级 学而思杯真题+解析合集

2014 年南京五年级学而思杯答案解析
一、填空题（每题 5 分，共 20 分） 1. 【考点】数论，带余除法 【难度】☆ 【答案】63 【分析】14 4 7 63 . 2. 【考点】定义新运算 【难度】☆☆ 【答案】41 【分析】1△ (6 ☆ 8) 1△ (2 6 8) 1△ 20 1 2 20 41.
三．填空题（每题 7 分，共 28 分）
9. 把 1 个 1，2 个 2，3 个 3，……按顺序排成下图数表，那么这个数表中第 10 行第 10 列
的数是
．
1 34 6 7 8…
2 2 4 5 7 8…
3 3 4 5 7 8…
4 5 55 7 8…
6666689
7778889
9999999
10. 算式 (AB CD) (EF GH) (I J) 2014中，丌同的字母代表丌同的数字，那
值是
．
14. 某城市交通路线图如下，A、B、C、D 为绿色正方形各边中点，E、F、G、H 为黄色正
方形各边中点，学校在 CG 中点处，学而思在 DH 中点处，已知开车在绿色道路上最大
时速为 60km/h，在黄色道路上最大时速为 40km/h，在红色道路上最大时速为 20km/h．已
知从家到学而思最少需要 22 分钟，从学校到学而思最少需要 20 分钟，那么，从家到学
进而范围分析算式 1□×10□＝2□□4，由于18 109 2000 ，故知第一个乘数只能是 19， 算式是19 106 2014 .
7. 【考点】数独思想 【难度】☆☆☆ 【答案】18 【分析】突破口是第 4 行以及第 6 列，都是“8”，故知此列全满，以此为起点，填出所有其
他行列（先找最大数或最小数比较好填，即 8→1→7→2→……的顺序）：
A
a
B
a a aa
F
G
a
C
a
D
所以答案不是 7，而是 5. 二、填空题（每题 6 分，共 24 分）
5. 【考点】组合，几何计数 【难度】☆☆ 【答案】14
【分析】若最小的正三角形边长为“1”，则这种边长为“1”的三角形有 12 个，边长为“2”的三 角形有 2 个，共 14 个.
6. 【考点】数字谜，乘法竖式谜 【难度】☆☆ 【答案】2014 【分析】第二个部分积是 1□，故知第二个乘数的百位必为 1，且第一个乘数必为 1□，很小；
O．求：
（1）△ABE 的面积；（3 分）
A
D
（2） AO : OE ； （4 分）
（3）△AOB 的面积；（4 分） （4）△COD 的面积．（4 分）
F O
BEC
20. 老师在黑板上随机写了 8 个数，每个数都是 1、2、4 中的某一个．学生们每次擦去两个 相同的数，幵把这两个相同的数的和写在黑板上．如果某位同学在黑板上写出了“2048”， 则过程“成功结束”，否则老师就再随机写一个数上去（1 或 2 或 4），以保证黑板上仍有 8 个数．学生每次成功写数都会得不此数相同的分数，例如：擦去两个 2，写上 4，得 到 4 分．如果幵没有写出 2048，但已没有相同的数可以同时擦去，则过程“失败结束”． （1）如果黑板上出现了“32”，那么此时总分至少是多少分？（5 分） （2）若一个过程结束后恰好得到了 18000 分，能否是一次“成功结束”？为什么？（5 分） （3）某一次过程“成功结束”了，幵且最后黑板上的数互丌相同，那么这个过程的总 得分最少是多少分？（5 分）
12366874 5 ×××○○○○○ 5 ×××○○○○○ 6 ××○○○○○○
8 ○○○○○○○○ 6 ×○○○○○○× 4 ×××○○○○× 2 ×××××○○× 1 ×××××○××
其中灰色的步骤是用到了“同一行或同一列的棋子全部相连”这一条件推导而来的. 计数最后一个图中的白色格的棋子数量，为 18 个.
2 ×××××○○×
1 ×××××○××
12366874
5×
○○○○
5×
○○○○○
6×
○○○○○
8 ○○○○○○○○
6×
○○○○
4 ×××○○○○× 2 ×××××○○×
1 ×××××○××
12366874
5×
○○○○
5 ×××○○○○○
6×
○○○○○
8 ○○○○○○○○
6×
○○○○
4 ×××○○○○× 2 ×××××○○×
18. （1）解方程： x 8 3 x 1 （4 分）
3
5
（2）列方程解应用题：五年一班男生和女生的人数比是 5 : 4，后来又转来 1 名男生和 2 名女生，这时男生和女生的人数比是 7 : 6，请问：这个班原．来．共有学生多少人？（4 分）
六．解答题（每题 15 分，共 30 分）
19. 如右图，正方形 ABCD 的面积为 1，E、F 分别为 BC、CD 的中点，AE 和 BF 相交于点
13 91 ，故
10. 【考点】数论，数字谜，最值 【难度】☆☆☆ 【答案】98 【分析】2014 2 19 53 ，故知 I J 2 ，另外两个括号分别是 19 和 53；或者 I J 1 ，
另外两个括号分别是 38 和 5. AB 的理论最大值为 98，另一方面有实例 (98 45) (36 17) (2 0) 2014 ，故答案是 98.
Baidu Nhomakorabea
校最少需要
分钟．
家A
E
B F OH
D
学
G
而
思
学校
C
15. A、B、C 三个数都有 6 个约数，幵且它们都没有大于 10 的质因数．如果 (A, B) 2 ，
(A,C) 1， (B,C) 5 ，那么，A、B、C 三个数共有
种丌同的组成情况．
16. 甲、乙两人轮流往立方体的任意一个顶点填入 1～20 中的一个数（丌能重复），要求每
么两位数 AB 的最大值是
．
11. 如右图，正方形 ABCD 的边长为 10，以 A 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 E，以 B 为囿
心 10 为半径作弧交 BD 于 F，以 C 为囿心 10 为半径作弧交 AC 于 G，以 D 为囿心 10
为半径作弧交 BD 于 H，那么，图中阴影部分的面积是
中共有
枚棋子．
12366874 5 5 6 8 6 4 2 1
8. 4 名瓦工用面积为 80 平方厘米的地砖铺 6 平方米的房间，用了 3 天时间；16 名瓦工用 另一种规格的地砖铺了 12 平方米的房间，用了 12 天时间．每名瓦工铺一块任何大小的 地砖所需要的时间都相等．那么，第二个房间所用的地砖面积是 平方厘米．
第一个房间的地砖大小是第二个房间地砖大小的16 2 8 倍，故知第二个房间的地砖 大小为 80 8 10 平方厘米. 三、填空题（每题 7 分，共 28 分）
9. 【考点】计算，方形数表 【难度】☆☆☆ 【答案】13
【分析】第 10 行第 10 列的数是第 9 9 10 91 个数，而1 2 3 4 知此数为 13（13 个 13 中的最后那个）.
3. 【考点】应用题，分数应用题 【难度】☆☆ 【答案】60
【分析】雾霾天有 28 3 12 天，故其他时间为 28 12 16 天，故共跑了1 12 3 16 60 7
圈. 4. 【考点】几何，立体几何与空间想象 【难度】☆☆☆ 【答案】5 【分析】若认为“有棱围起来的就算一个面”的话，粘合之前有 5 4 9 个面，粘合后失去 2
12366874
5
○
5
○
6
○
8 ○○○○○○○○
6
○
4
○
2
○
1
○
12366874
5×
○
5×
○
6×
○
8 ○○○○○○○○
6×
○
4×
○
2×
○
1 ×××××○××
12366874
5×
○○
5×
○○
6×
○○
8 ○○○○○○○○
6×
○○
4×
○○
2×
○○
1 ×××××○××
12366874
5×
○○
5×
○○
6×
○○
8. 【考点】应用题，归一问题的比例解法 【难度】☆☆☆ 【答案】10 【分析】若硬生生地归一，计算量会很大，归一数亦非整数，不利于计算. 考虑两次铺砖的
比例关系：16 名砖瓦工铺 12 天所铺的块数，应是 4 名砖瓦工铺 3 天所铺块数的
16 12 16 倍，但房间大小方面，第二个房间只是第一个房间的12 6 2 倍，这说明 43
F
G
a
C
a
D
a
H E
两个灰色的面由于是平移得来的，故这两面平行，但在底边上这两面有公共的线
（CD、DE 共线），故知这两个灰色的面其实在同一平面上. 所以连接 AB 的话，三角形 ABD 也在这个平面上（因为 A、B、D 三点都在这个平面上）.
AB 的长度就是平移长度，故 AB a ，又 AD BD AG BG DG a ，故知四 面体 ABDG 正是我们所要找的边长为 a 的正四面体，可见 ABD 面与 ACD 面其实是同 一个面，同理 ABG 面和 AFG 面其实也是同一个面.
3 ．盛盛喜欢跑步，他在雾霾天每天跑 1 圀，其它时间每天跑 3 圀．那么，盛盛 2014 7
年 2 月总共跑了
圀．
4. 如下图，1 号立体图形是一个正四棱锥，2 号立体图形是一个正四面体，红色部分是大
小相同的正三角形．把 1 号和 2 号拼成一个新立体图形，让两个红色部分完全重合，那
么，这个新立体图形共有
在这两个限制条件内，可选的 97 的倍数有 97、194、291；其中 97 与 47 2 94 的
2014 年第八届“学而思杯”数学试卷（五年级）
一．填空题（每题 5 分，共 20 分）
1. 今天是 2014 年 4 月 7 日．有一个数，它除以 14，商是 4，余数是 7，那么，这个数
是
．
2. 定义： a△b a 2b ， a☆b 2a b ，那么，1△ (6 ☆ 8)
．
3. 2014 年 2 月共有 28 天，据气象部门统计，这个月北京有雾霾的天数占全月总天数的
个面．
2
1
二．填空题（每题 6 分，共 24 分）
5. 下图中，共有
个等边三角形．
6. 将下面的乘法竖式补充完整，那么，最后的乘积是
．
u
0
4
1
2
7. 下图是国际象棋棋盘，将每一行的棋子数写在了棋盘左边，将每一列的棋子数写在了棋
盘的上边，已知每格至多放一枚棋子，且同一行或同一列的棋子全部相连，那么，白格
11.
【考点】几何，圆与扇形 【难度】☆☆☆ 【答案】57
【分析】 S阴影
(π 102 45 102 360
4) 4
50π 100
57 .
12.
【考点】数论，最值 【难度】☆☆☆☆ 【答案】160
【分析】这样的 5 个数中挑出 3 个作和，最大和比最小和多 6，故知题目所叙述的两个和应
该尽量接近（差在 6 以内）；又 5 个数都是 2 位数，所以和小于等于 294.
个面，故有 9 2 7 个面. 但要注意“共面的面算同一个面”，会发现红色三角形旁边的 面是共面的，答案是 7 2 5 个面. 共面证明如下：
设正四棱锥、正四面体的边长是 a，那么将正四棱锥沿底面正方形边长的方向平移 a 可得到新的正四棱锥，如图：
A
B
A
a
B
a a aa
F
G
a
C
a
D
a
H E
a a aa
．（π 取 3.14）
A
G
BH
FD
E
C
12. 黑板上写着 5 个连续的两位数，小明将其中的 3 个相加，和能被 47 整除，小军也将其
中的 3 个相加，和能被 97 整除．那么，黑板上写的 5 个数乊和是
．
四．填空题（每题 8 分，共 32 分）
13. n 是一个三位数，如果 n 2014 的结果的数字和是 n 的数字和的一半，那么，n 的最大
8 ○○○○○○○○
6×
○○
4×
○○
2 ×××××○○×
1 ×××××○××
12366874
5×
○○○○
5×
○○○○
6×
○○○○
8 ○○○○○○○○
6×
○○○○
4×
○○○○
2 ×××××○○×
1 ×××××○××
12366874
5×
○○○○
5×
○○○○
6×
○○○○
8 ○○○○○○○○
6×
○○○○
4 ×××○○○○×
次填的数一定比 3 个相邻位置中已有的数大，谁无法填出谁负．甲先填，第一次填了
17（如图所示），那么，如果乙想要获胜，他第一次填的数最小是
．
17
第二部分 解答题
五．解答题（每题 8 分，共 16 分）
17. 计算：
（1） 6 y 6 6 1 （4 分） 78
x
x
（2） 0.16 1.3 2.5 （4 分）
1 ×××××○××
12366874 5 × ×○○○○ 5 ×××○○○○○ 6 × ○○○○○○
8 ○○○○○○○○ 6 × ○○○○○ 4 ×××○○○○× 2 ×××××○○× 1 ×××××○××
12366874 5 ×××○○○○○ 5 ×××○○○○○ 6 × ○○○○○○
8 ○○○○○○○○ 6 × ○○○○○× 4 ×××○○○○× 2 ×××××○○× 1 ×××××○××