格 下降 上升 上升 上升 下降 上升
• 期权：选择权，可以这样做也可以那样做的权 利。 • 买入期权（Call Option），期权购买者可以 按照事先约定的价格购买一定数量证券的权利。 • 卖出期权（Put Option ），期权购买者可以 按照事先约定的价格卖出一定数量证券的权利。 • 美式期权（American option）， 在到期前的 任何时刻都可以执行的期权。 • 欧式期权（European option ），只有在到期 时才能执行的期权。
r0=3.5%
例 7.4: Value of the year 1 caplet
22,890 ru=5.4289%
11,058 r0=3.5%
0 rd=4.4448%
• 22,890=10,000,000(5.4289%-5.2%) • 11,058=0.5(22,890+0)/1.035
例 7.4: Value of the year 2 caplet
定义
• • • • In-the-money Out-of-the money At-the-money Strike price：exercise price
嵌入期权的金融工具
• 可回购债券（callable bonds） • 可回卖债券（puttable bonds） • 可提前偿还的住房贷款（prepayable mortgages） • 顶（caps）, 箍（collars）, 底（ floors） • 期货期权（options on futures） (e.g., Eurodollars and Treasury notes) • 互换期权（swaptions）
Pc e
rT
ln(F / K ) 2T / 2 d1 T
d 2 d1
T
利用Black‘s Model给欧式期权定价
• • • • • • • • T = 期权到期日 F = 到期日为T，价值为V的远期价格 K = 执行价格 r = T期的即期收益率 (连续利率) σ = F的波动率 N = 累积正态分布 Pc = value of call Pp = value of put
0 ruu=7.0053% 0 ru=5.4289% 4,988 rd=4.4448% 0 rud=5.7354%
2,410 r0=3.5%
10,420 rdd=4.6958%
例 7.5: Value of the year 3 floorlet
第七章 利率期权
• 第一节 基本概念
• 第二节 影响期权价值的因素
• 第三节 期权定价模型——Black’s models
• 第四节 二项式模型 • 第五节 顶、底、互换选择权的定价 • 第六节 利率模型 • 第七节 可转换债券
第一节 基本概念
• 定义 • 嵌入期权的金融工具 • 期权的盈亏
定义
– a.期权的盈亏在某一特点时间只依赖于一个变量。 – b.可以假定在那个时点上，那个变量的分布呈对数 正态分布。
• 例如，当期权有效的时间远远短于债券偿还期 时，就可以利用Black’s Model
利用Black’s Model给欧式期权定价
FN (d1 ) KN (d 2 ) Pp e rT KN (d 2 ) FN (d1 )
例 7.5: 给 Floor定价
• Floor rate 4.8%, 名义金额:$10,000,000, 支付频 率:年 • 利率变化如下
ruuu=9.1987%
ruu=7.0053%
ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% rd=4.4448% rdd=4.6958% rddd=5.0483% rudd=6.1660%
• 顶和底可以：
– 脱离贷款本身，可以通过单独交易来获得。 – 与证券相连，其价格体现在了证券的利率当 中。
顶与底
• 一个顶可以被理解为关于浮动利率R的一串call options。 • 一个底可以被理解为关于浮动利率R的一串put options。 • 顶和底被分离出来的部分被称为 “caplets”, “floorlets” • 顶的盈亏 = 本金 × 期限 × max[Rt - Rk, 0] • Rt = t 期的利率 • Rk = cap rate • 注意是你购买了顶，给你带来的利益，而不是实际支 付的利率！
例 7.2: 应用 Black's Model
ln(939.68 / 1000 ) 0.092 0.8333/ 2 d1 0.09 0.8333
d2 d1 0.09 0.8333
Pc e 0.10.8333 939.68N (d1 ) 1000N (d 2 ) 9.49
例 7.4: 给Cap定价
• Cap rate 5.2%, 名义数量:$10,000,000, 支付频 率:年 • 利率变化
ruuu=9.1987%
ruu=7.0053%
ru=5.4289% ruud=7.5312% rud=5.7354% rd=4.4448% rdd=4.6958% rddd=5.0483% rudd=6.1660%
r0=3.5%
例 7.5: Value of the year 1 floorlet
0 ru=5.4289%
17,159 r0=3.5%
35,520 rd=4.4448%
• 35,520=10,000,000(4.8%-4.4448%) • 17,159=0.5(35,520+0)/1.035
例 7.5: Value of the year 2 floorlet
第三节 期权定价模型 —— Black’s models
• Black－Scholes
C SN (d1 ) Ke
rT
N (d 2 )
ln( S / K ) ( r 2 / 2)T d1 T
d 2 d1 T
例 7.1. Black-Scholes 模型的问题
Vcall=max(0.11, 0) ru=4.976% Vcall=0.938 r0=3.5% Vcall=max(0.683, 1.833) rd=4.074%
第五节 顶、底、互换选择权的定价
• 顶与底 • 互换选择权