专转本数学模拟试题与解析三(供参考)
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江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷(三)解析
高等数学
注意事项:
1.考生务必将密封线内的各项填写清楚。
2.考生必须要钢笔或圆珠笔将答案直接写在试卷上,写在草稿纸上无效。
3.本试卷五大题24小题,满分150分,考试时间120分钟。
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内)
1、设函数)(x f 二阶可导,且()0f x '=,()0f x ''>,则0x 为)(x f 的( ) A 、极大值点 B 、极小值点
C 、极小值
D 、拐点横坐标
2、设)2
sin(x y +=π
,则0
)
100(=x y 等于( )
A 、1
B 、-1
C 、0
D 、
2
1 3、连续曲线)(x f y =和直线a x =,b x =)(b a <与x 轴所围成的图形的面积是( ) A 、dx x f b
a ⎰
)( B 、⎰
b
a dx x f )(
C 、
⎰
b
a dx x f )(
D 、
⎰
a
b
dx x f )(
4、与三坐标夹角均相等的一个单位向量为( ) A 、(1,1,1)
B 、(
31,31,3
1
)
C 、(
3
1,
3
1,
3
1)
D 、(31-
,31-,3
1
-) 5、设区域2
2
:14D x y ≤+≤,则D
dxdy =⎰⎰( )
A 、π
B 、2π
C 、3π
D 、4π
6、下列级数收敛的是( ) A 、
∑
∞
=11n n
B 、
∑∞
=-1
)1cos 1(n n n
C 、11
(1)
n n n ∞
=+∑
D 、
∑∞
=+1
2
)11(
n n n
二、填空题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分) 7、极限423lim(
)2x
x x x
+→∞
+=+ 8、函数⎪⎩⎪⎨⎧≥+<=0
,20
,tan 2sin )(x a x x x x x f 若)(x f 在0=x 处连续,则=a
9、积分
()3
b
a
x
f dx '=⎰
10、设向量1=→
a ,2=→
b ,3=+→
→
b a ,则=⋅→
→b a
11、微分方程30y y '''+=的通解是
12、幂级数
n n x n ∑
∞
=+1
1
1的收敛域为
三、解答题(本大题共8小题,每小题8分,满分64分) 13、求极限)214(lim 2
x x x x -+-+∞
→。
14、已知()y y x =由方程(1)2x
xy
x y e xe
e -+=确定,求(0)y '。
15
、求不定积分
3⎰
。
16、设⎩
⎨⎧≤>+=1,1
,12)(x x x x x f ,求⎰-+12)1(dx x f 。
17、设区域D 为圆周ax y x 22
2=+与x 轴在第一象限所围部分,求
⎰⎰D
xydxdy 。
18、已知函数),(xy y x f z +=,其中),(v u f 具有二阶连续偏导数,求y x z
x z ∂∂∂∂∂2,
。 19、将函数()()()
2
213x f x x x =-+展开为x 的幂级数,并指出收敛区间。
20、求经过点)3,2,1(-A ,且垂直于直线6
54:z y x L ==,又与平面010987:=+++z y x π平行的直线方程。
四、综合题(每小题10分,共20分) 21、设曲线x y ln =,
(1)求该曲线过原点的切线;
(2)求由上述切线与曲线及x 轴所围平面图形的面积;
(3)求(2)中平面图形绕x 轴旋转一周所成的旋转体的体积。
22、设函数)(x f 可导,且满足方程0
()()()x
f x x x t f t dt '=+-⎰
,求)(x f 。
五、证明题(每小题9分,共18分) 23、设[]b a x f ,)(在上连续,求证:⎰⎰
-+=b
a
b
a
dx x b a f dx x f )()(,并利用上述结果计算积
分⎰
-+=
11
6)1ln(dx e x I x 。
24、设函数)(x f 在],[b a 上二阶可导,且0)(≠''x f ,0)()(==b f a f 。
证明:(1)任意),(b a x ∈,0)(≠x f ;(2)存在),(b a ∈ξ,使得)()(ξξf f '=。
江苏省2012年普通高校“专转本”统一考试模拟试卷解析(三)
高等数学
一、选择题(本大题共6小题,每小题4分,满分24分. 在每小题给出的四个选项中,只有一项符合题目要求,请把所选项前的字母填在题后的括号内)
1、设函数)(x f 二阶可导,且()0f x '=,()0f x ''>,则0x 为)(x f 的( ) A 、极大值点 B 、极小值点
C 、极小值
D 、拐点横坐标
解析:该题考察函数()f x 极值点、拐点的充分条件,()0f x '=,()0f x ''>,则0x 为)(x f 的极小值点,故本题答案选B (极值判别第二充分条件) 2、设)2
sin(x y +=π
,则0
)
100(=x y 等于( )
A 、1
B 、-1
C 、0
D 、
2
1
解析:该题考察常用函数高阶导数公式,n 阶导数的求法主要有以下几种: (1)归纳与递推法
(2)高阶导数运算法则:莱布尼兹公式
(3)利用函数在一点幂级数展开式的唯一性,1
()n
n n f x a x ∞
==∑,则()0()
!n n f x a n =,由此
解出()
0()n f x 。
因为()
[sin ]
sin()2n n x x π=+
,所以()[sin()]sin()222
n n x x πππ+=++,