大学物理B层次--第七章-变化的电磁场和电磁波
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电磁感应现象的发现,不仅深刻地揭示了电和磁 之间的内在联系,进一步推动了电磁理论的发展,而且 在生产技术上具有划时代的意义。根据电磁感应原 理,人们设计了发电机、感应电动机和变压器等电力 设备,为现代大规模生产、传输和使用电能开辟了道 路,
2
§7-1 电磁感应的基本定律
首先介绍几种简单的电磁感应现象。
AB=a,BC=b。若线圈以垂直于导线方向的速度向右
平移,当B点与长直导线的距离为x时,求线圈ABC中的
感应电动势。
解
先求磁通：m
Ii
Ii
I(t)
Ii
共同点：当一个闭合回路面积上的磁通量发生变化 时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。
下面我们来研究感应电流方向和大小。
3
1.楞次定律
闭合导体回路中感应电流的方向,总是企图使它自 身产生的通过回路面积的磁通量,去反抗引起感应电流 的磁通量的改变。这一结论叫做楞次定律。
bcd)中的电动势就是导线
ob
d o´
bcd中电动势的。
m=BScos ( t+o)
B 1 3 a a cost , n 2 n
22
60 30
i
dm
dt
1 120
3na2B sin( n t )
30
13
(3)面积为S的平面单匝线圈,以角速度 在磁场
B=Bosin t k (Bo 和为常量)中作匀速转动。转轴在
i
wenku.baidu.com
dm
dt
(1)m 是通过回路面积的磁通量；
“-”的意义：负号是楞次定律的数学表示。
(2)用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
Bds cos
s
对匀强磁场中的平面线圈：m BS cos
(ii)求导： i
dm
dt
6
i
dm
dt
用楞次定律或如下符号法则判定感应电动势的方向:
11
例题7-3 一面积为S、匝数为N的平面线圈，以角 速度在匀强磁场 B中匀速转动; 转轴在线圈平面内且 与B垂直。求线圈中的感应电动势。
解 应当注意，对匀速转动的线圈：
m=BScos =BScos ( t+o) 式中o为t=0时磁场B与线圈法线方向的夹角。
(1)一矩形线圈(a×b)在匀强磁
场中转动，t=0时如图10-4所示。
由于i >0, i 的方向与原磁场的正方向组成右手螺
旋关系,即顺时针方向。 也可由楞次定律确定方向：
因t=0.01s时，函数sin100t是减小的，所以通过 线圈面积上的磁通量m也是减小的。由楞次定律可知，
此时圆线圈内感应电动势的方向应是顺时针的。
10
例题7-2 一长直螺线管横截面的半径为a, 单位长
线圈平面内且与B垂直，t=0时线圈的法线与k 同向，
求线圈中的感应电动势。
本题中的磁场是匀强磁场吗？ 是！
对转动的线圈：
m=BScos ( t+o)=Bosin t.Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
14
例题7-4 长直导线中通有电流I=Iocos t(Io 和为
常量) 。有一与之共面的三角形线圈ABC,已知
(3)若回路线圈有面积相同的N 匝，则
i
N
dm
dt
Nm称为线圈的磁通链。因此上式的意义是：线
圈中的感应电动势等于该线圈的磁通链对时间的一阶
导数。
8
(4)如果闭合回路的总电阻为R,则回路中的感应电流
Ii
i
R
1 R
dm
dt
(5)设在t1和t2两个时刻,通过回路所围面积的磁通量
分别为1和2, 则在t1→t2这段时间内,通过回路任一截面
反抗的意思是：
B Ii
B Ii
若m增加,感应电流的磁
力线与B反向; 感应电流Ii与 原磁场B的反方向成右手螺 旋关系。
若m减少,感应电流的
磁力线与B同向; 感应电 流Ii与原磁场B的正方向 成右手螺旋关系。
4
企图 感应电流总是企图用它产生的磁通,去反抗原磁通 的改变，但又无法阻止原磁通的变化，因而感应电流 还是不断地产生。
若i >0, 则i 的方向与原磁场的正方向组成右手螺
旋关系；
若i <0, 则i 的方向与原磁场的负方向组成右手螺
旋关系。
例如:
m，
dm
dt
0,
i
dm
dt
0
由符号法则，i 的方向与原磁场
的负方向组成右手螺旋关系。
这显然和由楞次定律的结果一致。
B i
7
应当指出，只要一个回路中的磁通量发生变化，
这个回路中便一定有感应电动势存在，这和回路由什 么材料组成无关。是否有感应电流，那就要看回路是 否闭合。
m=Babcos
(
t
+
2
)
a
i
N
dm
dt
=Bab
sin(
t
+
2
)
=Bab cos t
B b
12
(2)一导线弯成角形(bcd=60º, bc=cd=a)，在匀强
磁场B中绕oo´轴转动，转速每分种n转, t=0时如图所
示，求导线bcd中的i。
我们连接bd组成一个三
c
角形回路bcd。由于bd段不
B
产生电动势，所以回路(
的感应电量为
qi
t2 t1
Iidt
2 1
R1 dm
即
qi
1
2
R
9
例题7-1 一圆线圈有100匝，通过线圈面积上的磁
通量m=8×10-5sin100t(wb), 如图所示。求t=0.01s时
圆线圈内感应电动势的大小和方向。
解
i
N
dm
dt
=-0.8
cos100t
i
代入t=0.01,得
i =0.8=2.51(v)
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
按楞次定律，要想维持回 路中电流，必须有外力不断作
功。这符合能量守恒定律。
如果把楞次定律中的“反抗”改为“助 则不需 外力作长功”，，导线便会自动运动下去，从而不断获得电 能。这显然违背能量守恒定律。
5
2.法拉第电磁感应定律
法拉第从实验中总结出回路中的感应电动势为
度上密绕了n匝线圈，通以电流I=Iocos t(Io、为常 量)。一半径为b、电阻为R的单匝圆形线圈套在螺线
管上，如图所示。求圆线圈中的感应电动势和感应电 流。
解 由m=BScos 得
b
m=µonI·ba2
a
I
B
i
N
dm
dt
ona2Io sin t
Ii
i
R
1 R
ona2Io sin t
如果b<a
,结果怎样？
第三篇 电磁场
Electromagnatic field
第七章
变化的电磁 与电磁波
1
1819年奥斯特通过实验发现了电流的磁效应。 人们自然想到:电流既然能够产生磁场,那么,能 否利用磁效应来产生电流呢?
从1822年起,法拉第就开始对这个问题进行有目 的的实验研究。经过多次的失败, 终于在1831年取得 突破性进展,发现了电磁感应现象及其基本规律。
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§7-1 电磁感应的基本定律
首先介绍几种简单的电磁感应现象。
AB=a,BC=b。若线圈以垂直于导线方向的速度向右
平移,当B点与长直导线的距离为x时,求线圈ABC中的
感应电动势。
解
先求磁通：m
Ii
Ii
I(t)
Ii
共同点：当一个闭合回路面积上的磁通量发生变化 时，回路中便产生感应电流。这就是电磁感应现象。
下面我们来研究感应电流方向和大小。
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1.楞次定律
闭合导体回路中感应电流的方向,总是企图使它自 身产生的通过回路面积的磁通量,去反抗引起感应电流 的磁通量的改变。这一结论叫做楞次定律。
bcd)中的电动势就是导线
ob
d o´
bcd中电动势的。
m=BScos ( t+o)
B 1 3 a a cost , n 2 n
22
60 30
i
dm
dt
1 120
3na2B sin( n t )
30
13
(3)面积为S的平面单匝线圈,以角速度 在磁场
B=Bosin t k (Bo 和为常量)中作匀速转动。转轴在
i
wenku.baidu.com
dm
dt
(1)m 是通过回路面积的磁通量；
“-”的意义：负号是楞次定律的数学表示。
(2)用法拉第电磁感应定律解题的步骤如下：
(i)首先求出回路面积上的磁通量(取正值)：
m
Bds cos
s
对匀强磁场中的平面线圈：m BS cos
(ii)求导： i
dm
dt
6
i
dm
dt
用楞次定律或如下符号法则判定感应电动势的方向:
11
例题7-3 一面积为S、匝数为N的平面线圈，以角 速度在匀强磁场 B中匀速转动; 转轴在线圈平面内且 与B垂直。求线圈中的感应电动势。
解 应当注意，对匀速转动的线圈：
m=BScos =BScos ( t+o) 式中o为t=0时磁场B与线圈法线方向的夹角。
(1)一矩形线圈(a×b)在匀强磁
场中转动，t=0时如图10-4所示。
由于i >0, i 的方向与原磁场的正方向组成右手螺
旋关系,即顺时针方向。 也可由楞次定律确定方向：
因t=0.01s时，函数sin100t是减小的，所以通过 线圈面积上的磁通量m也是减小的。由楞次定律可知，
此时圆线圈内感应电动势的方向应是顺时针的。
10
例题7-2 一长直螺线管横截面的半径为a, 单位长
线圈平面内且与B垂直，t=0时线圈的法线与k 同向，
求线圈中的感应电动势。
本题中的磁场是匀强磁场吗？ 是！
对转动的线圈：
m=BScos ( t+o)=Bosin t.Scos t
i
dm
dt
= -BoS cos2 t
14
例题7-4 长直导线中通有电流I=Iocos t(Io 和为
常量) 。有一与之共面的三角形线圈ABC,已知
(3)若回路线圈有面积相同的N 匝，则
i
N
dm
dt
Nm称为线圈的磁通链。因此上式的意义是：线
圈中的感应电动势等于该线圈的磁通链对时间的一阶
导数。
8
(4)如果闭合回路的总电阻为R,则回路中的感应电流
Ii
i
R
1 R
dm
dt
(5)设在t1和t2两个时刻,通过回路所围面积的磁通量
分别为1和2, 则在t1→t2这段时间内,通过回路任一截面
反抗的意思是：
B Ii
B Ii
若m增加,感应电流的磁
力线与B反向; 感应电流Ii与 原磁场B的反方向成右手螺 旋关系。
若m减少,感应电流的
磁力线与B同向; 感应电 流Ii与原磁场B的正方向 成右手螺旋关系。
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企图 感应电流总是企图用它产生的磁通,去反抗原磁通 的改变，但又无法阻止原磁通的变化，因而感应电流 还是不断地产生。
若i >0, 则i 的方向与原磁场的正方向组成右手螺
旋关系；
若i <0, 则i 的方向与原磁场的负方向组成右手螺
旋关系。
例如:
m，
dm
dt
0,
i
dm
dt
0
由符号法则，i 的方向与原磁场
的负方向组成右手螺旋关系。
这显然和由楞次定律的结果一致。
B i
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应当指出，只要一个回路中的磁通量发生变化，
这个回路中便一定有感应电动势存在，这和回路由什 么材料组成无关。是否有感应电流，那就要看回路是 否闭合。
m=Babcos
(
t
+
2
)
a
i
N
dm
dt
=Bab
sin(
t
+
2
)
=Bab cos t
B b
12
(2)一导线弯成角形(bcd=60º, bc=cd=a)，在匀强
磁场B中绕oo´轴转动，转速每分种n转, t=0时如图所
示，求导线bcd中的i。
我们连接bd组成一个三
c
角形回路bcd。由于bd段不
B
产生电动势，所以回路(
的感应电量为
qi
t2 t1
Iidt
2 1
R1 dm
即
qi
1
2
R
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例题7-1 一圆线圈有100匝，通过线圈面积上的磁
通量m=8×10-5sin100t(wb), 如图所示。求t=0.01s时
圆线圈内感应电动势的大小和方向。
解
i
N
dm
dt
=-0.8
cos100t
i
代入t=0.01,得
i =0.8=2.51(v)
楞次定律是能量守恒定律的必然结果。
按楞次定律，要想维持回 路中电流，必须有外力不断作
功。这符合能量守恒定律。
如果把楞次定律中的“反抗”改为“助 则不需 外力作长功”，，导线便会自动运动下去，从而不断获得电 能。这显然违背能量守恒定律。
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2.法拉第电磁感应定律
法拉第从实验中总结出回路中的感应电动势为
度上密绕了n匝线圈，通以电流I=Iocos t(Io、为常 量)。一半径为b、电阻为R的单匝圆形线圈套在螺线
管上，如图所示。求圆线圈中的感应电动势和感应电 流。
解 由m=BScos 得
b
m=µonI·ba2
a
I
B
i
N
dm
dt
ona2Io sin t
Ii
i
R
1 R
ona2Io sin t
如果b<a
,结果怎样？
第三篇 电磁场
Electromagnatic field
第七章
变化的电磁 与电磁波
1
1819年奥斯特通过实验发现了电流的磁效应。 人们自然想到:电流既然能够产生磁场,那么,能 否利用磁效应来产生电流呢?
从1822年起,法拉第就开始对这个问题进行有目 的的实验研究。经过多次的失败, 终于在1831年取得 突破性进展,发现了电磁感应现象及其基本规律。