浙江省月自考近世代数试卷

近世代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A =B =R （实数域），

φ:a →2a +1∀a ∈A

则φ是从A 到B 的( )

A.满射而非单射

B.单射而非满射

C.一一映射

D.既非单射也非满射

2.在整数集Z 中，Z 的代数运算a o b =⎩⎨⎧+为奇数时当为偶数时

当a a a a 1 ( )

A.既适合结合律又适合交换律

B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律

D.既不适合结合律又不适合交换律

3.下列关系，______是整数集Z 中元素之间的等价关系.( )

A.大于

B.大于或等于

C.整除

D.同余

4.下列集合对所给运算作成群的是( )

A.非零有理数的全体对普通数的加法

B.非零有理数的全体对普通数的减法

C.非零有理数的全体对普通数的乘法

D.非零有理数的全体对普通数的除法

5.设R=⎭

⎬⎫

⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c b a b c a ,,0，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是(

) A.有单位元的可换环 B.无单位元的可换环

C.无单位元的非可换环

D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共9小题，每小题3分，共27分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.在5次对称群S 5中，(134)2(3512)-1=______.

7.6阶循环群有______个生成元.

8.任何一个群都同一个______同构.

9.模6的剩余类环Z 6的子环个数等于______.

10.偶数环有______个单位元.

11.设F 是有四个元的域，则F 的特征为______.

12.一个主理想环的非零最大理想都是由一个______所生成.

三、解答题（本大题共3小题，第15小题10分,第16,17小题各12分，共34分）

15.设R ={a ·i |a 为实数，i =1-}，问R 关于普通数的加法和乘法是否构成环？为什么？

16.找出模14的剩余类加群Z 14的所有子群，并找出Z 14的全部生成元.

17.假定R 是由所有复数a +bi (a ,b 是整数)组成的环，求商环R /（1+i ）.

四、证明题（本大题共3小题，每小题8分，共24分）

18.设G 是一个非交换群，求证：G 中存在两个不同的非单位元a 和b ，满足ab =ba .

19.假定H 是群G 的子群，N 是G 的不变子群，证明:HN 是G 的子群.

20.设A =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c b a c b a ,,0关于矩阵的加法和乘法构成一个环，证明:A 1=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z c a c a ,00是A 的子环，找出A 到A 1的一个同态满射f ,并求f 的核ker f .

近世代数试题

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.以下关系中，哪个不是所给集合元间的等价关系?( )

A.在有理数集Q 中关系～：a ～b ⇔a -b ∈Z

B.在复数集C 中关系～：a ～b ⇔|a |=|b |

C.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a ≤b

D.在实数集R 中关系～：a ～b ⇔a =b

2.设A =Z ，D =Z +，σ∶n |→⎩

⎨⎧<--≥+0,120),1(2n n n n 则σ是Z 到Z +的( )

A.单射

B.满射

C.一一映射

D.不是映射

3.在实数集R 中定义代数运算aob =a +b +ab ，则这个代数运算( )

A.既适合结合律又适合交换律

B.适合结合律但不适合交换律

C.不适合结合律但适合交换律

D.既不适合结合律又不适合交换律

4.下列集合对所给运算作成群的是( )

A.非零有理数的全体Q *对普通数的加法

B.非零有理数的全体Q *对普通数的减法

C.非零有理数的全体Q *对普通数的乘法

D.非零有理数的全体Q *对普通数的除法

5.设R =⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z d c b a d c b a ,,,，那么R 关于矩阵的加法和乘法构成环，则这个矩阵环是 ( )

A.有单位元的可换环

B.无单位元的可换环

C.无单位元的非可换环

D.有单位元的非可换环

二、填空题(本大题共10小题，每小题3分，共30分)

请在每小题的空格中填上正确答案。错填、不填均无分。

6.设A ={a ,b ,c ,d ,e }，则A 的子集共有________个.

7.在4次对称群S 4中，(143)2(132)-1=________.

8.模12的剩余类加群Z 12的生成元有________个.

9.设Z 6是模6的剩余类环，则Z 6中的零因子是________.

10.模p (素数)的剩余类环Z p 的特征为________.

11.剩余类环Z 17的可逆元有________个.

12.在高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }中,主理想(1+i )＝________.

三、解答题（本大题共3小题，第16小题9分,第17、18小题各10分，共29分）

16.找出3次对称群S 3的所有子群,这些子群中哪些是S 3的不变子群?

17.设群G =Z 18子群H =(［6］),

(1)商群G /H =?

(2)商群G /H 与怎样的一个群同构?

18.设R =⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z b a b a ,00关于矩阵的加法和乘法构成一个环，I=⎭

⎬⎫⎩⎨⎧∈⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛Z x x 000， 证明：I 是R 的理想，问商环R /I 由哪些元素组成？

四、证明题（本大题共3小题，第19、21小题每小题8分，第20小题10分，共26分）19.设R 为全体实数组成的加法群,R +表示全体正实数组成的乘法群,则R +与R 同构.

20.设M 2(Q )是有理数域Q 上的二阶矩阵环,证明:M 2(Q )只有零理想与单位理想,但不是除环.

21.证明：3-2i 是高斯整环Z ［i ］={a +bi |a ,b ∈Z }的素元.

近世代数试卷

一、单项选择题(本大题共5小题，每小题3分，共15分)

在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的，请将其代码填写在题后的括号内。错选、多选或未选均无分。

1.设A ={a ,b ,c ,d },则A 的一一变换共有______个.( )