两点间距离公式公开课

分析：首先要建立适当
D
C
的平面直角坐标系，用
坐标表示有关量，然后
进行代数运算.
A
B
证明：以A为原点，AB为x轴
建立直角坐标系。
y
则四个顶点坐标分别为 A(0,0),B(a,0),D(b,c)C(a+b,c)
第D一(b步,c):建立C(坐a+b,c) 标系，用坐标表 示有关的量。
解析法 | AB |2 a2 | CD |2 a2
思考
若P1，P2两点的坐标分别是P1(x1,y1)， P2(x2,y2)则 P1，P2两点间的距离是多少？
y
y
P1
P2
P2
P1
o
x
o
x
| P1P2 || x2 x1 |
| P1P2 || y2 y1 |
| P1 Q|=|x2-x1| |Q P2 |=|y2-y1|
y P2(x2,y2
)
O
P1(x1,y1)
2.建立平面直角坐标系的技巧： 建立直角坐标系时，要是尽可能多的点落在
坐标轴上，减少计算量和计算难度。
练习
P110 B组 6 证明直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等。
y C(0,b)
D
a 2
,
b 2
A (0,0) B(a,0) x
| AD || BD || CD |
P110 B组7 | AB |2 | AC |2 2(| AO |2 | OC |2 )
(x2 -x1)2 (y2 -y1)2 |P1P2|
作业
课本P110 习题3-3 A组 7、8 B组 7
选做 P115 7
练习
2.已知点A（x，3），B（7，-1）的距离为5, 求点A的坐标。 解：AB (7 x)2 (1 3)2 5 即 （7-x）2+（-4）2=52， 所以有 （x-7）2=9 所以 x-7=3或x-7=-3,因此 x=10或x=4.
所以，点A的坐标是（10，3）或（4，3）。
例2：证明平行四边形四条边的平方和 等于两条对角线的平方和.
| AC |2 | BD |2 2(a2 b2 c2 ) | AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 | 运A第C算三|结2步果:|把翻BD代译|数2成
因此，平行四边形四条边的平方和等于几两何条关对系角。线
的平方和。
解析法总结
1.概念：根据图形的特点，建立适当直角坐标系， 利用坐标解决有关问题，这种方法叫坐标法，也 称为解析法。
A (0,0)
x B (a,0)
| AD |2 b2 c2 | BC |2 b2 c2 第二步:进行有
| AC |2 (a b)2 c2 | BD |2 (b a关)2代 数c2运算
| AB |2 | CD |2 | AD |2 | BC |2 2(a2 b2 c2 )
3.3.2 两点间的距离公式
问题提出：
一只蚂蚁由P1爬行至P2,则爬行的 距离是多少？你能用坐标来表示这个 距离吗？
知识回顾
1、右图，数轴上A，B两点间的距
离是 5 。 A
B
-2 O 3 x
数轴上两点A（x1）,B（x2）间的距离
是 |AB|=|x2-x1|
绝对值的几何意义：距离
A x1 O
B
x2 x
x Q(x2,y1)
|PQ|= |P1Q|2 |QP2|2 = |x2 -x1|2 |y2 -y1|2 (x2 -x1)2 (y2 -y1)2
平面直角坐标系中的两点间距离公式
| P1P2 | (x2 x1)2 ( y2 y1)2
特别的：
(1) x1≠x2, y1=y2 | P1P2 || x2 x1 |
(2) x1 = x2, y1 ≠ y2 | P1P2 || y2 y1 |
(3) 原点O与任一点P(x, y)的距离: | OP | x2 y2
练习
1、求下列两点间的距离：
(1)A(6，0),B(-2，0) (2)C(0，-4),D(0，-1)
(3) P(6，0),Q(0，-2) (4)M(2，1),N(5，-1)
解：
（1） AB =|-2-6|=8
（2） CD =|-1-(-4)|=3
（3） PQ = 0-62 + -2-02 =2 10
（4） MN 5 22 112 13
例题分析
例 1:已知点A(1, 2), B(2, 7),在x轴上求一点P,使 得 | PA || PB |,并求 | PA |的值.
解：设所求点为P（x，0），则
PA (x 1)2 (0 2)2 x2 2x 5 PB (x 2)2 (0 7)2 x2 4x 11
Q PA PB x2 2x 5 x2 4x 11
解得：x 1 所以所求点为 P(1, 0)
PA (11)2 (0 2)2 2 2
y源自文库
A(b,c)
B (-a,0)
O(0,0) C(a,0) x
小结
1、平面内两点P1(x1,y1) P2(x2,y2)的距离公式
|P1P2|= (x2 -x1)2 (y2 -y1)2
2、解析法在平面几何证明中的应用
提高训练
已知0<x<1,0<y<1,求证：
x2 y2 x2 (1 y)2 (1 x)2 y2 (1 x)2 (1 y)2 2 2 思考：几何意义？