波利亚数学教育三部曲

实在不行：回到定义去！
盯住目标！
如有必要：画一张图
引进适当的符号
统称为： “理解题意”的提示语 以上是用“理解题意”的提示语解高考题的一
些实例。研究发现，“理解题意”的提示语可以帮 助解题者弄清问题中的各个元素，从目标入手，找 到已知量、未知量之间的联系，逐步深入问题的核 心，从而解决数学问题.
2. 学体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（ 如：将残缺的图形补全——充分把握整体与局部 的关系）
3. 学表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力 （要求构图合理、表达清晰且符合逻辑、运算结 果准确等）
4. 尝试一题多解，培养思维的灵活性
四、真题回放之三（2015全国新 课标II卷20题）
提醒注意：线面角的正弦值是直线的方 向向量和平面法向量所成角余弦的绝对值。
请同学们自己动手去试一试。
三、真题回放之二（2017年理科 III卷第17题）
1. 命题背景： D为中点（若隐若现）、完整 图形的故意残缺、一题多解
2. 命题立意： （1）知识点：正弦定理、余弦定理、勾股定理、特殊
二面角的余弦、余弦定理、勾股定理、角的余弦的定 义、三角形面积、等积法（面积、体积）、三角形全 等、建立空间直角坐标系、平面的法向量、利用平面 的法向量求二面角的平面角……
（2）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想 （3）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力
这一道题学生怎么解？以后怎么学？
何为理解题意？
第一步，要搞清楚几个基本问题： ①条件是什么？ ②结论是什么？ ③隐含条件是什么？
如何算是真正理解题意？重新把问题写下来！
第二步，要理解题目中的每一个对象，多问问：
①它是什么？ ②它有什么性质？ ③它能如何表示？ ④它还能如何表示？
理解了题目中的所有的“它”，弄清了每一个 “它”的性质，并找出这些所有的“它”之间的相互 关系，就理解了问题，走出成功解决问题的第一步.
五、真题回放之四（2017年理科 III卷第19题）
在解这个题目的过 程中，你发现了什么？
集中已知条件！！！
1. 命题背景： E为中点（从体积反推——高维转化为低维） 反复利用中点以及对称性 对图形的整体识别与精细分析 一题多解一题多变
2. 命题立意： （1）知识点：二面角、直二面角、二面角的平面角、
wenku.baidu.com范.德.瓦尔登说：“每个大学生，每个学者，特别是 每个老师都应该读读这本引人入胜的书”（1952）
波利亚的怎样解题表 弄清问题（表征）
拟定计划（模式识别、引入辅助问题） 实现计划
回顾（反思、优化、拓展）
“怎样解题”表的精髓——启发联想
联想什么？ 怎样联想？ 通过一连串建议性或启发性问题来加以回答.
这是一个所谓的压轴题，难题怎么得分？ 从理解题意入手，再难的题目都有能得分的“点”，突 破一点，带动全面。 能得几分算几分？就算是块硬骨头，也要尝到点肉味！
大家说说看有多少个元素？
结束语： 在理解题意的过程中，我们反复提到一些话——
未知量是什么？已知数据是什么？条件是什么？ 它是什么？它有什么性质？它能如何表示？它还 能如何表示？ 你以前见过它吗？有什么方法可以利用？
角的三角函数值、角的正弦（余弦、正切的定义）、 辅助角公式、两角和的正弦（余弦）公式、三角形面 积公式、方程思想、三角形中位线、平行四边形的有 关性质
（2）数学思想：数形结合思想、化归思想、方程思想 （3）核心素养：逻辑推理、直观想象、运算能力、数
学建模
这一道题学生怎么解？以后怎么学？
1. 学思考，充分发展逻辑推理与合情推理能力（如先 猜中点再证明之）
先放松一下：玩玩2016
题外话
高考试卷（理科II卷）的难易结构
一、波利亚的生平及贡献
G . Polya (1887-1985)
乔治·波利亚（George Polya,1887~1985）美籍匈牙利数学 家。波利亚是法国科学院、美国全国 科学院和匈牙利科学院的院士。
1887年出生在匈牙利，青年时期 曾在布达佩斯、维也纳、哥廷根，巴 黎等地攻读数学、物理和哲学，获博 士学位。1914年在苏黎世著名的瑞士 联邦理工学院任教。
1940年移居美国； 1942年起任美国斯坦福大学教授； 他对实变函数、复变函数、组合论、概率论、 数论，几何等若干分支领域都做出了开创性的贡献 ，一些术语和定理都以他的名字命名。 由于他在数学教育方面所取得的成就和对世界 数学教育所产生的影响，在他93岁高龄时，被 ICME（国际数学教育大会）聘为名誉主席。
波利亚数学教育三部曲
1.G.Polya著,涂泓等译.怎样解题(1944).上海科技出版 社,2002,6
2.G.Polya著,刘景麟等译.数学的发现(1954).科学出版 社,2006,7
3.G.Polya著,李心灿等译.数学与猜想(1961).科学出版 社,2001,7
其中，《怎样解题》一书被译成17种文字，仅平装本 就销售了100万册以上。
第三步，要展开联想：
①你以前见过它吗？（见过类似的条件、结 论、问题……） ②（如果找到点线索）看看有什么方法可以 利用？
最后，实在没招，还可以： ➢盯住目标 ➢回到定义去
直至找到条件和结论间的联系！
二、真题回放之一（2015全国新 课标II卷19题）
（I）如图所示：
（II）如图所示：
此题带有明显的“空间直角坐标系”的 痕迹，当然也可以用向量法来做。
波利亚认为，“万能方法”是不存在的，但是 “各种各样的规则还是有的，诸如行为准则 、格言、指南等等，这些都还是有用的。
怎样解题的最重要一步——理解题意！！！
为什么要理解题意？
不会做题：要么没学懂；要么没读懂题！ 理解题意是解题的最重要的环节 理解了题意，相当于解决了问题的一半 理解了题意，往往能直接找到问题的解法
1. 学思考，努力提高逻辑推理能力，充分利用已有的 解题经验
2. 学体验，在对图形的观察中，培养几何直观能力（ 如：对图形的整体识别与精细分析、对称性的把 握与利用）
3. 学表达，学会符号表达、学会作图、提高运算能力 4. 尝试一题多解、一题多变，培养思维的灵活性与发
散性
六、真题回放之五（重庆市2013 年理科第22题）