11第十一章 曲线积分与曲面积分习题答案

2．计算下列对面积的曲面积分： (1) ，其中为平面在第一卦限的部分； 解：，， (2) ，其中为的部分； 解：，
*(3) ，其中为围成四面体的整个边界. 解：， 其中 ， ， ， 。
第七节 Stokes公式 *环流量与旋度
1．利用斯托克斯公式计算下列曲线积分： (1) ，为面内圆周逆时针方向； 解：取为平面的下侧被围成的部分，D为在面上的投影区域。 由Stokes 公式，得
2．计算下列对坐标的曲线积分： ，其中为曲线上由点到点的一段弧； 解：，， 故积分与路径无关，取经x轴到点的一条路径， 从而 原式=。 *3．设函数具有一阶连续导数，证明对任何光滑封闭曲线，有 . 证明：，记L围成的闭区域为D, 由Green公式，得.
第四节 对面积的曲面积分
1．填空题： (1) 设为球面，则 ； (2) 面密度的光滑曲面的质量 .
(2) ，为平面在第一卦限部分三角形的边界，从轴正向看去是逆时针方 向；
解：取为平面的上侧被围成的部分，的单位法向量。 由Stokes公式，得
第十一章 综合练习题
1．填空题： (1) 已知为椭圆，其周长为，则
12a ； (2)已知为直线上从点到点的直线段，则 1 ； (3)设是以点,,为顶点的三角形正向边界，则 0 ； (4)曲线积分与路径无关，则可微函数应满足条件 ； *(5)设为平面在第一卦限的部分，取上侧，则 0. 2．求下列曲线积分： (1) ，其中为球面被平面所截得的圆周； 解：在的方程中，由于x, y, z循环对称，故，于是 *(2) ，其中是以为圆心，为半径的正向圆周； 解：，。作足够小的椭圆，取顺时针方向，由格林公式，得
近三年考研真题解析
（2013年）1. 解析： 由格林公式： ，在内，因此。 而在在外，因此。 可得。（利用极坐标分别计算出和）
（2012年）2. 解析： 由曲面积分的计算公式可知： ，
其中， 故原式=。 （2011年）3. 解析：由斯托克斯公式得：
（2011年）4. 解析： 设圆为, 圆为，所补的直线为，由格林公式得： 原式
近三年考研真题
（2013年）1. 设 , , , 为四条逆时针方向的平面曲线， 记，则（ ） （A） (B) (C) （D）
（2012年）2. 设，则
（2011年）3. 设L是柱面方程与平面的交线，从z轴正向往z轴负向看去 为逆时针方向，则曲线积分
（2011年）4. 已知L是第一象限中从点（0，0）沿圆周到点（2，0）， 再沿圆周到点（0，2）的曲线段，计算曲线Βιβλιοθήκη Baidu分。
第十一章 曲线积分与曲面积分 第三节 Green公式及其应用
1．利用Green公式，计算下列曲线积分： (1) ，其中为正向圆周； 解：由Green公式，得 ， 其中为。
(2) ，其中为以及为顶点的三角形负向边界； 解：由Green公式，得 。 *(3) ，其中为的上半圆周从点到点及的上半圆周从点到点连成的弧； 解：连直线段AB，使L与围成的区域为D，由Green公式，得 *(4) ，其中为正向圆周. 解：因为，。作足够小的圆周:,取逆时针方向，记与围成的闭区域为， 由Green公式，得，故
。 所以 *3．在过点和的曲线族中，求一条曲线，使该曲线从到积分的值最小. 解：令，则 。 所以 所以得驻点。又，故 在取得最小值，从而为。 *4．设曲线积分与路径无关, 其中具有连续的导数, 且,计算. 解：，，由于积分与路径无关， 所以，即，从而。 由，知，所以。 于是
。 5． 计算下列曲面积分： (1) ，其中为圆柱面介于与之间的部分； 解：在的方程中，由于x与y循环对称，故，于是 *(2) ，其中为下半球面的上侧； 解：设平面，取下侧。 和围成的下半球体为。由格林公式得：