第四章习题课微分方程

定理 2：如果 y1 ( x )与 y 2 ( x ) 是方程(1)的两个线性 无关的特解, 那么 y C1 y1 C 2 y2 就是方程(1)的通 解.
(2) 二阶非齐次线性方程的解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y f ( x ) ( 2)
定理 3
y P ( x ) y Q( x ) y f 1 ( x ) y P ( x ) y Q( x ) y f 2 ( x )
* * 的特解, 那么 y1 y 2 就是原方程的特解.
５ 二阶常系数齐次线性方程解法
形如 y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y f ( x )
初值问题 求微分方程满足初始条件的解的问题， 叫初值问题．
2 一阶微分方程的解法
(1) 可分离变量的微分方程
形如 g( y )dy f ( x )dx
解法
g( y )dy f ( x )dx
分离变量法
dy y (2) 齐次方程 形如 f( ) dx x y 解法 作变量代换 u x
( 2)
特点 解法
y f ( x , y ) 型
不显含未知函数y.
令 y P ( x ),
y P ,
代入原方程, 得 P f ( x , P ( x )).
( 3)
特点
y f ( y , y ) 型
不显含自变量x .
解法
令 y P ( x ),
dp y P , dy
dp 代入原方程, 得 P f ( y , P ). dy
４ 线性微分方程解的结构
(1) 二阶齐次方程解的结构:
形如 y P ( x ) y Q( x ) y 0 (1)
定理 1 如果函数 y1 ( x ) 与 y2 ( x ) 是方程(1)的两个 解,那末 y C1 y1 C 2 y2 也是(1)的解（C1 , C 2 是常 数）.
P ( x ) dx dx C ] [ Q( x)e
（常数变易法）
(5) 伯努利(Bernoulli)方程
dy 形如 P ( x ) y Q( x ) y n dx
( n 0,1)
当n 0,1时， 方程为线性微分方程. 当n 0,1时， 方程为非线性微分方程.
解法
1 n
n阶常系数线性微分方程
y py qy 0
二阶常系数齐次线性方程
y py qy f ( x ) 二阶常系数非齐次线性方程
解法 由常系数齐次线性方程的特征方程的根确 定其通解的方法称为特征方程法.
y py qy 0
特征方程为
r pr q 0
需经过变量代换化为线性微分方程．
令z y
y z e
1 n
,
( 1 n ) P ( x ) dx
( 1n ) P ( x ) dx dx c ). ( Q( x )(1 n)e
3 可降阶的高阶微分方程的解法
(1) y
( n)
f ( x) 型
解法 接连积分n次，得通解．
( 2)
f ( x ) e [ Pl ( x ) cos x Pn ( x ) sin x ] 型
x
k
设 y x e [ R ( x ) cos x R ( x ) sin x ],
x
(1) m ( 2) m
( ( 其中 Rm1) ( x ), Rm2 ) ( x )是m次多项式，
内容提要
基本概念
二阶常系数线性 方程解的结构
特征方程法
高阶方程 可降阶方程
待 特征方程及其根 定 对应的通解形式 系 数 法 f(x)的形式及其
线性方程 解的结构
定理1;定理2 定理3;定理4
变量代换
特解形式
1 基本概念
微分方程 凡含有未知函数的导数或微分的方程 叫微分方程． 微分方程的阶 微分方程中出现的未知函数的最
问题3. 以 y1 e , y2 xe
x
x
为特解的二阶常系数齐次线性微分方程为
四
1
典型题目
y x
求解下列一阶微分方程：

dy (1) tan x y 5 (2)(1 e ) xdy ( x y)dx 0 dx (4 x y 1)2 (3) y (4)cos ydx ( x 2cos y)sin ydy 0 ( y 2 x3 ) / 2 xy (5) y
2
特征根的情况
通解的表达式
r2 实根r1 r2 复根r1, 2 i
实根r1
y C1e C 2 e y (C1 C 2 x )e r x y ex (C1 cos x C 2 sin x )
r1 x r2 x
2
推广：n 阶常系数齐次线性方程解法
y ( n ) P1 y ( n1) Pn1 y Pn y 0
第四章习题课
微分方程
一
基本要求：
1 了解微分方程的基本概念: 微分方程的定义、阶、解、通解、积分曲线、 特解、初始条件、初值问题； 2 会判断变量可分离方程、齐次方程、一阶线性 方程、 伯努利方程； 3 掌握变量可分离方程和一阶线性方程的解法， 会解齐次方程和伯努利方程；
4 掌握特殊高阶微分方程 的降阶法： y ( n ) f ( x)，y f ( x, y)，y wk.baidu.com f ( y, y)
高阶导数的阶数称为微分方程的阶．
微分方程的解 代入微分方程能使方程成为恒等 式的函数称为微分方程的解．
通解 如果微分方程的解中含有任意常数，并且 任意常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的 解叫做微分方程的通解． 特解 确定了通解中的任意常数以后得到的解， 叫做微分方程的特解． 初始条件 用来确定任意常数的条件.
例6
1 设 y p( x ) y f ( x ) 有一特解为 ，对应 x
的齐次方程有一特解为x 2，试求： (1) p( x ), f ( x ) 的表达式；
( 2) 此方程的通解 .
(3) 一阶线性微分方程
形如
dy P ( x ) y Q( x ) dx
方程称为齐次的． 方程称为非齐次的.
P ( x ) dx
当Q( x ) 0,
当Q( x ) 0,
解法 齐次方程的通解为 y Ce
.
（使用分离变量法）
非齐次微分方程的通解为
ye
P ( x ) dx
1 y 2 3 4
2
x y 是二阶微分方程。
x y x y y sin sin 是可分离变量方程。 2 2 x 1 ln y ln x dx ydy 0是齐次方程。 2 C 2 y y tan x sin 2 x的通解为y cos x 3 cos x
若是k重共轭 复根 j
６ 二阶常系数非齐次线性微分方程解法
y py qy f ( x )
二阶常系数非齐次线性方程
解法
待定系数法.
(1)
f ( x ) e x Pm ( x ) 型
0 不是根 k 1 是单根 2 是重根 ,
设 y x k e x Qm ( x ) ,
m maxl , n
0 i不是特征方程的根时; k 1 i是特征方程的单根时.
求解一阶微分方程要特别注意：
1
2
正确识别方程所属类型，以采用相应的方法．
如果方程不属于典型类型，可以考虑引入变量代
换，或考虑认定x为y的函数，再判定方程的类型．
三 问题与思考
问题1. 判断正误：
5 理解二阶线性微分方程解的结构； 6 掌握二阶常系数齐次线性微分方程的解法； 7 掌握自由项为
f ( x) Pm ( x)ex、f ( x) ex [ Pn ( x) cosx Pl ( x) sinx]
的两类二阶常系数非齐次线性微分方程的特解 形式．
二
一阶方程 类 型
1.直接积分法 2.可分离变量 3.齐次方程 4.线性方程 5.伯努利方程
问题2.设线性无关函数y1 , y2 , y3都是二阶非齐次线性微分方程 y p x y q x y f x 的解。C1 , C2为任意常数，则该方程的通解是
A. B. C. D.
C1 y1 C2 y2 C3 y3 ;
C1 y1 C2 y2 C1 C2 y3 ; C1 y1 C2 y2 1 C1 C2 y3 ; C1 y1 C2 y2 1 C1 C2 y3
设 y * 是 ( 2) 的一个特解, Y 是与(2)对应
*
的齐次方程(1)的通解, 那么 y Y y 是二 阶 非齐次线性微分方程(2)的通解.
定理 4
* *
设非齐次方程(2)的右端 f ( x ) 是几个函
数之和, 如 y P ( x ) y Q ( x ) y f 1 ( x ) f 2 ( x ) 而 y1 与 y 2 分别是方程,
特征方程为 r n P1r n 1 Pn 1r Pn 0
特征方程的根
若是k重根r
通解中的对应项
(C0 C1 x Ck 1 x k 1 )e rx
[(C0 C1 x C k 1 x k 1 ) cos x ( D0 D1 x Dk 1 x k 1 ) sin x ]e x
1 y 2 2 求通解 y . 2y x f t 3 设连续函数f x 满足f x 1 x 2 dt , 1 t 求f x .
4 试确定以
y sin 2 x
为特解的二阶常系数齐次线性方程。
5
1 求解方程 y 4 y ( x cos 2 x). 2