高中数学 直线与圆的综合应用

9.5 直线与圆的综合应用

一、填空题

1.若圆22240x y x y +--=的圆心到直线x-y+a=0的距离为22

,则a 的值为

________．

解析 圆心为(1,2),利用点到直线的距离公式得12222a |-+|

=,化简得|a-1|=1,解得a=0或

a=2

.

2．直线y ＝3

3x 绕原点按逆时针方向旋转30°，则所得直线与圆(x －2)2＋y 2＝3

的位置关系是________．

解析 由题意可得旋转30°后所得直线方程为y ＝3x ，由圆心到直线距离可知是相切关系． 答案 相切

3．若圆(x －3)2＋(y ＋5)2＝r 2上有且只有两个点到直线4x －3y －2＝0的距离等于1，则半径r 的取值范围为________． 解析 由圆心(3，－5)到直线的距离d ＝|12＋15－2|

5

＝5，可得4＜r ＜6. 答案 (4,6) 答案2或0

4．已知直线ax ＋by ＋c ＝0与圆O ：x 2＋y 2＝1相交于A ，B 两点，且AB ＝3，则OA →·OB →＝________.

解析 由题可知∠AOB ＝120°，所以OA →·OB →＝|OA →|·|OB →|·cos 120°＝－12.

答案 －1

2

5．已知x ，y 满足x 2＋y 2－4x －6y ＋12＝0，则x 2＋y 2最小值为________． 解析 法一 点(x ，y )在圆(x －2)2＋(y －3)2＝1上，故点(x ，y )到原点距离的平方即x 2＋y 2最小值为(13－1)2＝14－213. 法二 设圆的参数方程为⎩⎨

⎧

x ＝2＋cos α，

y ＝3＋sin α

则x 2＋y 2＝14＋4cos α＋6sin α，

所以x 2＋y 2的最小值为14－42＋62＝14－213. 答案 14－213

6．若直线y ＝x ＋b 与曲线x ＝1－y 2恰有一个交点，则实数b 的取值范围是________．

解析 利用数形结合的方法，曲线x ＝1－y 2表示在y 轴右侧的半个单位圆(含边界)，直线y ＝x ＋b 表示斜率为1，在y 轴上截距为b 的直线，注意到b ＝－1时有两个交点及b ＝－2时直线与圆相切，所以实数b 的取值范围是－1

答案 －1

7．已知曲线C ：(x －1)2＋y 2＝1，点A (－2,0)及点B (3，a )，从点A 观察点B ，要使视线不被曲线C 挡住，则实数a 的取值范围是________． 解析 设过A 点的⊙C 的切线是y ＝k (x ＋2)，即kx －y ＋2k ＝0. 由|k ＋2k |k 2

＋1＝1，得k ＝±24. 当x ＝3时，y ＝5k ＝±

5

4

2.

答案 ⎝

⎛⎭⎪⎫－∞，－542∪⎝ ⎛⎭

⎪⎫

542，＋∞ 8．设圆x 2＋y 2＝1的一条切线与x 轴、y 轴分别交于点A 、B ，则线段AB 长度的

最小值为________．

解析 设切点为D ，∠OAB ＝α⎝

⎛

⎭⎪⎫0<α<π2，则连接OD 知OD ⊥AB ，从而得到AD ＝

1tan α＝cos αsin α，BD ＝1tan ⎝ ⎛⎭

⎪⎫π2－α＝sin αcos α

， 所以线段AB ＝cos αsin α＋sin αcos α＝1sin αcos α＝2sin2α⎝

⎛⎭⎪⎫0<α<π2，则线段AB 长度的

最小值为2. 答案 2

9．圆C ：x 2＋y 2＋2x －2y －2＝0的圆心到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离是________．

解析 圆心为(－1,1)，它到直线3x ＋4y ＋14＝0的距离d ＝|－3＋4＋14|

5

＝3.

答案 3

10．如果圆C ：(x ＋a )2＋(y －a )2＝18上总存在两个点到原点的距离为2，则实数a 的取值范围是________．

解析 由题意，圆C 上总存在两个点到原点的距离2，即圆C 与以O 为圆心，半径为2的圆总有两个交点，即两圆相交，

所以有|32－2|＜|CO |＜32＋2，即22＜2|a |＜42， 解得－4＜a ＜－2或2＜a ＜4. 答案 (－4，－2)∪(2,4)

11．若直线mx ＋ny ＝4和圆O ：x 2＋y 2＝4没有公共点，则过点(m ，n )的直线与椭圆x 25＋y 2

4

＝1的交点个数为________． 解析 由题意可知，圆心O 到直线mx ＋ny ＝4的距离大于半径，即得m 2＋n 2<4，所以点(m ，n )在圆O 内，而圆O 是以原点为圆心，椭圆的短半轴长为半径的圆，故点(m ，n )在椭圆内，因此过点(m ，n )的直线与椭圆必有2个交点． 答案 2

12．若过点A (0，－1)的直线l 与曲线x 2＋(y －3)2＝12有公共点，则直线l 的斜率的取值范围为________．

解析 该直线l 的方程为y ＝kx －1，即kx －y －1＝0，则由题意， 得d ＝

4k 2＋1

≤23，即k 2

≥13，解得k ≤－33或k ≥33.

答案 ⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－33∪⎣⎢⎡⎭

⎪⎫3

3，＋∞

13．直线l ：ax －by ＋8＝0与圆C ：x 2＋y 2＋ax －by ＋4＝0(a ，b 为非零实数)的位置关系是________．

解析 圆的标准方程为⎝

⎛

⎭⎪⎫x ＋a 22＋⎝ ⎛⎭⎪⎫y －b 22＝a 2

＋b 2

4－4，且a 2

＋b 2

4－4＞0，

即a 2＋b 2＞16，圆心C ⎝ ⎛⎭

⎪⎫

－a 2，b 2到直线ax －by ＋8＝0的距离