节点导纳矩阵计算
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5
（3）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素 中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过 3~4 个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有 3~4 个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。 导纳矩阵的对称性和稀疏性对于应用计算机求解电力系统问题有很大的影 响。如果能充分地利用这两个特点，如在程序设计中储存导纳矩阵的对角元素和 上三角元素（或下三角元素） ，排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省储 存单元和提高计算速度。 节点导纳矩阵的形式可归纳如下： （1）导纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数。 （2） 导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连得不接地 支路数。 （3） 导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等于相应节点之间的支路导纳之 和。 （4） 导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等于相应节点之间的支路导 纳的负值。 而在电力系统中进行潮流计算时，往往要计算不同接线下的运行状况，例如 改变变压器主抽头时，潮流分布也随之变化，以及改变其他设备参数进行计算潮 流分布，此时就需要导出变化时的导纳矩阵就需要对所设计的程序进行参数设 定，而不需要重复上述步骤去导出所求的导纳矩阵。
（1-8）
上式中左端为节点 1、2、3 流出的电流，右端为注入个节点的电流。由上式可以 得到一个等效的等值电路图 1-2-2。图 1-2-2 中利用了电流源代替的电压源。在 图 1-2-2 中可知的式（1-9）：
. . I1 y1 e1 . . I 2 y2 e 2
（1-9）
6
1.4 节点导纳矩阵的修改
在电力系统计算中，往往要计算不同接线下的运行状况，例如，某电力线路 或变压器投入前后的状况， 以及某些元件参数变更前后的运行状况。由于改变一 个支路的参数或它的投入、 退出状况只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间 的互导纳，可不必重新形成与新运行状 况相对应的节点导纳矩阵，仅需要对原 有的矩阵作某些修改。 先讨论网络中含有非标准变比 K 的 变压器支路时导纳矩阵元素的修改。当 节点 p，q 间接有变压器支路时（见图 1-4-1） ， 当然可以用∏型等值电路，然后 按照上述原则形成导纳矩阵。但在实际 应用程序中，往往直接计算变压器支路 对导纳矩阵的影响。 根据图 1-4-1 可以写 出节点 p，q 的自导纳和节点间的互导纳增量分别如下： 节点 p 的自导纳改变量： 图 1-4-1 （1-12）
U1 。现以变压 U2
器阻抗按实际变比归算到低压侧的情况为例， 推导出双绕组变压器的∏型等值电 路。 流入和流出理想变压器的功率相等：
1
U 1 I 1 U 2 I 2 / k ( U1 、 U 2 分别为变压器高、低绕组的实际电压） I1 I 2 / k
联立（1-1） 、 （1-2）两个公式解得：
. . . .
(1-11）
由此可以得到 n 个节点导纳矩阵：
Y11 Y12 ... Y1 n Y Y ... Y 21 22 2n Y ...... Yn 1 Yn 2 ... Ynn
它反映了网络的参数及接线情况， 因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电气 特性的一 种数学抽象。 由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模 型。 通过上面的讨论，可以看出节点导纳矩阵的有以下特点： （1） 导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成节 点导纳矩阵的程序比较简单。 （2）导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知 Yij Y ji 。
7
有节点 i 的自导纳应增加 Yii yij 。 （2）在网络的原有节点 i，j 之间增加一条导纳为 yij 的支路。由于只增加支 路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不便。因而只要对与节点 i，j 有关的元素分别 增添以下的修改增量即可，其余的元素都不必修改：
Yii Y jj yij , Yij Y ji yij
第一章 导纳矩阵的计算简介
1.1 变压器的∏型等值电路
在电力系统潮流计算中，往往要计算节点导纳矩阵，而我们计算节点导纳矩 阵采用节点电压法来实现， 如在变压器构成的电力系统中，需要将变压器模型转 变成变压器∏型等值电路（见图 1-1） ，在利用电路知识列节点电压方程，从而导 出所需的导纳矩阵。
i K:1 i
y1 V1 y1 V2 V1 y1 V3 V1 y1 e1 y2 V1 y6 V2 V1 y5 V2 V3 y2 e 2 y4 V3 V1 y5 V3 V2 y3 V3 0
YV 形式的节点方程式。其中
阶数等于电力网络的节点数。从而可以得到 n 个节点时的节点导纳矩阵方程组 （1-11）如下：
Y11 V1 Y12 V2 ......Y1n Vn I1 . . . . Y21 V1 Y22 V2 ......Y23 Vn I 2 ....... . . . . Yn1 V1 Yn 2 V2 ......Yn 3 Vn I n
. .
.
.
.
.
（1-1） （1-2）
U1 U 2 YT U 1 YT U 2 I1 2 2 k ZT kZT k k
. . U 1 U 2 YT U 1 I2 YT U 2 kZT ZT k . . .
.
.
.
.
（1-3）
（1-4）
根据《电路原理》节点 1、2 的节点电流方程具有如下形式：
因此可以的得到各支路导纳为
(1-6)
Y12 y12 YT / k
Y21 y21 YT / k 1 k y10 Y11 y12 YT / k 2 YT / k 2 YT k k 1 y20 Y22 y21 YT YT / k YT k
P
Z
1:k
q
kz
P
kz k 1
q
k2z 1 k
Ypp
节点 q 的自导纳改变量：
1 k 1 1 kz kz z 1 1 k 1 2 2 kz k z k z 1 kz
Yqq
增加节点 p，q 间的互导纳：
（1-13）
Ypq Yqp
（1-14）
在电力系统中，假定接线改变前的导纳矩阵元素为 Yij(0) ，接线改变后则应修 改为 Yij Yij(0) Yij 。 现就几种典型的接线方式变化， 说明修改量 Yij 的计算方法。 （1）从网络的原有节点 i 引出一条导纳为 yij 的支路，同时增加一个节点 j。 由于节点数加 1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素 Y jj yij 。新增的 非对角线元素中，只有 Yij Y ji yij ，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只
Y12 ... Y1n Y22 ... Y2 n ... ... ... Yn 2 ... Ynn
为节点导纳矩阵，其中对角元素 Yii 为节点 i 的自导纳，非对角线 Yij 为节点 i 与
4
Leabharlann Baidu
1.3 节点导纳矩阵
节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导纳的定义直接求取， 也可根据电路知识 中找出改网络的关联矩阵， 在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我们主 要讨论的是直接求解导纳矩阵。 根据节点电压方程章节我们知道，在利用电子数 字计算机计算电力系统运行情况是，多采用 I
（1-15）
（3）在网络的原有节点 i，j 之间切除一条导纳为 yij 的支路。这种情况可以 当作是在节点 i，j 间增加一条导纳为 yij 的支路来处理。因此，导纳矩阵中有关 元素的修正增量为：
Yii Y jj yij , Yij Y ji yij
（1-16）
（4）原网络节点 i，j 之间的导纳由 yij 改为 yij ' 。这种情况可以当作首先在节 点 i，j 间切除一条导纳为 yij 的支路，然后再在节点 i，j 间追加导纳为 yij ' 的支路， 根据式（1-15） 、 （1-16）不难求出导纳矩阵相关元素的修正量。 其他的网络变更情况， 可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵 元素的物理意义，导出相应的修正公式。应该指出，如果增加或切除的支路是变 压器支路，则以上相关元素的修改应按式（1-12） 、 （1-13） 、 （1-14）进行。
（1-7）
2
1.2 节点电压方程
在电路中我们已经学过利用节点电压方程来求解某几条支路的电流， 现以下 图 1-2-1 与图 1-2-2 为例推导节点电压方程组。
图 1-2-1 节点电压法为例
图 1-2-2 用电流源代替电压源为例
图 1-2-1 表示了一个具有两个电源和你一个等值负荷的系统。 e1 、 e 2 为电 源电势， y1 、 y2 为电源的内部导纳， y3 为负荷的等值导纳， y4 、 y5 、 y6 为各支 路的导纳。如果以地为电压参考点，设节点 1、2、3 的电压为，根据基尔霍夫电 流 KCL 法对节点 1、2、3 列节点电流方程得式（1-8） ：
. . . I 2 Y21 U 1 Y22 U 2 I 1 Y11 U 1 Y12 U 2
. . .
（1-5）
将式（1-3） 、 （1-4）与式（1-5）比较得(1-6):
Y11 YT / k 2 Y12 YT / k Y21 YT / k Y12 YT
(1 k )YT k2
YT k
j
YT
j
(k 1)YT k
图 1-1 双绕组变压器的∏型等值电路（i，j 为节点） 而在电力系统潮流计算中一般采用标幺值进行计算，标幺值公式如下：
标幺值
有名值（任意单位） 基准值（与有名值同单位）
如果采用标么值计算，元件参数都应归算到同一基准值时得标么值，才能在同一 个等值电路上分析和计算。所以，变压器转变成∏型等值电路时，我们采用标幺 值计算， 使所求参数为变压器变比 k 的函数。而在一个已经归算好的电力系统网 中，若改变变压器的分接头来进行调压，这时变压器的等值电路参数也会相应得 改变，此时采用∏型等值电路进行折算就显得较为方便。 下面是变压器的∏型等值电路分析过程： 如不计励磁支路的影响， 双绕组变压器可用其阻抗与一个理想变压器串联的 电路表示，如图所示。理想变压器只有一个参数，那就是变比 k=
. V1 . V V2 ... V. n
. I1 . I I2 ... I. n
分别为节点注入电流列向量及节点电压列向量；
Y11 Y 21 Y ... Yn1
节点 j 之间的互导纳。
. . . .
Y12 3 的自导纳，
的互导纳。
Y21 y6 , Y13 Y31 y4 , Y23 Y32 y5 称为相应节点之间
因此，在一般情况下，在电力网络中有 n 个节点，则可以按式（1-10）的形 式列出 n 个节点方程式，也可用矩阵的形式表示 I
YV 。其中
3
为等值电流源向网络注入的电流。将与式（1-8）联立得式（1-10） ：
Y11 V1 Y12 V2 Y13 V3 I1 . . . . Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 I 2 (1-10） . . . . Y31 V1 Y32 V2 Y33 V3 I 3 上式中 Y11 y1 y4 y6 , Y22 y2 y5 y6 , Y33 y3 y4 y6 称为节点 1、 2、
（3）导纳矩阵是稀疏矩阵。它的对角线元素一般不为零，但在非对角线元素 中则存在不少零元素。在电力系统的接线图中，一般每个节点与平均不超过 3~4 个其他节点有直接的支路连接。因此，在导纳矩阵的非对角线元素中每行仅有 3~4 个非零元素，其余的都是零元素，而且网络的规模越大，这种现象越显著。 导纳矩阵的对称性和稀疏性对于应用计算机求解电力系统问题有很大的影 响。如果能充分地利用这两个特点，如在程序设计中储存导纳矩阵的对角元素和 上三角元素（或下三角元素） ，排除零元素的储存和运算，就可以大大地节省储 存单元和提高计算速度。 节点导纳矩阵的形式可归纳如下： （1）导纳矩阵的阶数等于电力网络的节点数。 （2） 导纳矩阵各行非对角元素中非零元素的个数等于对应节点所连得不接地 支路数。 （3） 导纳矩阵各对角元素，即节点的自导纳等于相应节点之间的支路导纳之 和。 （4） 导纳矩阵非对角元素，即节点之间的互导纳等于相应节点之间的支路导 纳的负值。 而在电力系统中进行潮流计算时，往往要计算不同接线下的运行状况，例如 改变变压器主抽头时，潮流分布也随之变化，以及改变其他设备参数进行计算潮 流分布，此时就需要导出变化时的导纳矩阵就需要对所设计的程序进行参数设 定，而不需要重复上述步骤去导出所求的导纳矩阵。
（1-8）
上式中左端为节点 1、2、3 流出的电流，右端为注入个节点的电流。由上式可以 得到一个等效的等值电路图 1-2-2。图 1-2-2 中利用了电流源代替的电压源。在 图 1-2-2 中可知的式（1-9）：
. . I1 y1 e1 . . I 2 y2 e 2
（1-9）
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1.4 节点导纳矩阵的修改
在电力系统计算中，往往要计算不同接线下的运行状况，例如，某电力线路 或变压器投入前后的状况， 以及某些元件参数变更前后的运行状况。由于改变一 个支路的参数或它的投入、 退出状况只影响该支路两端节点的自导纳和它们之间 的互导纳，可不必重新形成与新运行状 况相对应的节点导纳矩阵，仅需要对原 有的矩阵作某些修改。 先讨论网络中含有非标准变比 K 的 变压器支路时导纳矩阵元素的修改。当 节点 p，q 间接有变压器支路时（见图 1-4-1） ， 当然可以用∏型等值电路，然后 按照上述原则形成导纳矩阵。但在实际 应用程序中，往往直接计算变压器支路 对导纳矩阵的影响。 根据图 1-4-1 可以写 出节点 p，q 的自导纳和节点间的互导纳增量分别如下： 节点 p 的自导纳改变量： 图 1-4-1 （1-12）
U1 。现以变压 U2
器阻抗按实际变比归算到低压侧的情况为例， 推导出双绕组变压器的∏型等值电 路。 流入和流出理想变压器的功率相等：
1
U 1 I 1 U 2 I 2 / k ( U1 、 U 2 分别为变压器高、低绕组的实际电压） I1 I 2 / k
联立（1-1） 、 （1-2）两个公式解得：
. . . .
(1-11）
由此可以得到 n 个节点导纳矩阵：
Y11 Y12 ... Y1 n Y Y ... Y 21 22 2n Y ...... Yn 1 Yn 2 ... Ynn
它反映了网络的参数及接线情况， 因此导纳矩阵可以看成是对电力网络电气 特性的一 种数学抽象。 由导纳短阵所联系的节点方程式是电力网络广泛应用的一种数学模 型。 通过上面的讨论，可以看出节点导纳矩阵的有以下特点： （1） 导纳矩阵的元素很容易根据网络接线图和支路参数直观地求得，形成节 点导纳矩阵的程序比较简单。 （2）导纳矩阵为对称矩阵。由网络的互易特性易知 Yij Y ji 。
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有节点 i 的自导纳应增加 Yii yij 。 （2）在网络的原有节点 i，j 之间增加一条导纳为 yij 的支路。由于只增加支 路不增加节点，故导纳矩阵的阶次不便。因而只要对与节点 i，j 有关的元素分别 增添以下的修改增量即可，其余的元素都不必修改：
Yii Y jj yij , Yij Y ji yij
第一章 导纳矩阵的计算简介
1.1 变压器的∏型等值电路
在电力系统潮流计算中，往往要计算节点导纳矩阵，而我们计算节点导纳矩 阵采用节点电压法来实现， 如在变压器构成的电力系统中，需要将变压器模型转 变成变压器∏型等值电路（见图 1-1） ，在利用电路知识列节点电压方程，从而导 出所需的导纳矩阵。
i K:1 i
y1 V1 y1 V2 V1 y1 V3 V1 y1 e1 y2 V1 y6 V2 V1 y5 V2 V3 y2 e 2 y4 V3 V1 y5 V3 V2 y3 V3 0
YV 形式的节点方程式。其中
阶数等于电力网络的节点数。从而可以得到 n 个节点时的节点导纳矩阵方程组 （1-11）如下：
Y11 V1 Y12 V2 ......Y1n Vn I1 . . . . Y21 V1 Y22 V2 ......Y23 Vn I 2 ....... . . . . Yn1 V1 Yn 2 V2 ......Yn 3 Vn I n
. .
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（1-1） （1-2）
U1 U 2 YT U 1 YT U 2 I1 2 2 k ZT kZT k k
. . U 1 U 2 YT U 1 I2 YT U 2 kZT ZT k . . .
.
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（1-3）
（1-4）
根据《电路原理》节点 1、2 的节点电流方程具有如下形式：
因此可以的得到各支路导纳为
(1-6)
Y12 y12 YT / k
Y21 y21 YT / k 1 k y10 Y11 y12 YT / k 2 YT / k 2 YT k k 1 y20 Y22 y21 YT YT / k YT k
P
Z
1:k
q
kz
P
kz k 1
q
k2z 1 k
Ypp
节点 q 的自导纳改变量：
1 k 1 1 kz kz z 1 1 k 1 2 2 kz k z k z 1 kz
Yqq
增加节点 p，q 间的互导纳：
（1-13）
Ypq Yqp
（1-14）
在电力系统中，假定接线改变前的导纳矩阵元素为 Yij(0) ，接线改变后则应修 改为 Yij Yij(0) Yij 。 现就几种典型的接线方式变化， 说明修改量 Yij 的计算方法。 （1）从网络的原有节点 i 引出一条导纳为 yij 的支路，同时增加一个节点 j。 由于节点数加 1，导纳矩阵将增加一行一列。新增的对角线元素 Y jj yij 。新增的 非对角线元素中，只有 Yij Y ji yij ，其余的元素都为零。矩阵的原有部分，只
Y12 ... Y1n Y22 ... Y2 n ... ... ... Yn 2 ... Ynn
为节点导纳矩阵，其中对角元素 Yii 为节点 i 的自导纳，非对角线 Yij 为节点 i 与
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Leabharlann Baidu
1.3 节点导纳矩阵
节点导纳矩阵既可根据自导纳和互导纳的定义直接求取， 也可根据电路知识 中找出改网络的关联矩阵， 在节点电压方程的矩阵形式进行求解。本章节我们主 要讨论的是直接求解导纳矩阵。 根据节点电压方程章节我们知道，在利用电子数 字计算机计算电力系统运行情况是，多采用 I
（1-15）
（3）在网络的原有节点 i，j 之间切除一条导纳为 yij 的支路。这种情况可以 当作是在节点 i，j 间增加一条导纳为 yij 的支路来处理。因此，导纳矩阵中有关 元素的修正增量为：
Yii Y jj yij , Yij Y ji yij
（1-16）
（4）原网络节点 i，j 之间的导纳由 yij 改为 yij ' 。这种情况可以当作首先在节 点 i，j 间切除一条导纳为 yij 的支路，然后再在节点 i，j 间追加导纳为 yij ' 的支路， 根据式（1-15） 、 （1-16）不难求出导纳矩阵相关元素的修正量。 其他的网络变更情况， 可以仿照上述方法进行处理，或者直接根据导纳矩阵 元素的物理意义，导出相应的修正公式。应该指出，如果增加或切除的支路是变 压器支路，则以上相关元素的修改应按式（1-12） 、 （1-13） 、 （1-14）进行。
（1-7）
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1.2 节点电压方程
在电路中我们已经学过利用节点电压方程来求解某几条支路的电流， 现以下 图 1-2-1 与图 1-2-2 为例推导节点电压方程组。
图 1-2-1 节点电压法为例
图 1-2-2 用电流源代替电压源为例
图 1-2-1 表示了一个具有两个电源和你一个等值负荷的系统。 e1 、 e 2 为电 源电势， y1 、 y2 为电源的内部导纳， y3 为负荷的等值导纳， y4 、 y5 、 y6 为各支 路的导纳。如果以地为电压参考点，设节点 1、2、3 的电压为，根据基尔霍夫电 流 KCL 法对节点 1、2、3 列节点电流方程得式（1-8） ：
. . . I 2 Y21 U 1 Y22 U 2 I 1 Y11 U 1 Y12 U 2
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（1-5）
将式（1-3） 、 （1-4）与式（1-5）比较得(1-6):
Y11 YT / k 2 Y12 YT / k Y21 YT / k Y12 YT
(1 k )YT k2
YT k
j
YT
j
(k 1)YT k
图 1-1 双绕组变压器的∏型等值电路（i，j 为节点） 而在电力系统潮流计算中一般采用标幺值进行计算，标幺值公式如下：
标幺值
有名值（任意单位） 基准值（与有名值同单位）
如果采用标么值计算，元件参数都应归算到同一基准值时得标么值，才能在同一 个等值电路上分析和计算。所以，变压器转变成∏型等值电路时，我们采用标幺 值计算， 使所求参数为变压器变比 k 的函数。而在一个已经归算好的电力系统网 中，若改变变压器的分接头来进行调压，这时变压器的等值电路参数也会相应得 改变，此时采用∏型等值电路进行折算就显得较为方便。 下面是变压器的∏型等值电路分析过程： 如不计励磁支路的影响， 双绕组变压器可用其阻抗与一个理想变压器串联的 电路表示，如图所示。理想变压器只有一个参数，那就是变比 k=
. V1 . V V2 ... V. n
. I1 . I I2 ... I. n
分别为节点注入电流列向量及节点电压列向量；
Y11 Y 21 Y ... Yn1
节点 j 之间的互导纳。
. . . .
Y12 3 的自导纳，
的互导纳。
Y21 y6 , Y13 Y31 y4 , Y23 Y32 y5 称为相应节点之间
因此，在一般情况下，在电力网络中有 n 个节点，则可以按式（1-10）的形 式列出 n 个节点方程式，也可用矩阵的形式表示 I
YV 。其中
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为等值电流源向网络注入的电流。将与式（1-8）联立得式（1-10） ：
Y11 V1 Y12 V2 Y13 V3 I1 . . . . Y21 V1 Y22 V2 Y23 V3 I 2 (1-10） . . . . Y31 V1 Y32 V2 Y33 V3 I 3 上式中 Y11 y1 y4 y6 , Y22 y2 y5 y6 , Y33 y3 y4 y6 称为节点 1、 2、