第24讲 , 平面图形的面积

第24讲平面图形的面积

【探究必备】

日常生活中我们经常计算各种图形的面积。以前我们学习过长方形和正方形面积的计算，对于平行四边形、三角形和梯形我们可以用转化的方法把它们分别转化成已经学过的图形，从而推导出它们的面积公式。

计算平行四边形和三角形的面积时，关键是要找准底和高，计算它们的面积时底和高必须对应，即用于计算面积的底和高是互相垂直的。

三角形、梯形与平行四边形的关系：

1. 两个完全相同的三角形或梯形可以拼成一个平行四边形。

2. 三角形或梯形的面积等于与它等底等高平行四边形面积的一半，平行四边形的面积等于与它等底等高的三角形或梯形面积的2倍。

3. 面积相等、高相等的三角形的底是平行四边形的2倍；面积相等、底相等的三角形的高是平行四边形高的2倍。

组合图形是由两个或两个以上的简单平面图形，通过拼合、重叠或位移变换后，组合成的较复杂的图形。正确求出组合图形的面积要注意以下几点：

1. 切实掌握有关简单图形的概念、公式、牢固建立空间观念。

2. 仔细观察，认真思考，看清组合图形由哪些基本图形组合而成的。

3. 常用的解题方法有分解法和割补法。对于较复杂的组合图形，还要用到图形转换，把其中一部分图形进行平移、翻折、旋转、对称变换，使问题化难为易。常需要画出辅助线，标出图形各部分之间的关系。

【王牌例题】

例1、一个平行四边形的底是9分米，高是底的2倍，它的面积是多少平方分米？

分析与解答：平行四边形的面积=底×高，要求平行四边形的面积关键

是先求出平行四边形的高，因为高是底的2倍，所以它的高为

9×2=18（分米），故它的面积是9×18=162（平方分米）。

例2、一个平行四边形的停车场，底是63米，高是25米。平均每辆车占地15平方米，这个停车场可以停车多少辆？

分析与解答：这是一道关于平行四边形面积的应用问题。要求这个停车场可以停车多少辆，由于平均每辆车占地15平方米，首先应求出这个停车场有多少平方米，也就是求它的面积，即它的面积为

63×25=1575（平方米），由于由于平均每辆车占地15平方米，因此这个停车场可以停车1575÷15=105（辆）。

例3、一个平行四边形的草坪中间有一条石子路（如图所示），如果铺1平方米的草坪需要12元，铺这块草坪大约需要多少元？

1米

分析与解答：要求铺这块草坪大约需要多少元，

如果铺1平方米的草坪需要12元，首先要求

20米

9米

这块草坪有多少平方米，也就是先求这块草坪

的面积，因为这块草坪是一个近似的平行四边

形，用平移法把两块推成一块，那么它的长

是20-1=19（米），高是9米，因此这块草坡有19×9=171（平方米），故铺这块草坪大约需要12×171=2052（元）。

例4、一个等边三角形的周长是15厘米，高是3.5厘米，它的面积是多少平方厘米？

分析与解答：由三角形的面积计算公式可知，要求它的面积，先应求出这个三角形的长，因为它是一个等边三角形，其周长是15厘米，所以其边长为15÷3=5（厘米），那么它的面积是5×3.5÷2=8.75（平方厘米）。

例5、三角形一条边长是4.5分米，这条边上的高是8.6分米；另一条边长是3分米，则这条边上的高是多少分米？

分析与解答：在计算三角形面积时，要注意底和高的对应，也就是说三

角形的底和高相互垂直，通过三角形一条边长是4.5分米，这条边上的高是8.6分米，可以算出这个三角形的面积，即它的面积是

4.5×8.6÷2=19.35（平方厘米），再根据另一条边长是3分米，求出这条边上的高，则这条边上的高是19.35×2÷3=12.9（分米）。

例6、医院用长64分米、宽16分米的长方形白布做直角边都是8分米的三角巾，一共可以做多少块这样的三角巾？

分析与解答：因为两个直角边都是8厘米是三角形可以拼成一个边长为8厘米的正方形，因此长边可以做64÷8=8（块），宽边可以做

16÷8=2（块），那么这块白布可以做边长为8厘米的正方形

8×2=16（块），因此可以做直角边都是8厘米的三角巾

16×2=32（块）；这道题还可以这样做，这块长方形的白布里面含有多少个直角边都是8厘米的三角巾，即分别先算出它们的面积，即白布的面积为64×16=1024（平方厘米），三角巾的面积为8×8÷2=32（平方厘米），则可以做1024÷32=32（块）。

注意：当长方形的长和宽不是三角形边长的整数倍时，不能用长方形面积除以三角形面积，只能按边分别计算。

例7、一块梯形的玉米田，上底是46米，下底比上底多8米，高是40米，它的面积是多少平方米？

分析与解答：求梯形的面积必须知道梯形的上底、下底和高。题目中上底和高已经知道，所以首先要求出这个梯形的下底，因为下底比上底多8米，所以下底是46+8=54（米），故它的面积是

（46+54）×40÷2=200（平方米）。

例8、一块辣椒地的形状是梯形。它的上底是9米，下底是12米，高是18米。如果每棵辣椒占地9平方米，这块地里一共有辣椒多少棵？

分析与解答：要求这块地里一共有辣椒多少棵，由于每棵辣椒占地9平方米，先应求出这块地有多少平方米，也就是说求它的面积，即这块地有（9+12）×18÷2=189（平方米），那么这块地里一共有辣椒

189÷9=21（棵）。

例9、一个梯形的面积是72平方厘米，它的上底是4厘米，下底是12厘米，这个梯形的高是多少厘米？

分析与解答：这道题可以把梯形转化成平行四边形来间接的求出梯形的高。先用两个完全一样的梯形拼成一个平行四边形，它的面积是

72×2=144（平方厘米），这个平行四边形的底是梯形的上底加下底，底是4+12=16（厘米），梯形的高等于平行四边形的高，即高是

144÷16=9（厘米），也就是说这个梯形的高是9厘米。

例10、向阳小学校园里有一块草坪（如下图）。它的面积是多少平方米？

50米

分析与解答：这个题目是求组合图形的面积，

20米

可以把这个图形分解成一个长方形和三角形

40米

60米

（如右图），先分别求出长方形和梯形的面积，

再将它们加起来就是这个组合图形的面积，长

方形的长是50米，宽是40米它的面积是50×40=2000（平方米），三角形

的底是60-50=10（厘米），高是40-20=20（厘米），三角形的面积为10×20÷2=100（平方米），因此这块草坪的面积是2000+100=2100（平方米）。这题还可以分成一个长方形，和一个梯形，先分别计算出它们的面积，再把它们的面积相加就是这块草坪的面积，这个长方形的长是50米，宽是20米，它面积为50×20=1000（平方米），这个梯形的上底是50米，下底是60，高是40-20=20（米），它的面积为

（50+60）×20÷2=1100（平方米），故这块草坪的面积为

1000+1100=2100（平方米）。

例11、如图，长方形的长是8厘米，宽是5厘米，DE是2厘米，CF是1.5厘米，求阴影三角形的面积。

E

F