非正弦周期电流电路

2
3
4
Chapter 7 7-2 有效值、平均功率
一、有效值： 定义：
I 1 T i2dt
T0
i2 [I0 (Ikm cos(kt k )]2 [I0 i1 i2 ]2
k 1
分析：i2结果分三部分：①
I
2 0
i12
i22
ik2
② 2I0i1 2I0i2 2I0ik
教学重点和难点： 重点：有效值和平均功率的计算公式。 难点：对各种信号傅氏级数展开公式的应用。
Chapter 7
实际中常见到非正弦周期电流电路，分两类： 1．激励为非正弦周期电压或电流的电路。如：数字电
子电路、控制电路、计算机电路和发电机发出电压等。 2．激励为多频率信号电路。如：收音机的接收电路等。
Chapter 7
第七章 非正弦周期电流电路
Chapter 7
教学目的： 1.理解将周期函数分解为傅立叶级数的公式和方法。 2.掌握傅氏级数展开时的特点。 3.能熟练应用非正弦周期信号的有效值和平均功率的公
式进行计算。
教学内容概述： 本讲介绍了非正弦周期信号的傅氏级数展开法，并推导
出有效值和平均功率的计算公式。
工程上根据精度要求，取有限项进行计算，一般取3～5 项。
2．A0为f(t)在一个周期T内的平均值，所以在一个周期内 正面积=负面积时，A0=0，反之A0≠0 。
Chapter 7
3． f (t) f (t) 偶函数时，即波形对称于纵轴，则 bk 0,
傅氏级数中只含直流分量和余弦项。
ak
2
0
③ 2i1i2 2i2i3 2ikiq
kq
Chapter 7
对于①
1
T
T 0
I02dt
I
2 0
1
T
T 0
I
2 km
cos2 (kt
k
)dt
I
2 k
对于②
1
T
T 0
2I 0 I km
cos(kt
k
)dt
0
对于③
1
T
T 0
2Ikm Iqm
cos(kt
k
)
cos(qt
q
)dt
0
（由三角函数的正交性可得）
镜像对称，将
f(t)
波形移动半个周期后，
与原波形对称于横轴。则 a0 a2 a4 0,
b2 b4 b6 0, 傅氏级数中只含有奇次谐波。
f (t)
bk
2
0
f (t) sin ktd(t)
o T/2 T
t
Chapter 7
6．
f
(t)
f
(t
)
2
时，将f(t)波形移动半个周期后，与原
t
Chapter 7
bk
1
t
sin ktd(t)
1
2
1 [k2
sin kt
t
c os kt ]
2 [sin k k cosk ] 2
(k )2
k
（其中k 为奇数时为+，偶数时为－）
f (t) 2 (sint 1 sin 2t 1 sin 3t 1 sin 4t )
波形 完全一致。则 a1 a3 a5 0, b1 b3 b5 0,
傅氏级数中只含直流分量和偶次谐波分量。
f (t)
o T/2 T
t
Chapter 7
例7-1 求图示正弦周期函数的傅里叶级数 。 f (t)
1
0
t
-1
解： f (t) 为奇函数， a0 ak 0
f (t ) t
名词介绍：
A0 ～ 直流分量 ～ 基波频率
Akm cos(kt k ) ～ 谐波
k 1
k=1时称 A1m cos(t 1) ～ 一次谐波（基波）
k=2,3,···时称 A2m cos(t 2 ) A3m cos(t 3 ) …
分别为二次、三次、…谐波
k 0 Akm cos(kt k ) ～高次谐波
2
f
(t) cosktdt
2
1 2 f (t) cosktd(t) 1 f (t) cosktd(t)
0
bk
2 T
T 0
f
(t) sin ktdt
2 T
2
f
(t)sin ktdt
2
1 2 f (t) sin ktd(t) 1 f (t) sin ktd(t)
0
k 1,2,
非正弦周期函数展开为傅氏级数的方法有: ①计算法；
②查表法。
Chapter 7 表7－1几种典型周期函数的傅立叶级数
Chapter 7 表7－1几种典型周期函数的傅立叶级数
Chapter 7 表7－1几种典型周期函数的傅立叶级数
Chapter 7
二、傅氏级数展开时的一些特点：
1．因为级数收敛，所以 k Akm , k , Akm 0
① f (t) a0 (ak cos kt bk sin kt) k 1
其中a0、ak、bk为傅立叶级数的系数，它们的计算公式如下：
Chapter 7
T
a0
1 T
T 0
f
(t)dt
1 T
2 T
f
(t)dt
1
2
2 0
f
(t)d(t)
ak
2 T
T 0
f
2
(t) cosktdt
2 T
f
(t) cosktd(t)
u1(t )
Um
（含a0)
0
2
t(s)
Chapter 7
4．f (t) f (t) 奇函数时，波形对称于原点，则 a0 ak 0,
傅氏级数中只含正弦项。
bk
2
0
f (t) sin ktd(t)
f (t)
Fm
0
t
- Fm
Chapter 7
5．f (t)
f (t ) 2
本章介绍在线性电路中非正弦周期信号激励下的电路响 应分析。此分析方法分为两步：
1．将非正弦周期信号展开为傅氏级数（谐波分析）； 2．利用线性电路的叠加性求响应。
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7-1 谐波分析法
一、周期函数展开（分解）为傅氏级数
任一周期函数 f t f t kT k 1,2, ，若满足狄
里赫利条件，都可以展开为一个收敛级数。形式为：
kq
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结论： I
I
2 0
I12
I
2 2
同理： U
U
2 0
U12
U
2 2
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二、平均功率
定义： P 1 T pdt T0
p ui
u U0 (Ukm cos(kt uk ) U0 u1 u2 k 1
i I0 Ikm cos(kt ik ) I0 i1 i2 k 1
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② f (t) A0 Akm cos(kt k ) k 1
其中：A0 a0 Akm ak2 bk2
k
tg 1
bk ak
而
ak Akm cos k
bk Akm sin k
以上各量关系可用一直角三角形的边角关系表示，如图示。
- bk
k
a
2 k
bk2
ak
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