立体几何的综合应用

第53讲 立体几何的综合应用

1．(2016·新课标卷Ⅰ)如图，已知正三棱锥P -ABC 的侧面是直角三角形，P A ＝6，顶点P 在平面ABC 内的正投影为点D ，D 在平面P AB 内的正投影为点E ，连接PE 并延长交AB 于点G .

(1)证明：G 是AB 的中点；

(2)在图中作出点E 在平面P AC 内的正投影F (说明作法及理由)，并求四面体PDEF 的体积．

(1)证明：因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以AB ⊥PD .

因为D 在平面P AB 内的正投影为E ，所以AB ⊥DE . 因为PD ∩DE ＝D ，所以AB ⊥平面PED ，故AB ⊥PG . 又由已知可得，P A ＝PB ，所以G 是AB 的中点．

(2)在平面P AB 内，过点E 作PB 的平行线交P A 于点F ，F 即为E 在平面P AC 内的正投影．

理由如下：由已知可得PB ⊥P A ，PB ⊥PC ，又EF ∥PB ，所以EF ⊥P A ，EF ⊥PC .又P A ∩PC ＝P ，因此EF ⊥平面P AC ，即点F 为E 在平面P AC 内的正投影．

连接CG ，因为P 在平面ABC 内的正投影为D ， 所以D 是正三角形ABC 的中心．

由(1)知，G 是AB 的中点，所以D 在CG 上，

故CD ＝2

3CG .

由题设可得PC ⊥平面P AB ，DE ⊥平面P AB ，

所以DE ∥PC ，因此PE ＝23PG ，DE ＝1

3PC .

由已知，正三棱锥的侧面是直角三角形且P A ＝6， 可得DE ＝2，PE ＝2 2.

在等腰直角三角形EFP 中，可得EF ＝PF ＝2，

所以四面体PDEF 的体积V ＝13×12×2×2×2＝4

3

.

2．(2017·新课标卷Ⅱ)如图，四棱锥P -ABCD 中，侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面

ABCD ，AB ＝BC ＝1

2

AD, ∠BAD ＝∠ABC ＝90°.

(1)证明：直线BC ∥平面P AD ；

(2)若△PCD 的面积为27，求四棱锥P -ABCD 的体积．

(1)在平面ABCD 内，因为∠BAD ＝∠ABC ＝90°，所以BC ∥AD .又BC ⊄平面P AD ，AD

⊂平面P AD ，故BC ∥平面P AD .

(2)如图，取AD 的中点M ，连接PM ，CM .

由AB ＝BC ＝1

2AD 及BC ∥AD ，∠ABC ＝90°得四边形ABCM 为正方形，则CM ⊥AD .

因为侧面P AD 为等边三角形且垂直于底面ABCD ，平面P AD ∩平面ABCD ＝AD ，所以PM ⊥AD ，PM ⊥底面ABCD .

因为CM ⊂底面ABCD ，所以PM ⊥CM .

设BC ＝x ，则CM ＝x ，CD ＝2x ，PM ＝3x ，PC ＝PD ＝2x .如图，取CD 的中点N ，连接PN ，则PN ⊥CD ，

所以PN ＝

142

x . 因为△PCD 的面积为27，所以12×2x ×14

2x ＝27，

解得x ＝－2(舍去)或x ＝2.

于是AB ＝BC ＝2，AD ＝4，PM ＝2 3.

所以四棱锥P -ABCD 的体积V ＝13×2(2＋4)

2

×23＝4 3.

3．(2014·新课标卷Ⅰ)如图，三棱柱ABC -A 1B 1C 1中，侧面BB 1C 1C 为菱形，B 1C 的中点为

O ，且AO ⊥平面BB 1C 1C .

(1)证明：B 1C ⊥AB ；

(2)若AC ⊥AB 1，∠CBB 1＝60°，BC ＝1，求三棱柱ABC -A B 1C 1的高．

(1)证明：连接BC 1，则O 为B 1C 与BC 1的交点． 因为侧面BB 1C 1C 为菱形，所以B 1C ⊥BC 1. 又AO ⊥平面BB 1C 1C ，所以B 1C ⊥AO ， 故B 1C ⊥平面ABO .

由于AB ⊂平面ABO ，故B 1C ⊥AB .

(2)作OD ⊥BC ，垂足为D ，连接AD .作OH ⊥AD ，垂足为H . 由于BC ⊥AO ，BC ⊥OD ，故BC ⊥平面AOD,0.n 所以OH ⊥BC . 又OH ⊥AD ，所以OH ⊥平面ABC .

因为∠CBB 1＝60°，所以△CBB 1为等边三角形，

又BC ＝1，可得OD ＝3

4.

由于AC ⊥AB 1，所以OA ＝12B 1C ＝1

2

.

由OH ·AD ＝OD ·OA ，且AD ＝OD 2＋OA 2＝7

4

，

得OH ＝21

14.

又O 为B 1C 的中点，

所以点B 1到平面ABC 的距离为217

. 故三棱柱ABC -A 1B 1C 1的高为

217

. 4．(2017·新课标卷Ⅲ)如图，四面体ABCD 中，△ABC 是正三角形，AD ＝CD .

(1)证明：AC ⊥BD ；

(2)已知△ACD 是直角三角形，AB ＝BD ，若E 为棱BD 上与D 不重合的点，且AE ⊥EC ，求四面体ABCE 与四面体ACDE 的体积比．

(1)如图，取AC 的中点O ，连接DO ，BO . 因为AD ＝CD ，所以AC ⊥DO .

又由于△ABC 是正三角形，所以AC ⊥BO .

BO ∩DO ＝O ，从而AC ⊥平面DOB ，BD ⊂平面DOB ， 故AC ⊥BD .

(2)连接EO .

由(1)及题设知∠ADC ＝90°，所以DO ＝AO . 在Rt △AOB 中，BO 2＋AO 2＝AB 2.