弹塑性力学第四章

y c21 x c22 y c23 z z c31 x c32 y c33 z
x 对 x 的影响应与 y 对 y 及 z 对 z 的影响相同，即 c11 c22 c33
y , z 对 x 的影响应相同，即 同理，
因而有：
c12 c13
c11 c22 c33 a c12 c21 c13 c31 c23 c23 b
对于应变主轴，弹性常数只有两个。
广义胡克定律
各向异性弹性体独立的常数有21个。 系数矩阵对称 Cmn Cnm 广 西 工 具有一个弹性对称面的各向异性弹性体的独立常数有13个。 学 院
广义胡克定律
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院 汽 车 工 程 系
x x , y y , z z , xy xy , yz yz , xz xz
广 西 工 学 院
x 汽 x 车 工 2 2 2 x l11 y l12 z l13 2 xy l11l12 yz l12l13 xz l11l13 x x 程 系 ,
y y z z
z
y
y
z
ij liil jj ij
车 工 程 系
弹性对称面：如果物体内存在这样一个平面，和该平面对称的 汽 两个方向都具有相同的弹性，则该面称为物体的弹性对称面。 弹性主方向：垂直于弹性对称面的方向 具有三个弹性对称面的各向异性弹性体（正交各向异性）的 独立常数有9个。
广义胡克定律
证明：正交各向异性弹性体的独立常数有9个。 证明：取弹性主轴为三个坐标轴，将z轴旋转180度
b
广义胡克定律
由应力分量的坐标变换公式（2-20）可得： xy c41 x c42 y c43 z xy l11l22 xy xy
2 x l11 x x 2 y l22 y y 2 z l33 z z
广义胡克定律
证明：弹性状态下，各向同性弹性体，应力主轴与 应变主轴重合。
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Байду номын сангаас
证明：令x、y、z为主应变方向，则剪应变分量为零。
xy c41 x c42 y c43 z
a
引入新坐标，则新、旧坐标间的关系为：
在新坐标，弹性常数不变，则
xy c41 x c42 y c43 z
同理可得： yz 0, zx 0
因此，对于各向同性弹性体，主应变方向必为主应力方向。
广义胡克定律
证明：各向同性均匀弹性体的弹性常数只有两个。
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证明：令坐标轴与主应力方向一致，则主应力与主应变间 的关系为： c c c
x 11 x 12 y 13 z
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上述关系式是胡克（Hooke）定律在复杂应力条件下 的推广，因此又称作广义胡克定律。
广义胡克定律
广义胡克定律的张量表示： ij cijkl kl cijkl 称为弹性系数，一共有36个。
i, j, k, l 1,2.3
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本构关系
（应力分量与应 变分量的关系）
应力 理论 应变 理论
平衡微分方程 （应力分量与体力
的关系）
边界条件 几何方程 （应变分量与位移
的关系）
变形协调方程
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广义胡克定律
广义胡克定律
一、广义胡克定律
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代入广义胡克定律
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 yz c16 zx
x c11 x c12 y c13 z c14 xy c15 y z c16 z x
大量实验表明，在许多工程材料的弹性范围内，单向的应 力和应变之间存在着线性关系： E 材料的变形属性与坐标无关。
三维：应力和应变关系的一般表达式为：
对于小变形问题，上述表达式展开成泰勒级数，并且略 去二阶以上的高阶小量。
初始 应力
广义胡克定律
根据无初始应力的假设，（f 1)0应为零。对于均匀材料， 材料性质与坐标无关，因此函数 f 1 对应变的一阶偏导数为常 数。因此应力应变的一般关系表达式可以简化为
(2-20)
xy l21l31 x l22l32 y l23l33 z
xy l11l22 l12l21 yz l12l23 l13l22 xz l13l21 l11l23 xy
yz yz , xz xz
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c
xy c41 x c42 y c43 z
b
a
由 (c)式代入 (b)式 ,可得出：
xy c41 x c42 y c43 z
d
xy xy ，所以，必定有 xy 0 比较(a) , (b)可得：
如果物体是非均匀材料构成的，物体内各点受力后将 有不同的弹性效应，因此一般的讲，cmn 是坐标x，y，z 的函数。 如果物体是由均匀材料构成的，那么物体内部各点， 如果受同样的应力，将有相同的应变；反之，物体内各 点如果有相同的应变，必承受同样的应力。 因此cmn为弹 性常数，与坐标无关。 各向同性材料，独立的弹性常数只有两个。