高一数学 函数的值域教案

湖南师范大学附属中学高一数学教案：函数的值域

教材：函数的值域

目的：要求学生掌握利用二次函数、观察法、换元法、判别式法求函数的值域。 过程：

一、复习函数的近代定义、定义域的概念及其求法。

提出课题：函数的值域

二、新授：

1．直接法（观察法）：

例一、求下列函数的值域：1︒ 1

+=

x x y 2︒ x x f -+=15)( 解：1︒ 1111111+-=+-+=+=x x x x x y ∵01

1≠+x ∴1≠y 即函数1+=x x y 的值域是 { y | y ∈R 且y ≠1} （此法亦称部分分式法）

2︒ x x f -+=15)( ∵),0[1+∞∈-x ∴),5[)(+∞∈x f 即函数y =x x f -+=15)(的值域是 { y | y ≥5}

2．二次函数法：

例二、1︒若x 为实数，求 y =x 2+2x +3的值域

解：由题设 x ≥0 y =x 2+2x +3=(x +1)2+2

当 x =0 时 y min =3 函数无最大值

∴函数 y =x 2+2x +3的值域是{ y | y ≥3}

2︒求函数 242x x y --=的值域

解：由 4x -x 2

≥0 得 0≤x ≤4

在此区间内 (4x -x 2)ma x =4 (4x -x 2)min =0 ∴函数242x x y --=的值域是{ y | 0≤y ≤2}

3．判别式法（△法） 例三、求函数6

6522-++-=x x x x y 的值域 解一：去分母得 (y -1)x 2

+ (y +5)x -6y -6=0 (*)

当 y ≠1时 ∵x ∈R ∴△=(y +5)2+4(y -1)×6(y +1)≥0

由此得 (5y +1)2≥0 检验 51-=y 时 2)5

6(2551=-⋅+--=x （代入(*)求根）

∵2∉定义域 { x | x ≠2且 x ≠3} ∴5

1-

≠y 再检验 y =1 代入(*)求得 x =2 ∴y ≠1 综上所述，函数6

6522-++-=x x x x y 的值域为 { y | y ≠1且 y ≠51-} 解二：把已知函数化为函数3

6133)3)(2()3)(2(--=+-=+---=x x x x x x x y (x ≠2) 由此可得 y ≠1

∵x =2时 51-=y 即 5

1-≠y ∴函数6

6522-++-=x x x x y 的值域为 { y | y ≠1且 y ≠51-} 4．换元法

例四、求函数x x y -+=142的值域

解：设 x t -=1 则 t ≥0 x =1-t 2

代入得 y =f (t )=2×(1-t 2)+4t =-2t 2+4t +2=-2(t -1)2+4

∵t ≥0 ∴y ≤4

三、小结：

1．直接法：应注意基本初等函数的值域

2．二次函数法：应特别当心“定义域”

3．△法：须检验

4．换元法：注意“新元”的取值范围

四、练习与作业：

《课课练》 P51—54中有关值域部分

《教学与测试》 P41—42中有关值域部分