近世代数自考2002上

二○○二年上半年广东省高等教育自学考试

近世代数(B)试卷

(考试时间：150分钟)

(课程代号：8489)

一、单项选择题(在每小题的备选答案中选出一个正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。每小题1分，共20分)

1．设N 为自然数集，规定ϕ：a → a - 2，则ϕ (C )是N 到N 的一个映射。

A ．不一定

B ．一定

C ．一定不

D ．未必

2．设A = B = {1, 2}，D = {1, 2, 3, 4}，A ⨯B 到D 的代数运算表为

，

则2*1 =(B )。

A ． 1

B ．2

C ．3

D ．4

3．设Z 是整数集，Z 的代数运算是普通加法，A = {1, -1}，A 的代数运算是普通乘法， ϕ：⎩⎨⎧-→→,,1,

,1是奇数当是偶数当a n a n n ∈Z ，则 ϕ 是Z 到A 的(A )映射。

A ．同态满

B ．同态单

C ．同构

D ．—一

4．设C 是整数集，则C 的元间关系(D )是等价关系。

A ．≤

B ．≥

C ．＜

D ． =

5．全体整数对于普通加法来说作成一个群，这个群的单位元和元a 的逆元分别是(C )。

A ．1和 -a

B ．1和

a 1 C ．0和-a D ．0和a 1 6．置换⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛231456123456可表示为(D )。 A ．(6) B ．(12)(34) C ．(123456) D ．(123)

7．设G 是一个由元a 所生成的循环群，a 的阶若是(C )，则G 与整数加群同构。

A ．0

B ．1

C ．无限

D ．有限

8．设 H = {(1), (12)}⊂ S 3，则 H (123) = (B )。

A ．H

B ．{(123), (13)}

C ．S 3

D ．{(123), (12)}

9．偶数环是一个(A )的环。

A ．无零因子

B ．有零因子

C ．非交换

D ．有单位元

10．全体有理数作成的集合对于普通加法和乘法来说作成一个环，则该环中的元3的逆元 是(D )。

A ．0

B ．-3

C ．3

D ．

3

1 11．若无零因子环R 的特征是有限整数，则其特征一定是(C )。

A ．合数

B ．0

C ．素数

D ．∞

12．设R 是交换环，主理想(a )的元可写成(C )。(其中，r ∈R ，n 是整数)

A ．ra

B ．ar

C ．ra + na

D ．na

13．在整数环R 中，(D )是素元。

A ．0

B ．1

C ．4

D ．5

14．设在有单位元的环R 中，a ≠ 0，a 有真因子b ，a = bc ，则(C )也是a 的真因子。

A ．0

B ．a

C ．c

D ．1

15．数域 F 上一切n ⨯ n (n ≥ 2) 矩阵对于矩阵的加法和乘法作成一个环，则该环必是(A )的

非交换环。

A ．有单位元且有零因子

B ．有单位元且无零因子

C ．无单位元且有零因子

D ．无单位元且无零因子

16一个唯一分解环R 中的元a 与b 互素，则a 与b 的最大公因子一定是(A )。

A ．单位

B ．b

C ．a

D ．ab

17．模5的剩余类环的特征是(D )。

A ．0

B ．1

C ．2

D ．5

18．设R 是模12的剩余类环，R [x ]的多项式x 2在R 中有(B )个根。

A ．1

B ．2

C ．3

D ．4

19．设R 是环R 0的子环，R 0的一个元x 是R 上的一个未定元，a 0, a 1, ..., a n ∈ R ，使得 a 0 + a 1x + ... + a n x n = 0，则(A )。

A ． a 0, a 1, ..., a n 全为零

B ．a 0 ≠ 0

C ． a 0, a 1, ..., a n 全不为零

D ．a 0, a 1, ..., a n 不全为零

20．设E 是特征为素数p 的域，则E 包含一个与(B )同构的素域。

A ．有理数域

B ．R / (p ), R 为整数环，(p )是由素数p 生成的主理想

C ．复数域

D ．实数域

二、多项选择题(在每小题的备选答案中选出二个或二个以上正确的答案，并将正确答案的号码填在题干的括号内。正确答案未选全或有选错的，该小题无分。每小题2分，共20分)

21．设R 是实数集，○是R 的运算，则(AC )满足结合律。

A ．a ○b = a ⨯ b

B ．a ○b = a - b

C ．a ○b = a + b

D ．a ○b = a 2 - b 2

E ．a ○b = a - 2b

22．设R 为实数集，R 的代数运算是普通加法，则(BC )是R 到B 的一个子集的同态满射。

A ． x → |x |

B ．x → 2x

C ．x → -x

D ． x → x 2 + |x |

E ．x → x 2

23．设群G 与群G 同态，N 是G 的一个不变子群，N 是N 的逆象，则(AE )。

N G N G A //.

≅ G N G B ≅/. N G G C /.≅

N G N G D //.≅ N G N G E //.≅ 24．(CE )不是交换群。

A ．循环群

B ．整数加群

C ．对称群S 3

D ．模11的剩余类加群

E ．实数域上一切有逆的 n x n 矩阵对于矩阵乘法作成的群

25．模 12的剩余类环 R 中，(CEA )是 R 的零因子。