矩形的定义和性质

1、掌握矩形的定义，感受矩形与平行 四边形之间的联系，并能通过推理得 到矩形的性质． 2、掌握矩形的性质，会用矩形的性质 进行有关的证明和计算.
A
两组对边分别平行的四边形是平行四边形
D
如果
B
A C ABCD
D
B
AB∥CD C AD∥BC 四边形ABCD
边 平行四 边形的 性质：
对角线
平行四边形的对边平行； 平行四边形的对边相等； 平行四边形的对角线互相平分； 平行四边形的对角相等；
1. 已知△ABC是Rt△,∠ABC=900,BD是斜边 AC上的中线. 6 (1)若BD=3㎝,则AC＝______ ㎝; 10 ㎝, (2)若∠C=30°,AB＝5㎝,则AC＝_____ 5 ㎝. BD＝_____
A D
┓
自我检测2
B
C
2.在 Rt ABC 中，斜边AC上的中线 和高分别是6cm和5cm，则 Rt ABC 的 面积S=（ 30cm2 ）。
猜想1 1 矩形的性质
矩形的四个角都是直角
D
A 例1、已知：四边形ABCD是矩形, ∠A=900 求证：∠A= ∠B = ∠C=∠D=900 证明：∵ 四边形ABCD是矩形 ∴ ∴ 又∵ ∴ AD∥BC ∠A+ ∠B=1800 ∠A＝900 ∠B ＝900
B
C
又∵ ∠A = ∠C， ∠B = ∠D（矩形的对角相等） ∴ ∠A= ∠B = ∠C=∠D=900
验证、
例3、已知：在Rt△ABC中，∠ABC=900，BO是AC上 的中线. 1 求证: BO = 2 AC A
D
证明: 延长BO至D,使OD=BO, 连结AD、DC. ∵AO=OC, BO=OD B ∴四边形ABCD是平行四边形.
∵∠ABC=900 ∴ ABCD是矩形 ∴AC=BD
O C
1 1 ∴BO= 2 BD= 2 AC
7、矩形ABCD中，P是AD上一动点，且PE⊥AC 于点E，PF⊥BD于点F．求证：PE+PF为定值．
A
E B
P
O F
D
C
A
O
D
矩形特征
B C
对边：平行 （共性） 相等 （共性） （1）边： 邻边：互相垂直 （个性）


（2）角： 四个角都是直角 （个性）
互相平分 （共性） （3）对角线： 相 等 （个性）

1.矩形的定义:
有一个内角 平行四边形 是直角
2.矩形的性质:
①边： ②角 ③对角线 ④对称性 对边平行且相等
四个角都是直角
对角线平分且相等 既是轴对称图形和又是中心对称图形
3.直角三角形 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半。 的一个性质
两组对边 分别平行 平行 四边形 一个角是 直角
矩形
矩形的定义：
有一个角是直角的平行四边形是矩形
平行四边形
有一个角
是直角
矩形
矩形是特殊的平行四边形
矩形的一般性质：
具备平行四边形所有的性质
边 A O B C D 角
对边平行且相等 对角相等 对角线互相平分
对角线
二、探索新知:
矩形是一个特殊的平行四边形，除了具有平行 四边形的所有性质外，还有哪些特殊性质呢？
角
平行四边形的邻角互补；
平行四边形的判定定理：
两组对边分别平行的四边形； 边 平行四 边形的 判定： 两组对边分别相等的四边形； 一组对边平行且相等的四边形；
对角线
对角线互相平分的四边形； 两组对角分别相等的四边形；
角
情 景 创 设
我们已经知道平行四边形是特殊的 四边形，因此平行四边形除具有四 边形的性质外，还有它的特殊性质， 同样对于平行四边形来说有特殊情 况即特殊的平行四边形，这节课我 们就来研究一种恃殊的平行四边 形—— 矩形
O
B 公平,因为OA=OC=OB=OD C
类比思考
三位学生正在做投圈游戏，他们分别站在一个直角 三角形的三个顶点处，目标物放在斜边的中点处．三个 人的位置对每个人公平吗？请说明理由． A
O C
B
直角三角形的性质： 直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半
如图，一张矩形纸片，沿着对角线剪去一半，你能 得到什么结论？ A O B D A O
A
A
D E
B
Hale Waihona Puke Baidu
C
例4、已知：如左图，矩形ABCD的两 条对角线相交于点O，∠AOB=60°， AB=4cm，求矩形对角线的长. 解：∵四边形ABCD是矩形， ∴AC=BD（矩形的对角线相等）.
∴OA=OB ∵∠AOB=60° ∴△ABO为等边三角形， ∵AB=4 ∴AB=BO=4
∴BD=2BO=2×4=8 ( cm ) .
为直角三角形的有关 问题进行解答.
∴BC=7
∴矩形ABCD的周长为22cm
例6、如图，矩形AEFG和矩形ADCB的大小、形状完全相 同，把它们拼成如图所示的L型图案，已知∠FAE=30°, 分别求∠1、∠2的度数。
F 1 E H D 2 C
解:依题意可知: ∠FAE=∠DCA=30 °,AF=AC ∴∠DAC=60 °, ∴∠FAC=90 °,
C
B
C
Rt△ABC中，BO是一条怎样的线段？它的长度与 斜边AC有什么关系？一般地，这个结论对所有直角三 角形都成立吗？
直角三角形的性质：直角三角形斜边上的 中线等于斜边的一半。
A O
在Rt三角形ABC中 ∵∠ABC=90° BO是AC边的中线
1 BO AO CO AC 2 C
B
练一练: 已知一直角三角形两直角边分别为6和8,则其 5 斜边上的中线长为________.
1. 矩形具有而一般平行四边形不具有的性 质是（ A ）. A、对角线相等 B、对边相等 C、对角相等 D、对角线互相平分 2、 矩形的一组邻边长分别是3cm和4cm， 则它的对角线长是 5 cm.
四个学生正在做投圈游戏,他们分别站在一 个矩形的四个顶点处，目标物放在对角线的交 点处,这样的队形对每个人公平吗?为什么？ A D
1、如图，矩形ABCD的对角线的长为2， ∠BDC=300,则矩形ABCD的面积为____. 3 2、矩形两条对角线所夹的锐角为60°,较短 7.2 cm. 的边长为3.6cm,则对角线的长为_____
A B A O D
第1题
D
C
B
第2题
C
3、矩形ABCD中,AC、BD相交于点O， 16 AB=6，BC=8，则△ABO的周长为_____
命题 2：矩形的对角线相等． 性质
例2、已知：四边形ABCD是矩形，求证：AC = BD
证明：在矩形ABCD中 ∵∠ABC = ∠DCB = 90° 又∵AB = DC ， BC = CB ∴△ABC≌△DCB ∴AC = BD
B C A D
A O 矩形的两组对边分别平行 边
D
角
对角线
C B 矩形的两组对边分别相等 数学语言 ∵四边形ABCD是矩形 ∴AD = BC ，CD = AB 矩形的四个角都是直角 ∴AD ∥BC ，CD ∥AB ∴AO= CO ，OD = OB ∴AC= BD 矩形 的两条对角线相等 A B C D 900 矩形的 两条对角线互相平分
A
O B C
D
易考题
例5、如图，矩形ABCD中，AE平分∠BAD交BC于点E， ED=5cm,EC=3cm,求矩形的周长。 A D 解：∵四边形ABCD是矩形 ∴∠C＝∠B=∠BAD=90°,AB=DC ∵DE=5,EC=3 ∴DC2=DE2-EC2=52-32,即：DC=4 B C ∵AE平分∠BAD E ∴∠BAE=45° 注:解决矩形的有关问 题时,常根据性质转化 ∴AB=BE＝4
（2）若已知AC＝10㎝，BC=6㎝，则矩形的周长＝____ cm ,矩形的面积＝_______ ㎝2 （3）若已知 ∠DOC=120°，AD＝6㎝，则AC= _____cm
3.已知△ABC是Rt△，∠ABC=900，BD A 是斜边AC上的中线 （1）若BD=3㎝则AC＝ ㎝
┓
B C D
（2）若∠C=30°，AB＝5㎝，则AC＝ ㎝，BD＝ ㎝。
G
A
∴∠1=45 °, B ∴∠2=∠ACF-∠ACD=15 °
1、矩形具有而一般平行四边形
具有的性质是 ( C
A.对角相等 B.对边相等 C.对角线相等 D.对角线互相平分
)
D
C
O
2、已知四边形ABCD是矩形
（1）若已知AB=8㎝，AD=6㎝，
则AC＝_______ ㎝
A
B
OB=_______ ㎝
4、如图，矩形ABCD被两条 对角线分成四个小三角形的周 长的和是86cm，对角线长是 13cm，那么矩形的周长是多 少？ 5.如图,矩形的一条对角线 长为8cm,两条对角线的一 个夹角为120°,求矩形的边 长.
A
F
┓
E
B
D
H
C
6、如图，在△ABC中，D，E，F，分 别是BC、AC、AB边的中点，AH⊥BC 于H，FD=8㎝，求HE的长
A D
B
C
猜想1：矩形的四个角都是直角． 猜想2：矩形的对角线相等．
对称性：矩形是轴对称图形．
边
角
对角线 对角线互 相平分
对称性 中心对 称图形
平行四 边形
矩形
对边平行 对角相等 且相等 邻角互补 对边平行 四个角 且相等 为直角
对角线互相 中心对称图形 平分且相等 轴对称图形
O
这是矩形所 特有的性质