高考数学一轮复习考点知识专题练习8---二次函数与幂函数

高考数学一轮复习考点知识专题练习
8 二次函数与幂函数
一、考点全面练
1．幂函数 y＝f(x)经过点(3， 3)，则 f(x)是( )
A．偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
B．偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数
C．奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数
D．非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数
解析：选 D 设幂函数的解析式为 y＝xα，将(3， 3)代入解析式得 3α＝ 3，解得
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∴a＝－1(舍去)或 a＝3； 当 a＋2≤1，即 a≤－1 时，f(a＋2)＝(a＋1)2＝4，∴a＝1(舍去)或 a＝－3；
当 a＜1＜a＋2，即－1＜a＜1 时，f(1)＝0≠4.
故 a 的取值集合为{－3,3}．
答案：{－3,3}
9．已知值域为[－1，＋∞)的二次函数 f(x)满足 f(－1＋x)＝f(－1－x)，且方程 f(x)
极小值点，那么不等式 f(x)>0 的解集是( )
A．(－4,2)
B．(－2,4)
C．(－∞，－4)∪(2，＋∞) D．(－∞，－2)∪(4，＋∞) 解析：选 C 依题意，f(x)图象是开口向上的抛物线，对称轴为 x＝－1，方程 ax2
＋bx＋c＝0 的一个根是 2，另一个根是－4.因此 f(x)＝a(x＋4)(x－2)(a>0)，于是 f(x)>0，
1
1
α＝2，所以 y＝x 2 .故选 D.
2．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c，若 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，则它的图象可能是( )
解析：选 D 由 a>b>c 且 a＋b＋c＝0，得 a>0，c＜0，所以函数图象开口向上， 排除 A、C.又 f(0)＝c＜0，所以排除 B，故选 D.
3.二次函数 f(x)的图象如图所示，则 f(x－1)>0 的解集为( )
解析：因为函数 f(x)＝－x2＋mx＋1 是[－1,1]上的平均值函数， f(1)－f(－1)
设 x0 为均值点，所以 1－(－1) ＝m＝f(x0)， 即关于 x0 的方程－x20＋mx0＋1＝m 在(－1,1)内有实数根，解方程得 x0＝1 或 x0＝ m－1. 所以必有－1＜m－1＜1，即 0＜m＜2， 所以实数 m 的取值范围是(0,2)． 答案：(0,2)
只要 f(0)－f(t)≤2 即可，即 1－(t2－2t2＋1)≤2，
求得－ 2≤t≤ 2.
再结合 t≥1，可得 1≤t≤ 2.故选 B. 4．若函数 f(x)＝x2＋2ax＋2 在区间[－5,5]上是单调函数，则实数 a 的取值范围为
________．
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解析：函数 f(x)＝(x＋a)2＋2－a2 的图象的对称轴为直线 x＝－a， 因为 y＝f(x)在区间[－5,5]上是单调函数， 所以－a≤－5 或－a≥5，即 a≤－5 或 a≥5. 故实数 a 的取值范围是(－∞，－5]∪[5，＋∞)． 答案：(－∞，－5]∪[5，＋∞) 5．已知对于任意的 x∈(－∞，1)∪(5，＋∞)，都有 x2－2(a－2)x＋a>0，则实数 a 的取值范围是________． 解析：∆＝4(a－2)2－4a＝4a2－20a＋16＝4(a－1)(a－4)． (1)若 ∆＜0，即 1＜a＜4 时，x2－2(a－2)x＋a>0 在 R 上恒成立，符合题意； (2)若 ∆＝0，即 a＝1 或 a＝4 时，方程 x2－2(a－2)x＋a>0 的解为 x≠a－2， 显然当 a＝1 时，不符合题意，当 a＝4 时，符合题意； (3)当 ∆>0，即 a＜1 或 a>4 时，因为 x2－2(a－2)x＋a>0 在(－∞，1)∪(5，＋∞)
k－2 ∴g(x)图象的对称轴方程为 x＝ 2 ，
k－2 则 2 ≤－1，即 k≤0，故 k 的取值范围为(－∞，0]． 10．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0，b∈R，c∈R)．
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(1)若函数 f(x)的最小值是 f(－1)＝0，且 c＝1，F(x)＝－ f(xf)(，x)， x>x0＜，0， 求 F(2)＋
解得 x>2 或 x＜－4.
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6．已知点(m,8)在幂函数
f(x)＝(m－1)xn 的图象上，设
a＝f13
1 2
，b＝f(ln
π)，c
＝f－12，则 a，b，c 的大小关系为(
)
A．c＜a＜b
B．a＜b＜c
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
解析：选 A 根据题意，m－1＝1，∴m＝2，∴2n＝8，
∴n＝3，∴f(x)＝x3.
数 a 的取值范围是( )
A．[－e，＋∞) C．[－2，＋∞)
B．[－ln 2，＋∞) D.－12，0
解析：选 C 如图所示，在同一坐标系中画出 y＝x2＋1，y＝2x，y＝x2＋32的图象，
由图象可知，在[0,1]上，x2＋1≤2x＜x2＋32恒成立，即 1≤2x－x2＜32，当且仅当 x＝0
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3 或 x＝1 时等号成立，∴1≤g(x)＜2，∴f(g(x))≥0⇒f(1)≥0⇒－1＋3＋a≥0⇒a≥－2， 即实数 a 的取值范围是[－2，＋∞)，故选 C.
9．定义：如果在函数 y＝f(x)定义域内的给定区间[a，b]上存在 x0(a＜x0＜b)，满 f(b)－f(a)
足 f(x0)＝ b－a ，则称函数 y＝f(x)是[a，b]上的“平均值函数”，x0 是它的一个均 值点，如 y＝x4 是[－1,1]上的平均值函数，0 就是它的均值点．现有函数 f(x)＝－x2＋ mx＋1 是[－1,1]上的平均值函数，则实数 m 的取值范围是________．
2－x2
2－x2 2
上有解，即 y＝a 与 y＝ x 的图象有交点，又因为 y＝ x ＝x－x 在[1,5]上是减函数，
所以其值域为－253，1，故选 C.
(三)难点专练——适情自主选 8．函数 f(x)＝－x2＋3x＋a，g(x)＝2x－x2，若 f(g(x))≥0 对 x∈[0,1]恒成立，则实
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A．(－2,1)
B．(0,3)
C．(－1,2]
D．(－∞，0)∪(3，＋∞)
解析：选 B 根据 f(x)的图象可得 f(x)>0 的解集为{x|－1＜x＜2}，而 f(x－1)的图
象是由 f(x)的图象向右平移一个单位得到的，故 f(x－1)>0 的解集为(0,3)．故选 B.
4．若
a＝12
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2．已知幂函数 f(x)＝(n2＋2n－2)·x n2-3n (n∈Z)的图象关于 y 轴对称，且在(0，＋∞)
上是减函数，则 n 的值为( )
A．－3
B．1
C．2
D．1 或 2
解析：选 B 由于 f(x)为幂函数，所以 n2＋2n－2＝1，解得 n＝1 或 n＝－3，当 n ＝1 时，函数 f(x)＝x－2 为偶函数，其图象关于 y 轴对称，且 f(x)在(0，＋∞)上是减函
2 3
，b＝15
2 3
，c＝12
1 3
，则
a，b，c
的大小关系是(
)
A．a＜b＜c
B．c＜a＜b
C．b＜c＜a
D．b＜a＜c
解析：选 D
2
∵y＝x 3
(x>0)是增函数，∴a＝12
2 3
>b＝15
2 3
.∵y＝12x
是减函数，
∴a＝12
2 3
＜c＝12
1 3
，∴b＜a＜c.
5．已知函数 f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)，且 2 是 f(x)的一个零点，－1 是 f(x)的一个
(2)由题可知，f(x)＝x2＋bx，原命题等价于－1≤x2＋bx≤1 在(0,1]上恒成立，
1
1
即 b≤x－x 且 b≥－x－x 在(0,1]上恒成立．
1
1
又x－x 的最小值为 0，－x－x 的最大值为－2，
∴－2≤b≤0，故 b 的取值范围是[－2,0]．
二、专项培优练
(一)易错专练——不丢怨枉分 1．已知函数 f(x)＝x2＋x＋c，若 f(0)>0，f(p)＜0，则必有( )
上恒成立，
1－2(a－2)＋a≥0， 所以25－10(a－2)＋a≥0，
1＜a－2＜5，
解得 3＜a≤5，
又 a＜1 或 a>4，所以 4＜a≤5.
综上，a 的取值范围是(1,5]．
答案：(1,5]
(二)技法专练——活用快得分 6．[更换主元法]对于任意 a∈[－1,1]，函数 f(x)＝x2＋(a－4)x＋4－2a 的值总大于
数，所以 n＝1 满足题意；当 n＝－3 时，函数 f(x)＝x18 为偶函数，其图象关于 y 轴对
称，而 f(x)在(0，＋∞)上是增函数，所以 n＝－3 不满足题意，舍去．故选 B. 3．已知在(－∞，1]上递减的函数 f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的 x1，x2∈[0，t＋
1]，总有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数 t 的取值范围为( )
由函数 f(x)的值域为[－1，＋∞)，可得 h＝－1，a>0， h
根据根与系数的关系可得 x1＋x2＝－2，x1x2＝1＋a，
∴|x1－x2|＝ (x1＋x2)2－4x1x2＝ 解得 a＝1，∴f(x)＝x2＋2x.
4h － a ＝2，
(2)由题意得函数 g(x)在区间[－1,2]上单调递增， 又 g(x)＝f(x)－kx＝x2－(k－2)x.
0，则 x 的取值范围是( )
A．(1,3)
B．(－∞，1)∪(3，＋∞)
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C．(1,2)
D．(－∞，1)∪(2，＋∞)
解析：选 B 原题可转化为关于 a 的一次函数 y＝a(x－2)＋x2－4x＋4>0 在[－1,1]
上恒成立，
(－1)(x－2)＋x2－4x＋4>0， 只需1×(x－2)＋x2－4x＋4>0
⇒xx>>32或 或xx＜ ＜21，
⇒x＜1 或 x>3.故选 B.
7．[分离参数法]方程 x2＋ax－2＝0 在区间[1,5]上有解，则实数 a 的取值范围为
()
A.－253，＋∞
B．(1，＋∞)
C.－253，1
D.－∞，－253
解析：选 C
方程
x2＋ax－2＝0
在区间[1,5]上有解转化为方程
2－x2 a＝ x 在区间[1,5]
A．f(p＋1)>0
B．f(p＋1)＜0
C．f(p＋1)＝0
D．f(p＋1)的符号不能确定
1 解析：选 A 由题意知，f(0)＝c>0，函数图象的对称轴为直线 x＝－2，则 f(－1)
＝f(0)>0，设 f(x)＝0 的两根分别为 x1，x2(x1＜x2)，则－1＜x1＜x2＜0，根据图象知，
x1＜p＜x2，故 p＋1>0，则 f(p＋1)>0.
＝0 的两个实根 x1，x2 满足|x1－x2|＝2. (1)求 f(x)的表达式；
(2)函数 g(x)＝f(x)－kx 在区间[－1,2]上的最大值为 f(2)，最小值为 f(－1)，求实数
k 的Hale Waihona Puke Baidu值范围．
解：(1)由 f(－1＋x)＝f(－1－x)，可得 f(x)的图象关于直线 x＝－1 对称， 设 f(x)＝a(x＋1)2＋h＝ax2＋2ax＋a＋h(a≠0)，
A．[－ 2， 2]
B．[1， 2]
C．[2,3]
D．[1,2]
解析：选 B 由于函数 f(x)＝x2－2tx＋1 的图象的对称轴为 x＝t，
函数 f(x)＝x2－2tx＋1 在区间(－∞，1]上单调递减，
所以 t≥1.
则在区间[0，t＋1]上，0 距对称轴 x＝t 最远，故要使对任意的 x1，x2∈[0，t＋1]， 都有|f(x1)－f(x2)|≤2，
从图象观察可知 0≤a≤4.
答案：[0,4] 8．若函数 f(x)＝x2－2x＋1 在区间[a，a＋2]上的最小值为 4，则实数 a 的取值集 合为________． 解析：∵函数 f(x)＝x2－2x＋1＝(x－1)2 的图象的对称轴为直线 x＝1，且 f(x)在区 间[a，a＋2]上的最小值为 4， ∴当 a≥1 时，f(a)＝(a－1)2＝4，
∵f(x)＝x3 是定义在 R 上的增函数，
又－12＜0＜13
1 2
＜130＝1＜ln
π，
∴c＜a＜b.
7．已知二次函数 f(x)满足 f(2＋x)＝f(2－x)，且 f(x)在[0,2]上是增函数，若 f(a)≥f(0)，
则实数 a 的取值范围是________．
解析：由题意可知函数 f(x)的图象开口向下，对称轴为 x＝2(如图)，若 f(a)≥f(0)，
F(－2)的值；
(2)若 a＝1，c＝0，且|f(x)|≤1 在区间(0,1]上恒成立，试求 b 的取值范围． b
解：(1)由已知 c＝1，a－b＋c＝0，且－2a＝－1，
解得 a＝1，b＝2，
∴f(x)＝(x＋1)2，∴F(x)＝(－x＋(x＋ 1)21，)2， x>x0＜，0.
∴F(2)＋F(－2)＝(2＋1)2－(－2＋1)2＝8.