关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
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关于抛物线焦点弦的弦长公式补充
高县中学 吴伦红
在高中教材第八章中有关于已知倾斜角的焦点弦，求焦点弦的弦长的问题，其中只介绍了开口向右时的焦点弦的长度计算问题：
(1)已知：抛物线的方程为px y 22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A B 两点，且弦AB 的倾斜角为θ，求弦AB 的长。 解：由题意可设直线AB 的方程为)2
(p x k y -
=)2
(π
θ≠
将其代入抛物线方程整理得：
0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，且θtan =k
设A,B 两点的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y
x y x 则：
k
k
x
x p
p
2
2
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p x
x =
)
(sin )
(2
2
1
2
2
24
211||θp
AB x
x x x k
=
-+
=+
当2
π
θ=
时，斜率不存在，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径
而如果抛物线的焦点位置发生变化，则以上弦长公式成立吗？这只能代表开口向右时的弦长计算公式，其他几种情况不尽相同。 现在我们来探讨这个问题。
(2)已知：抛物线的方程为)0(22
>=p py x ，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B 两点，直线AB 倾斜角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2
21
1y x y x ，斜率为k )tan (θ=k ，而焦点坐标为)2
,
0(p ，
故AB 的方程为kx p y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得： ,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p
x x x
x pk 2
212
1,2-
==+
，
弦长为：)
(cos )
(2
2
1
2
2
24
211||θp
AB x
x x x k
=
-+
=+
p AB 2||,1cos ,0===θθ，即为通径。 而
px y
22
-=与（1）的结果一样，py x 22
-=与（2）的结果一样，但是（1）与（2）
的两种表达式不一样，为了统一这两种不同的表达式，只须作很小的改动即可。现将改动陈述于下：
（3）已知：抛物线的方程为
px y
22
=)0(>p ，过焦点F 的弦AB 交抛物线于A ，B
两点，且弦AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：由题意可设直线AB 的方程为)2
(p x k y -
=)2
(π
θ≠
将其代入抛物线方程整理得：
0)84(42
2
2
2
2
=+
+-k
p k x
k
x p p ，
若倾斜角2
π
α<，则θαθαtan tan ,===k ；
若倾斜角,2
π
α>
则)tan(tan ,θπαθπα-==-=k 。
设A,B 两点的坐标为),(),,(
2
2
1
1
y
x y x
则：
k
k
x
x p
p
2
2
2
1
2+=
+，
4
2
2
1
p x
x =
)
(sin )
2()
tan )
(2
4
4
2
2
2
2
12
2
22
(14
211||ααp
AB k
k
p p k
p x
x x x k
=
-
+=
-+
=++
而αθπαθsin )sin(,sin sin =-=，故)
(sin 2
2||θp
AB =
；
当2
π
θ=时，1sin =θ，|AB|=2p.即为通径。
而
px y
22
-=与（3）的结果一样
同理：（4）已知：抛物线的方程为
)0(22
>=p py x
，过焦点的弦AB 交抛物线于A,B
两点，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角为θ，求弦AB 的长。
解：设A,B 的坐标为),(),,(2
21
1y x y x ，若倾斜角为α，斜率为k ，
则αtan =k ，而焦点坐标为)2
,0(p ，
故AB 的方程为kx p y =-
2
，将其代入抛物线的方程整理得：
,022
2
=-
-p
x
pkx 从而p
x x x
x pk 2
212
1,2-
==+，
弦长为：)
(cos )
(2
2
1
2
2
24
211||αp
AB x
x x x k
=
-+
=
+
当倾斜角2
π
α<，则θθπ
αθπ
αsin )2
cos(
cos ,2
=-=-=；