§1.1简单旋转体(学案)
《简单旋转体 》示范公开课教学设计【高中数学必修2(北师大版)
《简单旋转体》教学设计简单几何体是立体几何初步的入门，在本节课中我们将认识简单旋转体和简单多面体，并了解其相应的结构特点。
简单几何体的学习为后面研究几何体的结构特征，空间图形的基本关系以及简单几何体的面积和体积打下基础，是本章内容学习的起点和基础。
【知识与能力目标】（1）能根据几何结构特征对空间物体进行分类（2）会用语言概述棱柱、棱锥、圆柱、圆锥、棱台、圆台、球的结构特征.【过程与方法目标】通过生活中的实物，抽象概括其结构特点，增强学生对生活与数学的联系，培养学生的空间立体感.让学生通过直观感受空间物体，从实物中概括出球、柱、锥、台的几何结构特征。
让学生观察、讨论、归纳、概括所学的知识。
【情感态度价值观目标】通过生活中的实物，抽象概括其结构特点，增强学生对生活与数学的联系，培养学生的空间立体感。
【教学重点】让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
【教学难点】柱、锥、台、球的结构特征的概括说明。
电子课件调整、相应的教具带好、熟悉学生名单、电子白板要调试好。
平面是空间最基本的图形，平整的桌面、平静的湖面都给人平面的印象◆教学重难点◆◆课前准备◆◆教材分析◆教学过程◆教学目标几何的平面可以无限延展，一般地，我们用平行四边形表示平面。
也记作：平面 或平面ABCD或平面AC或平面BD创设情境，揭示课题：我们生活的空间里有各式各样的几何体，出示课本中的图形问题1：这些图形具有什么样的几何结构特征？你能对他们进行分类吗？学生观察思考，小组交流讨论。
设计意图：由学生熟悉的生活中的实物入手，引发学生的思考，如何将这些空间物体分类？激发学生的学习兴趣。
上面的图形大致可以分为两类。
给出简单旋转体和简单多面体的概念。
揭示课题。
一、简单旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所成的曲面叫作旋转面;封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体。
（1）球的旋转定义: 半圆以它的直径为旋转轴,旋转所成的曲面叫做球面.球面所围成的几何体叫做球体,简称球。
§1.1《旋转体与简单组合体的结构特征》导学案
高一数学 SX-2012-02-002《旋转体与简单组合体的结构特征》导学案编写人：胡立红审核人：编写时间：2012-4-7姓名：班级：组别：组名：【学习目标】：1.掌握圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征及其关系。
2. 会用柱、锥、台、球的结构特征描述简单组合体的结构特征。
【学习重点】会用圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征判断其形状。
【学习难点】不规则平面图形旋转形成的组合体的判定。
【学法指导】观察几何体图形，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征。
【知识链接】1.由一个平面图形绕它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的封闭几何体，叫做，这条定直线叫做。
2.现实世界中大量的几何体是由组合而成的，它们叫做简单组合体。
【学习过程】知识点一：旋转体的结构特征：1：圆柱的结构特征：请同学们仔细观察课本第2页（1）（8）几何体，说说他们的共同特点：阅读课本第5页上，完成下列问题：（1）定义：以的一边为，其余三边旋转形成的面所围成的叫圆柱。
旋转轴叫做，垂直于轴的边旋转而成的圆面叫做；平行的曲面叫做圆柱的侧面；不叫做圆柱的母线。
（2）圆柱的表示：用表示它的轴的字母表示，如右中的圆柱O表示为圆柱O（3）圆柱与棱柱统称为柱体。
2：圆锥的结构特征。
请同学们仔细观察课本第2页（5）（6）几何体，说说他们的共同特点阅读课本第5页中，完成下列问题：（1）定义：以的一条所在直线为旋转轴，其余两边旋转形成的面所围成的旋转体叫做圆锥。
圆锥也有轴、底面、侧面和母线（2）圆锥的表示：。
（3）棱锥与圆锥统称为锥体3：圆台的结构特征：阅读课本第5页下，完成下列问题：讨论1：用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥，得到怎样的两个几何体？(1 ) 概念：圆锥被所截后，截面和底面之间的部分叫圆台(2 ) 圆台的有关概念：圆台的上底面、下底面、侧面、母线（3）圆台的表示：(4 ) 圆台的特点：两个底面是，侧面都是；母线延长后交于．（5）棱台与圆台统称为台体讨论2：圆台可以看作由绕它的所在直线旋转得到。
1.1简单的旋转体
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球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
S O1 O
A1
O
1
B1
r
A O
B1 A B O B A O
球
圆柱
圆锥
圆台
36
B
• 把到定点O的距离等于或小于定长 的点的集合叫作球体，简称球。
• 其中：把定点O叫作球心，定 长叫作球的半径
• 到定点O的距离等于定长的 点的集合叫作球面。
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球面距离
在球面上，两点之间 最短连线的长度，是经过这两点的 大圆在两点间的劣弧的长度，称这 段劣弧的长度为这 两点的球面距离；
P O
举例：
①飞机的飞行航线；
②轮船的航行路线；
Q
22
二、圆柱、圆锥、圆台、球
下面几何体与多面体不同,仔细观察下列 几何体,它们有什么共同点或生成规律?
上 图中的 图 形通过哪些平面图形旋转而成 ?
23
24
分别以矩形、直角三角形、直角梯形 的一边、一直角边、垂直于底边的腰所在
的直线为旋转一周，形成的几何体分别叫
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； 2、平面没有边界，但有厚度； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ( ) ) ) ( )
4、一个平面可以把空间分成两部分. (
§1 简单几何体
问 答
这些图片中的物体具有什么样的几何 结构特征?你能对它们进行分类吗?
18
想 用一个平面去截球体得到 一 想 的截面是什么图形？ ？
性质3：用一个平面去截球体得到的截面是 一个圆面
想 一 想
球面被经过球心的 平面所截得到的是什 么图形
高一数学简单旋转体教案
高一数学简单旋转体教案第一章：立体几何初步1.1简洁旋转体一、教学目标1.学问与技能（1）通过实物操作，增加同学的直观感知。
（2）能依据几何结构特征对空间物体进行分类。
（3）会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的结构特征。
（4）会表示有关于几何体以及柱、锥、台的分类。
2.过程与方法（1）让同学通过直观感受空间物体，从实物中概括出球、柱、锥、台的几何结构特征。
（2）让同学观看、争论、归纳、概括所学的学问。
3.情感态度与价值观（1）使同学感受空间几何体存在于现实生活四周，增加同学学习的乐观性，同时提高同学的观看力量。
（2）培育同学的空间想象力量和抽象括力量。
二、教学重点、难点重点：让同学感受大量空间实物及模型、概括出球、柱、锥、台的结构特征。
难点：球、柱、锥、台的结构特征的概括。
三、教学用具（1）学法：观看、思索、沟通、争论、概括。
（2）实物模型、投影仪四、教学思路（一）创设情景，揭示课题1.老师提出问题：在我们生活四周中有不少有特色的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何结构特征如何？引导同学回忆，举例和相互沟通。
老师对同学的活动准时赐予评价。
2.所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展现具有球、柱、锥、台结构特征的空间物体），你能通过观看。
依据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1.引导同学观看物体、思索、沟通、争论，对物体进行分类，分辩棱柱、圆柱、棱锥。
2.观看棱柱的几何物件以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的共同特点是什么？3.组织同学分组争论，每小组选出一名同学发表本组争论结果。
在此基础上得出棱柱的主要结构特征。
（1）有两个面相互平行；（2）其余各面都是平行四边形；（3）每相邻两上四边形的公共边相互平行。
概括出棱柱的概念。
4.老师与同学结合图形共同得出棱柱相关概念以及棱柱的表示。
5.提出问题：各种这样的棱柱，主要有什么不同？可不行以依据不同对棱柱分类？请列举身边具有已学过的几何结构特征的物体，并说出组成这些物体的几何结构特征？它们由哪些基本几何体组成的？6.以类似的方法，让同学思索、争论、概括出棱锥、棱台的结构特征，并得出相关的概念，分类以及表示。
2021年高中数学第1章 学案北师大版必修2(付,143页)
第一章立体几何初步§1简单几何体1．1简单旋转体知识点一旋转体[填一填](1)概念：一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．(2)特殊的旋转体：圆柱、圆锥、圆台、球．知识点二球[填一填](1)概念：以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．如图所示．(2)表示：球常用表示球心的字母表示．如上图中的球记作球O.[答一答]1．在平面几何中，你学习了直线与圆的位置关系，那么平面与球的位置关系如何？提示：类比平面上直线与圆的位置关系，平面与球有以下几种位置关系：相离、相切、相交，其中相离是平面与球无公共点，相切是平面与球有且只有一个公共点，相交则是平面与球有无数多个公共点．知识点三圆柱、圆锥、圆台[填一填](1)概念：分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面；不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．如图所示．(2)表示：圆柱、圆锥、圆台都是用表示轴的字母表示．如上图中的圆柱、圆锥、圆台分别记为圆柱OO′、圆锥SO、圆台OO′.[答一答]2．对圆柱、圆锥、圆台：(1)平行于底面的截面是什么样的图形？(2)过轴的截面(简称轴截面)分别是什么样的图形？(3)研究圆柱、圆台和圆锥之间的关系．提示：(1)平行于底面的截面，图形都是圆．(2)过轴的截面，对于圆柱是矩形，对于圆锥是等腰三角形，对于圆台是等腰梯形．(3)圆柱的上底面变小，就变为圆台，当上底面变为一个点时，它就变成了圆锥．圆台是由圆锥截得的，“补台成锥”是解决圆台问题的一种重要方法．3．为什么以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体不一定是圆锥？提示：如图①所示，Rt△ABC中，AB⊥AC，以直角边AC所在的直线为轴旋转所得旋转体是圆锥，如图②；以直角边AB所在的直线为轴旋转所得旋转体也是圆锥，如图③；以斜边BC所在的直线为轴旋转所得旋转体不是圆锥，是两个同底面的圆锥拼接成的几何体，如图④.由此可见，平面图形绕同一平面内的一条直线旋转所得几何体是什么样的旋转体，跟所选旋转轴所在的直线的位置关系有关．在理解圆柱、圆锥和圆台的概念时要注意以下几点(1)我们以轴上的两个字母表示几何体，可以记作圆柱OO′，圆锥SO，圆台OO′.(2)圆台可看作是用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，底面与截面之间的部分．(3)这三种几何体的母线不是唯一的．圆柱的母线互相平行，圆锥的母线交于一点，圆台的母线延长后交于一点．连接圆柱上、下底面圆周上两点，不一定是圆柱的母线，圆柱的母线与轴平行．但连接圆锥顶点和底面圆周上任一点得到的线段都是母线．(4)用一个与底面平行的平面去截这三种几何体，得到的截面都是圆面.类型一旋转体的有关概念【例1】以下对于几何体的描述，错误的是()A．NBA决赛中使用的篮球不是球体B．一个等腰三角形绕着底边上的高所在直线旋转180°形成的封闭曲面所围成的图形叫作圆锥C．用平面去截圆锥，底面与截面之间的部分叫作圆台D．以矩形的一组对边的中垂线所在直线为轴旋转180°所形成的几何体为圆柱【思路探究】根据柱、锥、台的结构特征进行判断．【解析】根据球的定义可知A正确．由圆锥的定义知B正确．当平面与圆锥的底面平行时底面与截面之间的部分为圆台，故C错误．由圆柱的定义知D正确．【答案】 C规律方法1.判断简单旋转体结构特征的方法(1)明确由哪个平面图形旋转而成．(2)明确旋转轴是哪条直线．2．简单旋转体的轴截面及其应用(1)简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．(2)在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．判断下列各命题是否正确．(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解：(1)错误．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错误．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错误．应为球面．类型二有关几何体的计算问题【例2】一个圆台的母线长为12 cm，两底面面积分别为4π cm2和25π cm2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．【思路探究】本题主要考查圆台中的有关计算，关键是画出轴截面，依据相似三角形求解．【解】(1)如右图所示，设圆台的轴截面是等腰梯形ABCD，O1，O分别是上、下底面的中心，作AM⊥BC于M，延长BA，CD交于S，连接SO，则SO经过O1.由已知得上底面半径O1A＝2 cm ，下底面半径OB ＝5 cm ，且腰长AB ＝12 cm ，∴圆台的高AM ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)设截得此圆台的圆锥的母线长为l cm ，则由△SAO 1∽△SBO ，得l －12l ＝25，解得l ＝20. 即截得此圆台的圆锥的母线长为20 cm.规律方法 解决这类问题一般是画出轴截面解三角形．一个圆锥的高为2，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的母线长为433. 解析：先明确圆锥的相关概念，画出示意图，再利用直角三角形的知识求解，如图所示，设圆锥底面直径为AB ，SO 为高，SA 为母线，由题意可知∠ASO ＝30°，所以在Rt △AOS 中，SA ＝SO cos ∠ASO ＝2cos30°＝433. 类型三 有关球的截面问题【例3】 在球内有相距9 cm 的两个平行截面，面积分别为49π cm 2和400π cm 2，求此球的半径．【思路探究】 作轴截面(过与截面圆垂直的半径作截面)，将空间图形化为平面图形．利用截面的性质解直角三角形．【解】 两截面与球心的位置关系有两种：(1)两截面位于球心的同侧；(2)球心在两截面之间．若两截面位于球心的同侧，如图①，C ，C 1分别是两平行截面的圆心，设球的半径为R ，截面圆的半径分别为r ，r 1，由πr 21＝49π，得r 1＝7(cm)，由πr 2＝400π，得r ＝20(cm)，在Rt△OB1C1中，OC1＝R2－r21＝R2－49，在Rt△OBC中，OC＝R2－r2＝R2－400，由题意知OC1－OC＝9 cm，即R2－49－R2－400＝9，解得R＝25(cm)，若球心在两截面之间，如图②，OC1＝R2－49，OC＝R2－400.由题意知OC1＋OC＝9 cm，即R2－49＋R2－400＝9，R2－49＝9－R2－400，平方得R2－400＝－15，此方程无解，说明第二种情况不存在．综上所述，所求球的半径为25 cm.规律方法在解决球的截面问题时，可作轴截面，将空间图形化为平面图形．由于球心与截面圆心的连线垂直于截面圆，因此经过球心与截面圆心的连线作轴截面如图．则球的半径R，截面圆半径r，球心到截面的距离d有如下关系：d2＋r2＝R2.在半径等于13 cm的球内有一个截面，它的面积是25π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设截面圆的半径为r cm.因为πr2＝25π，所以r＝5.设球心到截面的距离为d cm，则d＝132－52＝12.所以球心到截面的距离为12 cm.类型四圆柱、圆锥、圆台的侧面展开图问题【例4】如图所示，一圆柱的底面半径为2，母线长为5，轴截面为矩形ABCD，从点A拉一绳子沿圆柱侧面到点C，求最短绳长．【思路探究】(1)绳子是在圆柱的侧面上，与侧面有关的问题用侧面展开图来解决．(2)沿母线BC剪开，将圆柱侧面的一半展开，得展开图矩形，其中AD是母线的长，AB′是底面周长的一半．【解】沿BC剪开，将圆柱侧面的一半展开得到矩形B′ADC′，如图所示，连接AC′，则AC′的长即为所求最短绳长，由题意可知，B′C′＝5，AB′＝2π，即最短绳长为25＋4π2.规律方法1.圆柱问题中的基本量为底面半径r、h、母线长l，且h＝l.2．解决与圆柱有关的问题可作轴截面或侧面展开图，将空间问题转化为平面问题．3．轴截面是矩形，长和宽分别为2r和l.4．侧面展开图是矩形，长和宽分别为2πr和l.圆锥底面半径r＝1 cm，母线l＝6 cm，现有一只蚂蚁，从圆锥底面圆周上点A沿侧面爬一周后又回到A点，求它至少要爬的路程．解：如图所示，将圆锥侧面沿母线P A 展开，所得扇形的圆心角θ＝r l ·360°＝16×360°＝60°，∴△P AA ′为等边三角形，∴AA ′＝6，即它至少要爬的路程为6 cm.——转化与化归思想——立体几何问题平面化1．利用轴截面将空间问题转化为平面问题圆柱、圆锥、圆台、球的轴截面中含有丰富的元素和良好的图形性质，因此在解决几何体的有关长度计算问题时常常利用轴截面来解决，将空间问题转化为平面问题．2．用侧面展开的方法求圆柱、圆锥和圆台侧面上两点间距离(最值)求几何体侧面上两点间最短距离的问题，常把侧面展开，转化为平面几何问题后解决．【例5】 如图所示，已知圆锥SO 中，底面半径r ＝1，母线长l ＝4，M 为母线SA 上的一个点，且SM ＝x ，从点M 拉一根绳子，围绕圆锥侧面转到点A .求：(1)绳子的最短长度的平方f (x )；(2)绳子最短时，顶点到绳子的最短距离；(3)f (x )的最大值．【思路分析】 求几何体侧面上两点之间的距离的最小值时，往往利用其侧面展开图求解．【精解详析】 将圆锥的侧面沿SA 剪开，并展开，如图所示，该图形为扇形，且弧AA ′的长度L 就是圆O 的周长，所以L ＝2πr ＝2π.所以∠ASM ＝L 2πl ×360°＝2π2π×4×360°＝90°.(1)由题意知，绳子长度的最小值为展开图中的AM ，且AM ＝x 2＋16(0≤x ≤4)，所以f (x )＝AM 2＝x 2＋16(0≤x ≤4)．(2)作SR ⊥AM ，垂足为R ，则SR 的长度为顶点S 到绳子的最短距离，因为12SA ·SM ＝12AM ·SR ，所以SR ＝SA ·SM AM ＝4x x 2＋16(0≤x ≤4)，即绳子最短时，顶点到绳子的最短距离为4x x 2＋16(0≤x ≤4)． (3)因为f (x )＝x 2＋16(0≤x ≤4)是增函数，所以f (x )的最大值为f (4)＝32.【解后反思】 求解旋转体侧面上两点间的最小距离时，一般将几何体侧面展开，从而将空间问题转化为平面问题，将曲线问题转化为直线问题来解决，使复杂问题简单化．如图，圆台的上、下底面半径分别为5 cm 和10 cm ，母线长AB ＝20 cm ，从圆台母线AB 的中点M 拉一条绳子绕圆台侧面转到A 点．求：在绳子最短时，上底圆周上的点到绳子的最短距离．提示：类似几何体表面最短路径问题一般是把侧面展开，转化为平面几何知识求解． 解：如图，将圆台侧面展开，则绳子的最短长度为侧面展开图中A 1M 的长度，所以∠AOA 1＝10－520×360°＝90°， 设OB ＝l ′，则5l ′·360°＝90°， 所以l ′＝20 cm ，所以OA ＝OA 1＝40 cm ，OM ＝30 cm.在Rt△A1OM中，A1M＝OA21＋OM2＝402＋302＝50(cm)．过点O作OQ⊥A1M于Q，交弧BB1于P，则PQ为所求最短距离．因为OA1·OM＝A1M·OQ，则40×30＝50·OQ，所以OQ＝24 cm，所以PQ＝OQ－OP＝OQ－OB＝24－20＝4(cm)，即上底圆周上的点到绳子的最短距离为4 cm.一、选择题1．下列不是旋转体的是(D)A．圆台B．圆锥C．圆柱D．球面解析：如果只考虑物体的形状和大小，而不考虑其他因素，那么由这些物体抽象出来的空间图形叫作空间几何体．旋转体是特珠的空间几何体．因此球面不是旋转体．2．下列说法中正确的是(D)A．圆台是直角梯形绕其一边所在的直线旋转而成的B．圆锥是直角三角形绕其一边所在的直线旋转而成的C．圆柱不是旋转体D．圆台可以看作是平行于底面的平面截一个圆锥而得到的底面与截面之间的部分解析：圆台是直角梯形绕垂直于底边的腰所在的直线旋转而得到的，故A不正确；圆锥是直角三角形绕其一条直角边所在的直线旋转而得到的，故B不正确；而圆柱、圆锥、圆台、球都是旋转体，故C不正确．3．有下列表述：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是(D)A．①②B．②③C．①③D．②④解析：对于①③，两点的连线不一定在圆柱、圆台的侧面上，当然有可能不是母线了，对于②④，由母线的定义知正确．二、填空题4．有下列说法：①球的半径是连接球面上任意一点和球心的线段；②球的直径是球面上任意两点间的线段；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球．其中正确的有①.解析：①球是半圆绕其直径所在的直线旋转，旋转面所围成的封闭的几何体，不难理解，半圆的直径就是球的直径，半圆的圆心就是球心，半圆的半径就是球的半径，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离相等的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．5．圆柱、圆锥和圆台过轴的截面分别是矩形、等腰三角形和等腰梯形．三、解答题6．在半径为25 cm的球内有一个截面，它的面积是49π cm2，求球心到这个截面的距离．解：设球的半径为R，截面圆的半径为r，球心到截面的距离为d，如图所示．因为S＝πr2＝49π cm2，所以r＝7 cm，所以d＝R2－r2＝252－72＝24(cm)，即球心到这个截面的距离为24 cm.1．2 简单多面体知识点一多面体与棱柱[填一填]1．多面体我们把若干个平面多边形围成的几何体叫作多面体．其中棱柱、棱锥、棱台都是简单多面体．2．棱柱(1)棱柱的有关概念两个面互相平行，其余各面都是四边形，并且每相邻两个四边形的公共边都互相平行，这些面围成的几何体叫作棱柱．两个互相平行的面叫作棱柱的底面，其余各面叫作棱柱的侧面，棱柱的侧面是平行四边形．两个面的公共边叫作棱柱的棱，其中两个侧面的公共边叫作棱柱的侧棱，底面多边形与侧面的公共顶点叫作棱柱的顶点，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱柱的高．(2)棱柱的分类①按底面多边形的边数：棱柱的底面可以是三角形、四边形、五边形……我们把这样的棱柱分别叫作三棱柱、四棱柱、五棱柱…….②按侧棱与底面是否垂直：[答一答]1．有人说：有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体是棱柱．你认为这种说法对吗？提示：这种说法不对．棱柱有两个本质特征：(1)有两个面互相平行；(2)其余各面每相邻两个面的公共边相互平行．正是由于这两个特征，使棱柱的各侧面都是平行四边形，但是有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体未必是棱柱．反例如图．知识点二棱锥[填一填](1)定义有一个面是多边形，其余各面是有一个公共顶点的三角形，这些面围成的几何体叫作棱锥．这个多边形叫作棱锥的底面，其余各面叫作棱锥的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱锥的侧棱，各侧面的公共点叫作棱锥的顶点，过顶点作底面的垂线，顶点与垂足间的线段长叫作棱锥的高．(2)正棱锥如果棱锥的底面是正多边形，且各侧面全等，就称作正棱锥．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱锥分别叫作三棱锥、四棱锥、五棱锥…….[答一答]2．有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥吗？为什么？提示：不一定，判断一个几何体是否是棱锥，关键是紧扣棱锥的三个本质特征：(1)有一个面是多边形；(2)其余各面都是三角形；(3)这些三角形有一个公共顶点．这三个特征缺一不可，显然，这种说法不满足(3). 反例如图．知识点三棱台[填一填](1)定义用一个平行于棱锥底面的平面去截棱锥，底面与截面之间的部分叫作棱台．原棱锥的底面和截面叫作棱台的下底面和上底面，其他各面叫作棱台的侧面，相邻侧面的公共边叫作棱台的侧棱，与两个底面都垂直的直线夹在两底面间的线段长叫作棱台的高．(2)正棱台用正棱锥截得的棱台叫作正棱台，正棱台的侧面是全等的等腰梯形，它的高叫作正棱台的斜高．(3)分类按底面多边形的边数分：底面是三角形、四边形、五边形……的棱台分别叫作三棱台、四棱台、五棱台…….[答一答]3．棱台的各侧棱是什么关系？各侧面是什么样的多边形？两个底面是什么关系？提示：棱台的各侧棱延长后交于一点，各侧面是梯形，两个底面是相似的多边形．4．观察下面的几何体，思考问题：图①是棱台吗？图②用任意一个平面去截棱锥，一定能得到棱台吗？提示：图①不是棱台，因为各侧棱延长后不交于一点，图②中只有用平行于底面的平面去截才能得到棱台．1．对于多面体概念的理解，注意以下两个方面(1)多面体是由平面多边形围成的，围成一个多面体至少要四个面．(2)多面体是一个“封闭”的几何体．2．对于棱柱的定义注意以下三个方面(1)有两个面平行，各侧棱都平行，各侧面都是平行四边形．(2)有两个面平行，其余各面都是平行四边形的几何体不一定是棱柱．(3)从运动的观点看，棱柱可以看成是一个平面多边形，从一个位置沿一条不与其共面的直线运动到另一位置时，形成的几何体．3．对于棱锥要注意有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体不一定是棱锥，必须强调其余各面是共顶点的三角形．4．棱台中各侧棱延长后必相交于一点，否则不是棱台.类型一概念的理解与应用【例1】下列关于多面体的说法正确的个数为________．①所有的面都是平行四边形的几何体为棱柱；②棱台的侧面一定不会是平行四边形；③底面是正三角形，且侧棱相等的三棱锥是正三棱锥；④棱台的各条侧棱延长后一定相交于一点；⑤棱柱的每一个面都不会是三角形．【解析】①中两个四棱柱放在一起，如图所示，能保证每个面都是平行四边形，但并不是棱柱．故①错．②中棱台的侧面一定是梯形，不可能为平行四边形，②正确．根据棱锥的概念知③正确．根据棱台的概念知④正确．棱柱的底面可以是三角形，故⑤不正确．正确的个数为3.【答案】 3规律方法有关棱柱、棱锥、棱台结构特征的判断方法(1)举反例法：结合棱柱、棱锥、棱台的定义举反例直接判断关于棱锥、棱台结构特征的某些说法不正确．(2)直接法：棱锥棱台定底面只有一个面是多边形，此面即为底面两个互相平行的面，即为底面看侧棱相交于一点延长后相交于一点下面属于多面体的是①②.(将正确答案的序号填在横线上)①建筑用的方砖；②埃及的金字塔；③茶杯；④球．解析：①②属于多面体；③④属于旋转体．类型二棱柱的结构特征【例2】如图所示，已知长方体ABCD－A1B1C1D1.(1)这个长方体是棱柱吗？如果是，是几棱柱？为什么？(2)用平面BCFE把这个长方体分成两部分后，各部分形成的几何体还是棱柱吗？如果是，是几棱柱？如果不是，说明理由．【思路探究】判断一个几何体是否是棱柱，关键是验证几何体是否满足棱柱的定义．如果是棱柱，一是要找到两个面平行，二是要判定其余各个面的公共边平行；如果不是棱柱，则需指出不满足定义或举出反例．【解】(1)是棱柱，并且是四棱柱，因为以长方体相对的两个面作底面都是四边形，其余各面都是矩形，矩形当然是平行四边形，并且几何体的四条侧棱互相平行．(2)截面BCFE上方部分是棱柱，且是三棱柱BEB1－CFC1，其中△BEB1和△CFC1是底面．截面BCFE下方部分也是棱柱，且是四棱柱ABEA1－DCFD1，其中四边形ABEA1和四边形DCFD1是底面．规律方法棱柱的两个主要结构特征：(1)有两个面互相平行；(2)各侧棱都互相平行，各侧面都是平行四边形．通俗地讲，就是棱柱“两头一样平，上下一样粗”．下列说法中，正确的是(C)A．底面是正多边形的棱柱是正棱柱B．棱柱中两个互相平行的面一定是棱柱的底面C．棱柱的各个面中，至少有两个面互相平行D．棱柱的侧面是平行四边形，但它的底面一定不是平行四边形解析：正棱柱是底面是正多边形且侧棱垂直于底面的棱柱，故A错误；棱柱中可以有两个侧面互相平行，不一定是底面，同时底面可以是平行四边形，故B，D错；由棱柱的概念知C正确．故正确答案为C.类型三棱锥的几何特征【例3】已知正三棱锥V－ABC的底面边长为6，高VO＝4，D为AB的中点，过点V，C，D作截面，试求该截面的周长和面积．【思路探究】依据题意画出图形，利用高与侧棱、底面等边三角形相应的外接圆半径，高与斜高、底面等边三角形相应边心距构成的直角三角形进行计算．【解】 由题意画出图形，如图所示，其中VO ＝4，AB ＝BC ＝CA ＝6，∵△ABC 是等边三角形，O 是中心，∴OC ＝23，OD ＝3，在Rt △VOC 和Rt △VOD 中，由勾股定理，得VC ＝42＋(23)2＝27，VD ＝42＋(3)2＝19，∴截面△VCD 的周长为VC ＋CD ＋VD ＝27＋33＋19，面积为12CD ·VO ＝12×33×4＝6 3.规律方法 1.如图，在正三棱锥的计算中，常要研究基本量：底面边长AB 、侧棱长PC 、高PO 、斜高PD 、边心距OD 、底面外接圆半径OC 等．2．含有这些基本量的直角三角形有Rt △POD 、Rt △POC 、Rt △PDB 、Rt △AOD 等． 3．通过解这些直角三角形可求出基本量，进而完成解题． 4．记住一些结论可提高解题速度．如若AB ＝a ，则OC ＝33a ，OD ＝36a ，CD ＝32a 等．在四棱锥的四个侧面中，直角三角形最多可有( D ) A ．1个 B ．2个 C ．3个D ．4个解析：如图所示，在长方体ABCD －A 1B 1C 1D 1中取四棱锥A 1－ABCD ，则此四棱锥的四个侧面全为直角三角形．故正确答案为D.类型四 棱台的几何特征【例4】 已知四棱台的上底面、下底面分别是边长为4,8的正方形，各侧棱长均为17，求四棱台的高．【思路探究】 思路一：用“补形法”，将棱台还原为棱锥，结合平面几何知识求解；思路二：依题意，作出棱台的对角面，化为平面几何的计算问题．【解】解法一：如图所示，设O 1，O 分别为正方形A 1B 1C 1D 1和正方形ABCD 的中心，则P ，O 1，O 三点共线．A 1O 1＝12A 1C 1＝12×42＝22，AO ＝12AC ＝12×82＝4 2.∵△P A 1O 1∽△P AO ，∴A 1O 1AO ＝P A 1P A ，即P A 1P A ＝12.又∵P A ＝P A 1＋A 1A ＝2P A 1，∴P A 1＝A 1A ＝17， 在Rt △PO 1A 1中，PO 1＝P A 21－A 1O 21＝(17)2－(22)2＝3.又∵PO 1PO ＝A 1O 1AO ，∴PO ＝6，∴OO 1＝3.∴四棱台的高为3.解法二：如图所示，在截面ACC 1A 1中，A 1A ＝CC 1＝17，A 1C 1＝42，AC ＝82，过A 1作A 1E ⊥AC 交AC 于点E ，则A 1E 就是四棱台的高．在Rt △A 1EA 中，AE ＝12×(82－42)＝22，A 1A ＝17，∴A1E＝A1A2－AE2＝(17)2－(22)2＝3，即四棱台的高为3.规律方法正棱台的计算1．将正棱台补成棱锥(1)大、小棱锥中用解直角三角形方法求解；(2)两棱锥之间运用“对应高之比等于相似比”及相似形知识求解．2．在正棱台中作直角梯形，进而化为矩形和直角三角形求解．下列几何体是棱台的是④(填序号)．解析：①③都不是由棱锥截得的，不符合棱台的定义，故①③不满足题意，②中的截面不平行于底面，不符合棱台的定义，故②不满足题意，④符合棱台的定义，故填④.——多维探究系列——几何体的侧面或表面展开图问题展开图问题是转化思想的体现，是把立体几何问题转化为平面几何问题的重要手段之一，所以要重视这种问题的应用．【例5】如图是三个几何体的侧面展开图，请问各是什么几何体？【思路分析】图①中，有5个平行四边形，而且还有2个全等的五边形，符合棱柱特点；图②中，有5个三角形，且有共同的顶点，还有1个五边形，符合棱锥特点；图③中，有3个梯形，还有2个相似的三角形，符合棱台的特点．【精解详析】由几何体的侧面展开图的特点，结合棱柱、棱锥、棱台的定义，可把。
北师大版高中数学必修2学案第一章简单旋转体
1.1简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知． 2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类． 3.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征． 4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.【主干自填】几种简单旋转体【即时小测】1．思考下列问题(1)铅球和乒乓球都是球吗？提示：铅球是球，乒乓球不是球，铅球是实心球，符合球的定义，乒乓球是空心球，不符合球的定义．(2)圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆吗？提示：它们的底面都不是圆，而是圆面．2．用一个平面截一个几何体，各个截面都是圆面，则这个几何体一定是()A．圆柱B．圆锥C．球D．圆台提示：C由球的性质可知，用平面截球所得截面都是圆面．3．给出下列命题：①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台的上、下两底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线所在的直线是互相平行的．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④提示：D依据圆柱、圆锥和圆台的定义及母线的性质可知，②④正确，①③错误．例1有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的直径是球面上任意两点间的连线；③用一个平面截一个球，得到的是一个圆；④空间中到一定点距离等于定长的点的集合是球．其中正确的序号是________．[解析]球可看作是半圆面绕其直径所在的直线旋转形成的，因此①正确；如果球面上的两点连线经过球心，则这条线段就是球的直径，因此②错误；球是一个几何体，平面截它应得到一个面而不是一条曲线，所以③错误；空间中到一定点距离等于定长的点的集合是一个球面，而不是一个球体，所以④错误．[答案]①类题通法透析球的概念(1)球是旋转体，球的表面是旋转形成的曲面，球是球面及其内部空间组成的几何体，球体与球面是两个不同的概念，用一个平面截球得到的是圆面而不是圆．(2)根据球的定义，篮球、排球等虽然它们的名字中都有一个“球”字，但它们都是空心的，不符合球的定义．[变式训练1]下列命题：①球面上四个不同的点一定不在同一平面内；②球面上任意三点可能在一条直线上；③空间中到定点的距离等于定长的点的集合构成球面．其中正确的命题序号为________．答案③解析①中作球的截面，在截面圆周上任取四点，则这四点在同一平面内，所以①错；②球面上任意三点一定不能共线，所以②错；③由球的定义可知③正确.例2下列命题：①用一个平面去截圆锥得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱的任意两条母线平行；④以等腰三角形的底边上的高所在的直线为旋转轴，其余各边旋转一周形成的曲面围成的几何体叫圆锥．其中正确命题的个数为()A．0 B．1 C．2 D．3[解析]本题主要考查圆柱、圆锥、圆台的概念，关键理解它们的形成过程．①用平行于圆锥底面的平面去截圆锥才能得到一个圆锥和一个圆台；②以直角梯形垂直于底边的腰为轴旋转一周可得到圆台；③、④显然都正确．[答案]C类题通法透析几种旋转体的概念解决此类问题一般是利用有关旋转体的定义，所以必须对各种旋转体的概念在理解的基础上熟记．圆柱、圆锥、圆台它们都是由平面图形旋转得到的，圆柱和圆台有两个底面，圆柱的两个底面是半径相等的圆面，圆台的两个底面是半径不等的圆面，圆锥只有一个底面．[变式训练2] 下列命题中：①圆台的母线有无数条，且它们长度相同；②圆台的母线延长后一定相交于一点；③圆台可以看作直角梯形以其垂直于底边的腰所在直线为旋转轴，其余三边旋转形成的曲面围成的几何体；④圆绕其直径所在直线旋转半周形成的曲面围成的几何体是球．正确命题的序号是________．答案 ①②③④解析 由圆台与球的定义可知①②③④都对.例3 如下图，用一个平行于圆锥底面的平面截这个圆锥，截得圆台上下底面半径的比是1∶4，截去的圆锥的母线长是3 cm ，求圆台的母线长．[解] 如图，设圆台的母线长为y cm ，截得的圆锥底面与原圆锥底面半径分别是x cm,4x cm ，根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x ， 解此方程得y ＝9，因此，圆台的母线长为9 cm.类题通法处理旋转体的有关问题一般要作出其轴截面，在轴截面中去寻找各元素的关系，常利用相似三角形去寻找等量关系.[变式训练3]圆锥的轴截面是正三角形，它的面积是3，则圆锥的高与母线的长分别为________．答案3，2解析设正三角形的边长为a，则34a2＝3，∴a＝2.由于圆锥的高即为圆锥的轴截面三角形的高，所以所求的高为32a＝3，圆锥的母线即为圆锥的轴截面正三角形的边，所以母线长为2.易错点⊳空间位置关系考虑不全导致漏解[典例] 已知半径为10的球的两个平行截面的周长分别是12π和16π，试求这两个截面间的距离．[错解] 如图(1)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.在Rt△COE中，OC＝102－62＝8.在Rt△DOF中，OD＝102－82＝6.所以CD＝OC－OD＝8－6＝2.故这两个截面间的距离为2.[错因分析] 错解中由于考虑问题不全面而导致错误．事实上，两个截面既可以在球心的同侧，也可以在球心的两侧．[正解]如图(1)(2)，设球的球心为O，C，D分别为两截面圆的圆心，AB 为经过C，O，D的球的直径，由题意知两截面圆的半径分别为6和8.当两截面在球心同侧时，CD＝OC－OD＝102－62－102－82＝2.当两截面在球心两侧时，CD＝OC＋OD＝102－62＋102－82＝14.所以这两个截面间的距离为2或14.课堂小结1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示.2.处理台体问题常采用还台为锥的补体思想.3.重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想.1．图1是由哪个平面图形旋转得到的()答案D解析图中给出的组合体是一个圆台上接一个圆锥，因此平面图形应由一个直角三角形和一个直角梯形构成，并且上面应是直角三角形，下面应是直角梯形．2．将一个等腰梯形绕着它较长的底边所在的直线旋转一周，所得几何体由下面哪些简单几何体构成()A．一个圆台和两个圆锥B．两个圆台和一个圆锥C．两个圆柱和一个圆锥D．一个圆柱和两个圆锥答案D解析把等腰梯形分割成两个直角三角形和一个矩形，由旋转体的定义可知所得几何体．3．给出下列四个命题：①夹在圆柱的两个平行截面间的几何体还是一个旋转体；②圆锥截去一个小圆锥后剩余部分是圆台；③通过圆台侧面上一点，有无数条母线．其中正确命题的序号是________．答案②解析①错误，没有说明这两个平行截面的位置关系，当这两个平行截面与底面平行时正确，其他情况则结论是错误的，如图(1)；②正确，如图(2)；③错误，通过圆台侧面上一点，只有一条母线，如图(3)．4．圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，用一个平行于底面的平面去截圆台，该平面自上而下分圆台的高的比为2∶1，则这个截面的面积为________．答案9π解析如下图，把圆台还原成圆锥，设截面⊙O1的半径为r，因为圆台上底面面积为π，下底面面积为16π，所以上底面半径为1，下底面半径为4，所以SOSO2＝14.设SO＝x，则SO2＝4x，从而OO2＝3x.因为OO1∶O1O2＝2∶1，所以OO1＝2x，则SO1＝SO1 r＝SOSO1＝x3x，所以r＝3，因此截面的面积是9π.＋OO1＝3x.在△SBO1中，。
高中数学 第一章1.1.1 简单旋转体目标导学 北师大版必
1．1 简单旋转体学习目标重点难点1.通过实物操作，增强学生的直观感知．2．能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类．3．会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．4．会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类.重点：感受大量空间实物及模型，概括出圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征．难点：圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征的概括与简单计算．疑点：一个平面截圆锥就得到圆台，对吗？1．球面、球体(球)以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．预习交流1根据“球”的定义，乒乓球是“球”吗？提示：教学中的球，是球体的简称，它包括球面及所围成的空间部分，所以生活中的乒乓球不是教学中的球，而是球面．2．旋转体一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体．3．圆柱、圆锥、圆台分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．预习交流2怎样判断旋转体的形状？提示：判断旋转体形状的关键是轴的确定，看是由平面图形绕哪条直线旋转所得，同一个平面图形绕不同的轴旋转，所得的旋转体一般是不同的．在旋转过程中观察平面图形的各边所形成的轨迹，应利用空间想象能力，或亲自动手做出平面图形的模型来分析旋转体的形状．预习交流3一个有30°角的直角三角板绕其各条边所在直线旋转所得几何体都是圆锥吗？如果以斜边上的高所在的直线为轴旋转180°将得到什么几何体？提示：如图①和图②所示，绕其直角边所在直线旋转一周围成的几何体是圆锥；如图③所示，绕其斜边所在直线旋转一周所得几何体是两个同底相对的圆锥；如图④所示，绕其斜边上的高所在的直线为轴旋转180°围成的几何体是两个半圆锥．1．对简单旋转体的理解下列叙述正确的个数是( )．①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的几何体是圆台；③用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0 B．1 C．2 D．3思路分析：本题①②为已知旋转轴判断旋转所得的几何体；③是判断旋转体的底面与截面．解答时可先根据圆柱、圆锥、圆台的结构特征详细分析，再结合已知的各个命题的具体条件进行具体分析．解析：①应以直角三角形的一条直角边所在直线为旋转轴旋转才可得到圆锥，以直角三角形的斜边所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图①，故①错；②以直角梯形垂直于底边的腰所在直线为旋转轴旋转可得到圆台，以直角梯形的不垂直于底的腰所在直线为旋转轴旋转得到的几何体如图②，故②错；③用平行于圆锥底面的平面去截圆锥，可得到一个圆锥和一个圆台，用不平行于圆锥底面的平面不能得到，故③错．故选A.答案：A1．有下列命题，其中正确的是( )．①在圆柱的上、下底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线②圆锥顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线④圆柱的任意两条母线所在的直线都是互相平行的A．①②B．②③C．①③D．②④答案：D2．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的旋转体；②球的半径是球面上任意一点与球心的连线；③球的直径是球面上任意两点间的连线；④用一个平面截一个球，得到的是一个圆．其中正确的序号是______．答案：①②对旋转体定义的理解要准确，认清不同的旋转轴、截面的作用有所不同，判断时要抓住几何体的结构特征，认真分析、对比判别．2．简单旋转体中有关量的计算圆台侧面的母线长为2a ，母线与轴的夹角为30°，一个底面的半径是另一个底面半径的2倍．求两底面的半径与两底面面积之和．思路分析：解有关圆台问题时，常常将其补成圆锥解决，作出圆锥的轴截面利用直角三角形可解．解：设圆台上底面半径为r ，则下底面半径为2r ，如图，∠ASO ＝30°，在Rt △SA ′O ′中，rSA ′＝sin 30°，∴SA ′＝2r .在Rt △SAO 中，2rSA＝sin 30°，∴SA ＝4r ，∴SA －SA ′＝AA ′，即4r －2r＝2a ，r ＝a ，∴S ＝S 1＋S 2＝πr 2＋π(2r )2＝5πr 2＝5πa 2，∴圆台上底面半径为a ，下底面半径为2a ，两底面面积之和为5πa 2.1．用一个平面截半径为5 cm的球，球心到截面距离为4 cm，求截面圆的面积．解：如图，设AK为截面圆的半径，则OK⊥AK.在Rt△OAK中，OA＝5 cm，OK＝4 cm，∴AK＝OA2－OK2＝52－42＝3(cm)，∴截面圆的面积为π·AK2＝9π(cm2)．2．将一个边长为a的正方形卷成圆柱侧面，求此圆柱的轴截面的面积．解：设圆柱底面半径为r，则2πr＝a，r＝a2π，故轴截面的长为a，宽为aπ，面积为aπ·a＝a2π.1.计算简单旋转体中有关量的解题步骤：2．解有关球的问题时，常用如下性质：(1)用任意平面截球所得的截面是一个圆面，球心和截面圆圆心的连线与这个截面垂直．(2)如果分别用R和r表示球的半径和截面圆的半径，用d表示球心到截面的距离，则R2＝r2＋d2.球的有关计算问题，常归结为解这个直角三角形．1．以下几何体中符合球的结构特征的是( )．A．足球B．篮球C．乒乓球D．铅球解析：球包括球面及球体内部(即实心)，足球、篮球、乒乓球通常指球面，铅球才是球体．答案：D2．将如图所示的直角梯形绕直线l旋转一周，得到的立体图形是( )．答案：C3．如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )．A．一个球体B．一个球体中间挖去一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体答案：B4．以等腰梯形的对称轴为轴旋转一周，所形成的旋转体是________．答案：圆台5．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形，且其面积是Q，求此圆柱的底面半径．解：设圆柱的底面半径为r，则母线长为2r.∴4r2＝Q，解得r＝Q 2，∴此圆柱的底面半径为Q 2.。
1.1.1简单旋转体
1．1简单的旋转体学习目标1.了解简单旋转体的概念.2.明确旋转体的结构特征.导学案1、简单旋转体：思考：（1）你接触到的几何体中，你认为哪些是旋转体？（2）球、圆柱、圆锥、圆台我们都是我们即将认识的旋转体，为什么称之为旋转体？2、球解释以下名词：球面、球体、球半径、球直径、大圆、小圆、球面距离。
思考：你使用过哪些球体？3、圆柱、圆锥、圆台（1）分别做出圆柱、圆锥、圆台的模型，并指出它们各自的底面、侧面、高、母线。
（2）用你熟悉的平面图形以它的一条边为轴旋转，能得到哪些旋转体？（3）圆台还可以怎么得到？诱思案1. A、B为球面上相异两点，则通过A、B所作的大圆个数为（）A、1 个B、无数个C、一个也没有D、1个或无数个2、下列说法中，其中正确说法的序号是_______________________.(1)球的半径是球面上任意一点与球心的连线段；(2)球的直径是球面上任意两点间的连线段；(3)用一个平面截一个球，得到的是一个圆面；(4)不过球心的截面截得球面的圆叫小圆;(5)球面是与定点的距离等于定长的点的集合;(6)球的任意两个大圆的交点的连线是球的直径;3、平面上到定点距离相等的点构成的图形是_________________ ，空间中到定点距离相等的点构成的图形是________________________ 。
4、下列说法中正确的是（）A、圆台是直角梯形绕其一边旋转而成的B、圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成的C、圆柱不是旋转体D、圆台可以看做是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的E、圆台的所有平行于底面的截面都是圆面5、一平面图形如右图，绕轴（虚线）旋转一周，能得到那些几何体？请画出它们：达标检测1、下列说法正确的是（）A、圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线就是圆锥的母线。
B、圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；C、用一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；D、通过圆台侧面上一点，有无数条母线；E、矩形绕任意一边旋转，都可以得到圆柱；F、圆柱的母线是连接上下底面的任何一条线段。
15-16版1.1 简单旋转体(创新设计)
§1 简单几何体1．1 简单旋转体[学习目标] 1.通过实物操作，增强直观感知.2.能根据几何体的结构特征对空间物体进行分类.3.会用语言概述圆柱、圆锥、圆台、球的结构特征.4.会表示有关几何体以及柱、锥、台的分类．[知识链接](1)如图①，在直角三角形ABC 中，sin B ＝AC AB ，cos B ＝BC AB. (2)如图②，圆内接三角形ABC ，AC 过圆心，则∠B ＝90°.(3)如图③，在△ABC 中，DE ∥BC ，则AD DB ＝AE EC. [预习导引]1．球面、球体(球) 以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面，球面所围成的几何体叫作球体，简称球．2．旋转体 一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫旋转面，封闭的旋转面围成的几何体叫旋转体．3．圆柱、圆锥、圆台 分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．要点一旋转体的结构特征例1判断下列各命题是否正确(1)圆柱上底面圆上任一点与下底面圆上任一点的连线都是圆柱的母线；(2)一直角梯形绕下底所在直线旋转一周，所形成的曲面围成的几何体是圆台；(3)圆锥、圆台中过轴的截面是轴截面，圆锥的轴截面是等腰三角形，圆台的轴截面是等腰梯形；(4)到定点的距离等于定长的点的集合是球．解(1)错．由圆柱母线的定义知，圆柱的母线应平行于轴．(2)错．直角梯形绕下底所在直线旋转一周所形成的几何体是由一个圆柱与一个圆锥组成的简单组合体，如图所示．(3)正确．(4)错．应为球面．规律方法 1.圆柱、圆锥、圆台和球都是一个平面图形绕其特定边(弦)旋转而成的几何体，必须准确认识各旋转体对旋转轴的具体要求．2．只有理解了各旋转体的生成过程，才能明确由此产生的母线、轴、底面等概念，进而判断与这些概念有关的命题的正误．跟踪演练1下列叙述中正确的个数是()①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台．A．0B．1C．2D．3答案 A解析①应以直角三角形的一条直角边所在直线为轴旋转才可以得到圆锥；②以直角梯形垂直于底边的一腰所在直线为轴旋转才可以得到圆台；③它们的底面为圆面；④用平行于圆锥底面的平面截圆锥才可得到一个圆锥和一个圆台．故四句话全不正确．要点二有关几何体的计算问题例2如图所示，用一个平行于圆锥SO底面的平面截这个圆锥，截得圆台上、下底面的面积之比为1∶16，截去的圆锥的母线长是3cm ，求圆台O ′O 的母线长． 解 设圆台的母线长为l cm ，由截得圆台上、下底面面积之比为1∶16，可设截得圆台的上、下底面的半径分别为r,4r .过轴SO 作截面，如图所示．则△SO ′A ′∽△SOA ，SA ′＝3cm.∴SA ′SA ＝O ′A ′OA . ∴33＋l ＝r 4r ＝14. 解得l ＝9(cm)，即圆台的母线长为9cm.规律方法 用平行于底面的平面去截柱、锥、台等几何体，注意抓住截面的性质(与底面全等或相似)，同时结合旋转体中的经过旋转轴的截面(轴截面)的性质，利用相似三角形中的相似比，构设相关几何变量的方程组而得解．跟踪演练2 一个圆台的母线长为12cm ，两底面面积分别为4πcm 2和25πcm 2.求：(1)圆台的高；(2)截得此圆台的圆锥的母线长．解 如图，将圆台恢复成圆锥后作其轴截面，设圆台的高为h cm ，截得该圆台的圆锥的母线为x cm ，由条件可得圆台上底半径r ′＝2cm ，下底半径r＝5cm.(1)由勾股定理得h ＝122－(5－2)2＝315(cm)．(2)由三角形相似得：x －12x ＝25，解得x ＝20 (cm)． 答 (1)圆台的高为315cm ，(2)截得此圆台的圆锥的母线长为20cm.1．下图是由哪个平面图形旋转得到的( )答案 D2．圆柱的母线长为10，则其高等于( )A ．5B ．10C ．20D ．不确定答案 B解析圆柱的母线长和其高相等．3．下面几何体的截面一定是圆面的是()A．圆台B．球C．圆柱D．圆锥答案 B解析截面可以从各个不同的部位截取，截得的截面都是圆面的几何体只有球．4．下列命题：①通过圆台侧面上一点，有无数条母线；②圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线；③在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线相互平行．其中正确的是()A．①②B．②③C．①③D．②④答案 D解析①③错误，②④正确．5．一个圆锥的母线长为20cm，母线与轴的夹角为30°，则圆锥的高为________cm.答案10 3解析h＝20cos30°＝103(cm)．1.圆柱、圆锥、圆台的关系如图所示．2．处理台体问题常采用还台为锥的补体思想．3．重视圆柱、圆锥、圆台的轴截面在解决几何量中的特殊作用，切实体会空间几何平面化的思想．。
精--高一数学简单旋转体优秀教案.doc
高一数学简单旋转体教课设计第一章：立体几何初步 1.1 简单旋转体一、教课目的 1．知识与技术（1）经过实物操作，加强学生的直观感知。
（ 2）能依据几何构造特点对空间物体进行分类。
（3）会用语言概括球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的构造特点。
（ 4）会表示有对于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（ 1）让学生经过直观感觉空间物体，从实物中归纳出球、柱、锥、台的几何构造特点。
（ 2）让学生观察、议论、归纳、归纳所学的知识。
3．感情态度与价值观（ 1）使学生感觉空间几何体存在于现实生活四周，加强学生学习的踊跃性，同时提升学生的察看能力。
（2）培育学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教课要点、难点要点：让学生感觉大批空间实物及模型、归纳出球、柱、锥、台的构造特点。
难点：球、柱、锥、台的构造特点的归纳。
三、教课器具（1）学法：察看、思虑、沟通、议论、归纳。
（ 2）实物模型、投影仪四、教课思路（一）创建情形，揭露课题 1．教师提出问题：在我们生活四周中有许多有特点的建筑物，你能举出一些例子吗？这些建筑的几何构造特点怎样？指引学生回想，举例和互相沟通。
教师对学生的活动实时赐予评论。
2．所举的建筑物基本上都是由这些几何体组合而成的，（展现拥有球、柱、锥、台构造特点的空间物体），你能经过察看。
依据某种标准对这些空间物体进行分类吗？这是我们所要学习的内容。
（二）、研探新知1．指引学生察看物体、思虑、沟通、议论，对物体进行分类，辩解棱柱、圆柱、棱锥。
2．察看棱柱的几何物品以及投影出棱柱的图片，它们各自的特点是什么？它们的第一章：立体几何初步 1.1 简单旋转体一、教课目的 1．知识与技术（1）经过实物操作，加强学生的直观感知。
（2）能依据几何构造特点对空间物体进行分类。
（ 3）会用语言概括球、圆柱、圆锥、圆台、棱柱、棱锥、棱台的构造特点。
（ 4）会表示有对于几何体以及柱、锥、台的分类。
2．过程与方法（ 1）让学生经过直观感觉空间物体，从实物中归纳出球、柱、锥、台的几何构造特点。
高一数学简单旋转体教案
高一数学简单旋转体教案教学目标通过本教案的学习，学生应能够：1.了解旋转体的定义和特点；2.掌握计算简单旋转体的体积和表面积的方法；3.运用所学知识解决与简单旋转体相关的实际问题。
教学重点1.旋转体的定义和特点；2.计算简单旋转体的体积和表面积的方法。
教学难点1.运用所学知识解决与简单旋转体相关的实际问题。
教学准备1.教学工具：黑板、白板、粉笔、投影仪；2.教学素材：简单旋转体的图片和实例。
教学过程导入新知识（5分钟）介绍旋转体的概念：旋转体是由一个曲线绕着一条直线旋转一周所形成的立体图形。
旋转体的特点是：体积由底面积和位于底面上的点的高所决定，表面积由曲线长决定。
知识讲解（20分钟）1.解释旋转体的体积计算方法：对于一个平面曲线绕着一条直线旋转一周形成的旋转体，其体积可以通过计算底面积与高的乘积得到，即 $V = S \\cdot h$。
2.解释旋转体的表面积计算方法：对于一个平面曲线绕着一条直线旋转一周形成的旋转体，其表面积可以通过计算曲线长与高的乘积得到，即 $A = l \\cdot h$。
理论运用（30分钟）1.讲解计算旋转体的体积的例题，并由教师带领学生一起解答。
2.讲解计算旋转体的表面积的例题，并由教师带领学生一起解答。
3.带领学生思考如何运用所学知识解决实际问题，如计算一个旋转水杯的体积和表面积。
练习和巩固（15分钟）在黑板上列出几道练习题目，让学生分组进行解答，并相互讨论。
拓展应用（15分钟）让学生分组进行探究性学习，结合实际生活中的例子，探讨旋转体应用的更多场景，并让学生汇报他们的探究结果。
归纳总结（10分钟）让学生归纳总结本节课所学内容，并进行讲解。
同时，回顾课堂上解答过的例题和练习题，让学生复习巩固所学知识。
课后作业1.完成课堂上未完成的练习题；2.思考和探究旋转体在实际生活中的更多应用场景，并写一篇小结。
教学反思通过本节课的教学，学生对于旋转体的定义和特点有了初步的了解，掌握了计算旋转体体积和表面积的方法，并能够运用所学知识解决相关的实际问题。
北师大版必修2 1.1.1简单旋转体
4、一个平面可以把空间分成两部分. (
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§1.简单几何体
导入：三维空间是人类生存的现实空间，生活
中蕴涵着丰富的几何体，我们的生活空间有各 式各样的几何体，请大家欣赏下列图形。
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我们最熟悉的几何体是长方体。在如图1-1所示
的长方体中，相对的两个面ABCD和A′B′C′D′所 在的平面是无公共点的，我们称无公共点的两 个平面是平行的；棱AA′所在直线和棱AB、棱 AD分别垂直，事实上，棱AA′所在直线与 ABCD所在平面内任意一条直线都垂直，我们 把直线和平面的这种关系称为直线与平面垂直. 长方体是数学中最基本的几何图形，在后面的 学习中，将发挥重要作用.
29
例题讲解
直角三角形绕其一边旋转一周所形 成的几何体是否一定是圆锥． [分析] 概念辨析题要紧扣定义，抓准差 别进行判断，圆锥定义中要求以直角三角 形的一条直角边所在直线为轴旋转． [解析] 不一定，当绕其直角边旋转时形 成圆锥，当绕其斜边旋转时形成同底的两 个圆锥．
[例1]
30
13
一条平面曲线绕它所在的平面内的
一条直线旋转所形成的曲面叫做旋 转面； 封闭的旋转面围成的几何体叫做旋 转体。 显然，球面是旋转面，球体是旋转 体
14
二、圆柱、圆锥、圆台
问题1:如图所示：已知线段AB垂直于直线L
于A点，如果把线段AB绕着点A旋转一周， 且在线段AB在旋转的过程中始终与直线L垂 直，那么线段AB在旋转的过程中所形成的图 形会是什么呢？
β α 记为：平面α C O A 记为：平面ABC B 记为：平面圆O
6
A
B 记为：平面ABCD 或平面AC、平面BD
记为：平面β
练习1、判断下列各题的说法正确与否，在正确的说法的 题号后打 ，否则打 : 1、一个平面长可以为4 米，宽 可以为2 米； 2、平面没有边界，但有厚度； 3、一个平面的面积是 25 cm 2； ( ( ) ) ) ( )
1.1简单旋转体
《简单旋转体》一、教学目标：1、通过直观图形演示认识圆柱、圆锥、圆台的生成过程，感受从平面到立体的延伸过程；2、通过具体的练习，加深学生对圆柱、圆锥、圆台的结构特点及基本性质的理解；3、培养学生作图解题的习惯；4、体会解决立体几何问题的基本思想：将立体图形问题转化平面图形问题。
二、教学重点、难点：重点是圆柱、圆锥、圆台的性质；难点是转化思想的运用。
三、教学过程：1、基础回顾：2、基础训练：1）如果圆锥的底面半径为，高为2，则它的母线长是（）A、1B、C、D、22）以下命题：①以直角三角形的一边为轴旋转所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④一个平面截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台；其中正确命题的个数为（）A、0B、1C、2D、33）底面半径为2且底面水平放置的圆锥被过高的中点平行于底面的平面所截，则截得的截面圆的面积为（）A、B、2 C、3 D、43、巩固训练：4）一个圆台的底面面积分别为4 和25 ，且母线与底面半径的夹角为45°，求圆台的高及截得该圆台的圆锥的母线长。
解：作图：分析：5）一个正方体内接于高为4，底面半径为3的圆锥，求正方体的棱长。
解：作图：分析：6）圆锥的底面半径为1，母线长为4，从圆锥底面圆周上一点A拉一条绳子绕圆锥侧面一周再回到A，求 1）所需绳子的最短长度；2）在绳子最短时，底面圆周上的点到绳子的最大距离。
解：作图：分析：4、课后作业：1、下列命题：①在圆柱上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线；②圆锥顶点和底面圆周上任意一点的连线都是圆锥的母线；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是母线；其中正确的个数为（）A、0B、1C、2D、32、正方体的全面积为a,它的顶点都在球面上，则这个球的直径为________________.3、圆台的上、下底面半径分别为1和2，母线长为2，求这个圆台的高，以及母线与下底面半径的夹角。
高中数学 第一章 立体几何初步 1.1 简单几何体 1.1.1 简单旋转体学案(无答案)北师大版必修
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1。
1.1简单几何体学习目标：通过实物模型认识柱、锥、台、球的结构特征。
理解简单几何体的结构特征及有关概念重点难点：让学生感知几何体的结构特征及了解空间几何体的分类知识链接学习过程:一、问题1①.球的定义；②旋转面、旋转体的定义； __________________问题2圆柱、圆锥、圆台的定义； _________________①。
球面球体有何差别？________________②圆与球有何差别 ________________③绕直角三角形某一边的几何体一定是圆锥吗？④圆台是一个旋转体,试探究，除了通过旋转而得到圆台外，还可以怎样得到圆台？问题3多面体的概念： ,其中、、是多面体。
①棱柱：两个面，其余各面都是 ,并且每相邻两个四边形的公共边都，这些面围成的几何体叫作棱柱②棱锥：有一个面是，其余各面都是的三角形,这些面围成的几何体叫作棱锥③棱台：用一个棱锥底面的平面去截棱锥, ,叫作棱台.探究：⑴试分析多面体与旋转体有何差别⑵有两个面互相平行，其余各面都是平行四边形的几何体一定是棱柱吗？二、典型例题例1：判断下列语句是否正确.⑴有一个面是多边形，其余各面都是三角形的几何体是棱锥。
高中数学第1章立体几何初步1_1_1简单旋转体学案北师大版必修2
1．1 简单旋转体1．以半圆的直径所在的直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫作球面．球面所围成的几何体叫作球体，简称球．半圆的圆心叫作球心．连接球心和球面上任意一点的线段叫作球的半径．连接球面上两点并且过球心的线段叫作球的直径．2．分别以矩形的一边、直角三角形的一条直角边、直角梯形垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫作圆柱、圆锥、圆台．在旋转轴上这条边的长度叫作它们的高，垂直于旋转轴的边旋转而成的圆面叫作它们的底面，不垂直于旋转轴的边旋转而成的曲面叫作它们的侧面，无论转到什么位置，这条边都叫作侧面的母线．圆台也可以看作是用平行于圆锥底面的平面截这个圆锥而得到的．3．一条平面曲线绕着它所在的平面内的一条定直线旋转所形成的曲面叫作旋转面；封闭的旋转面围成的几何体叫作旋转体．判断正误(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)在圆柱的上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆柱的母线．( )(2)圆锥的顶点与底面圆周上任意一点的连线是圆锥的母线．( )(3)在圆台上、下两底面的圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线. ( )(4)圆柱的任意两条母线相互平行．( )(5)球和球面是两个不同的概念．球面指球的表面，而球不仅包括球的表面，还包括球面包围的空间．( )[答案] (1)×(2)√(3)×(4)√(5)√题型一旋转体的结构特征【典例1】给出下列说法：①圆柱的底面是圆面；②经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③圆台的母线长大于高；④夹在圆柱的两个截面间的几何体还是一个旋转体；⑤圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆的直径．其中说法正确的是________．[思路导引] 根据圆柱、圆台、圆锥的几何特征判断．[解析] ①正确，圆柱的底面是圆面；②正确，如图(1)所示，经过圆柱任意两条母线的截面是一个矩形面；③正确，圆台的上下底面半径、母线及高构成一个直角梯形，母线长大于高；④不正确，圆柱夹在两个不平行于底面的截面间的几何体不是旋转体；⑤正确，如图(2)所示，圆锥侧面的母线长有可能大于圆锥底面圆半径的2倍(即直径)．[答案] ①②③⑤(1)判断简单旋转体结构特征的方法①明确由哪个平面图形旋转而成．②明确旋转轴是哪条直线．(2)简单旋转体的轴截面及其应用①简单旋转体的轴截面中有底面半径、母线、高等体现简单旋转体结构特征的关键量．②在轴截面中解决简单旋转体问题体现了化空间图形为平面图形的转化思想．[针对训练1] 下列命题：①圆柱的轴截面是过母线的截面中最大的一个；②用任意一个平面去截圆锥得到的截面一定是一个圆；③圆台的任意两条母线的延长线，可能相交也可能不相交；④球的半径是球面上任意一点与球心的连线段．其中正确的个数为( )A．0 B．1 C．2 D．3[解析] ②错误，截面可能是一个三角形；③错误，圆台的任意两条母线的延长线必相交于一点；①④正确．故选C.[答案] C题型二旋转体的有关计算【典例2】已知一个圆台的上、下底面半径分别是1 cm、2 cm，截得圆台的圆锥的母线长为12 cm，求这个圆台的母线长．[思路导引] 圆锥、圆台的轴截面中有母线与上、下底面圆半径．因此可以考虑用轴截面解答．[解] 如图是几何体的轴截面，由题意知AO＝2 cm，A′O′＝1 cm，SA＝12 cm.由A′O′AO＝SA′SA，得SA′＝A′O′AO·SA＝12×12＝6(cm)，于是AA′＝SA－SA′＝6(cm)，故这个圆台的母线长为6 cm.旋转体中有关底面半径、母线、高的计算，可利用轴截面求解，即将立体问题平面化．对于圆台的轴截面，可将两腰延长相交后在三角形中求解．这是解答圆台问题常用的方法．[针对训练2] 用一个平行于圆锥底面的平面截该圆锥，截得圆台的上、下底面半径之比是1∶4，截去的小圆锥的母线长是3 cm，则圆台的母线长________cm.[解析] 如图，设圆台的母线长为y，小圆锥底面与被截的圆锥底面半径分别是x,4x.根据相似三角形的性质得33＋y＝x4x，解此方程得y＝9.所以圆台的母线长为9 cm.[答案] 91．关于下列几何体，说法正确的是( )A．图①是圆柱B．图②和图③是圆锥C．图④和图⑤是圆台D．图⑤是圆台[解析] 图①与图④中几何体两个底面不互相平行，所以它们不是圆柱和圆台．图②与图③中几何体的过旋转轴的截面(轴截面)不是等腰三角形，所以它们不是圆锥．图⑤是圆台．[答案] D2．下列命题正确的个数为( )①圆柱的轴是过圆柱上、下底面圆的圆心的直线；②矩形的任意一条边都可以作为轴，其他边绕其旋转围成圆柱；③矩形绕任意一条直线旋转，都可以围成圆柱．A．1 B．2 C．3 D．4[解析]3．球的直径有( )A．一条 B．两条 C．三条 D．无数[解析] 经过球心且端点在球面上的线段都是球的直径，则球有无数条直径．[答案] D4．关于圆台，下列说法正确的是________．①两个底面平行且全等；②圆台的母线有无数条；③圆台的母线长大于高；④两底面圆心的连线是高．[解析] 圆台的上底面和下底面是两个大小不同的圆，则①不正确，②③④正确．[答案] ②③④课后作业(一)(时间45分钟)学业水平合格练(时间20分钟)1．下列说法：①以直角三角形的一边所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆锥；②以直角梯形的一腰所在的直线为旋转轴，旋转一周得到的旋转体为圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④分别以矩形两条不相等的边所在直线为旋转轴，将矩形旋转一周，所得的两个圆柱是不同的圆柱．其中正确的有( )A．1个 B．2个 C．3个 D．4个[解析] 圆锥是以直角三角形的一条直角边所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以①是错误的；圆台是以直角梯形中垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴旋转而成的，所以②是错误的；③显然是正确的；由圆柱的定义可知，随便以矩形的哪条边所在的直线为旋转轴，将矩形旋转一周所得到的旋转体都是圆柱，但显然不是同一圆柱，所以④正确，所以答案选B.[答案] B2．下列说法不正确的是( )A．圆柱的侧面展开图是一个矩形B．圆锥过轴的截面是一个等腰三角形C．直角三角形绕它的一条边旋转一周形成的曲面围成的几何体是圆锥D．圆台平行于底面的截面是圆面[解析] 由圆锥的概念知直角三角形绕它的一条直角边所在直线旋转一周所围成的几何体是圆锥，即旋转轴为直角三角形的一条直角边所在的直线，因而C错．[答案] C3．一个圆锥的母线长为5，底面半径为3，则该圆锥的轴截面的面积为( )A ．10B ．12C ．20D ．15[解析] 圆锥的轴截面是等腰三角形、两腰为圆锥的母线、底边为圆锥的底面圆的直径，所以轴截面的面积S ＝12×2×3×52－32＝12，故选B.[答案] B4.如果圆锥的侧面展开图是半圆，那么这个圆锥的顶角(圆锥轴截面中两条母线的夹角)是( )A ．30°B ．45°C ．60°D ．90°[解析] 设圆锥底面半径为r ，母线长为l ，则有2πr ＝12·2πl .∴2r ＝l ，即△ABC 为等边三角形，故顶角为60°. [答案] C5．用长为4，宽为2的矩形做侧面围成一个圆柱，此圆柱轴截面面积为( ) A ．8 B.8π C.4π D.2π[解析] 若4为底面周长，则圆柱的高为2，此时圆柱的底面直径为4π，其轴截面的面积为8π；若底面周长为2，则圆柱高为4，此时圆柱的底面直径为2π，其轴截面面积为8π.[答案] B6．一圆锥的母线长为6，底面半径为3，用该圆锥截一圆台，截得圆台的母线长为4，则圆台的另一底面半径为________．[解析] 作轴截面如图，则r 3＝6－46＝13， ∴r ＝1. [答案] 17．一个与球心距离为1的平面截球所得的圆面面积为π，则球的直径为________． [解析] 设球心到平面的距离为d ，截面圆的半径为r ，则πr 2＝π，∴r ＝1.设球的半径为R ，则R ＝d 2＋r 2＝2，故球的直径为2 2.[答案] 2 2 8．有下列说法：①球是以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体； ②球的半径是球面上任意一点与球心的连线； ③球的直径是球面上任意两点间的连线； ④用一个平面截一个球，得到的是一个圆． 其中正确的序号是________．[解析] 球的直径过球心，③不正确；用一个平面截一个球，得到一个圆面，④不正确． [答案] ①②9．已知一个圆柱的轴截面是一个正方形且其面积是Q ，求此圆柱的底面半径. [解] 设圆柱底面半径为r ，母线为l ，则由题意得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＝l ，2r ·l ＝Q ，解得r ＝Q2.所以此圆柱的底面半径为Q2.10．若一个圆锥的母线长为12，其轴截面为等边三角形，求这个圆锥的底面圆的面积及圆锥的高．[解] ∵圆锥的轴截面是一个等边三角形，∴圆锥的底面圆的直径为12，∴半径R＝6，∴圆锥的底面圆的面积S＝πR2＝36π，圆锥的高h＝122－62＝6 3.应试能力等级练(时间25分钟)11．下面说法正确的是( )A．平行于圆锥某一母线的截面是等腰三角形B．平行于圆台某一母线的截面是等腰梯形C．过圆锥顶点的截面是等腰三角形D．过圆台上底面中心的截面是等腰梯形[解析] 平行于圆锥一条母线的截面不是多边形，因为它的边界有曲线段，只有过母线且过顶点作截面才会出现等腰三角形，故A错误，C正确；过圆台一个底面中心的截面若不经过另一底面，截面也不是多边形，更谈不上等腰梯形，只有过轴的平面才截得等腰梯形，故B、D都不正确．故选C.[答案] C12．如图所示的几何体是从一个圆柱中挖去一个以圆柱的上底面为底面，下底面圆心为顶点的圆锥而得到的．现用一个平面去截这个几何体，若这个平面平行于底面，那么截面图形为( )[解析] 截面图形应为图C所示的圆环面．[答案] C13.如图所示的平面中阴影部分绕中间轴旋转一周，形成的几何体形状为( )A．一个球体B．一个球体中间挖出一个圆柱C．一个圆柱D．一个球体中间挖去一个长方体[解析] 外面的圆旋转形成一个球，里面的长方形旋转形成一个圆柱．所以形成的几何体为一个球体挖出一个圆柱．[答案] B14．一个半径为5 cm的球，被一平面所截，球心到截面圆心的距离为4 cm，则截面圆面积为________cm 2.[解析] 如图所示，过球心O 作轴截面，设截面圆的圆心为O 1，其半径为r .由球的性质，OO 1⊥CD .在Rt △OO 1C 中，R ＝OC ＝5，OO 1＝4，则O 1C ＝3，所以截面圆的面积S ＝π·r 2＝π·(O 1C )2＝9π.[答案] 9π15．一个圆锥的底面半径为2 cm ，高为6 cm ，在圆锥内部有一个高为x cm 的内接圆柱．(1)用x 表示圆柱的轴截面面积S;(2)当x 为何值时，S 最大？[解] (1)如图，设圆柱的底面半径为r cm ，则由r 2＝6－x 6，得r ＝6－x 3， ∴S ＝－23x 2＋4x (0<x <6)．(2)由S ＝－23x 2＋4x ＝－23(x －3)2＋6， ∴当x ＝3时，S max ＝6 cm 2.。
39简单旋转体
第一章立体几何初步§1.1简单旋转体导学案【使用说明】1、预习教材P3-P4页 在规定时间完成预习学案【学习目标】1.会用语言概述球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征。
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3.提高学生的观察能力 培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
4..通过自主学习、合作讨论探究 体验学习的快乐.5.小组合作探究时 激情投入.一、【自学、预学提纲】1.(1)旋转面:定义:一条平面曲线绕着________________________________形成的曲面(2)旋转体:定义: _____________________________________________________2.(1) 球面:定义: 以__________所在直线为旋转轴 半圆面旋转一周形成的_______ (2) 球体:定义: ________________________________________简称________球的半径: _______________________________________球的直径: ___________________________________________特征 ①球的截面是____ ②球面上任意一点到球心的距离等于______3.圆柱:以______的一边所在的直线为轴旋转,其余三边旋转所成的曲面所围成的几何体.特征 ①底面是__________ ②母线与轴平行 ③轴与底面圆的半径垂直 ④侧面展开图是一个_______。
4圆锥:以_________的一条直角边为旋转轴,旋转一周所成的曲面所围成的几何体.特征 ①底面是一个____ ②母线交于圆锥的顶点 ③侧面展开图是一个_____。
5圆台:以___________________________________________ _________围成的几何体;圆台也可以看成用一个平行于圆锥底面的平面去截圆锥,截面和底面之间的部分.判断台体的方法 ○1两底面平行 ○2侧棱延长线交于一点。
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§1.1 简单旋转体
课前预习学案
一、预习目标
通过图形探究球、圆柱、圆锥、圆台的结构特征
二、预习内容
1.旋转面、旋转体的概念：
一条____________________绕它所在平面内的一条________________所形成的曲面称为旋转面；__________的旋转面围成的几何体称为旋转体。
叫旋转体的轴。
2.球:以半圆的_______________为旋转轴，将半圆旋转所形成的曲面叫
________，_______所围成的几何体叫做________，半圆的圆心叫________，连
接_________________上任意一点的线段叫做________。
3.圆柱、圆锥和圆台：分别以矩形的一边，直角三角形的一条直角边，直角梯形
垂直于底边的腰所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何
体，分别叫做________、________、________。
旋转轴称为它们的_____，在轴上这条边的长度称为它们的_____。
垂直于轴的边旋转而成的圆面称为它们的________，平行于轴的边旋转而成的曲面称为它们的________，平行于轴的边在旋转中的任何位置称为侧面的________。
圆柱、圆锥和圆台都是_______________。
圆台也可看作用一_________圆锥底面的平面去截圆锥，___________之间的部分。
课内探究学案
一、学习目标
1.会用语言概述球、圆柱、圆锥、棱台的结构特征。
2.能根据几何结构特征对空间物体进行分类。
3.提高学生的观察能力；培养学生的空间想象能力和抽象括能力。
二、教材分析
学习重点：让学生感受大量空间实物及模型、概括出柱、锥、台、球的结构特征。
学习难点：柱、锥、台、球的结构特征的概括。
三、学法指导
观察、思考、交流、讨论、概括。
四、学习过程
（一）研探新知
1.球
（1）表示：球用___________________表示，
右图中球表示为__________。
(2)截面
用一个平面去截一个球，截面是_______。
P
O
O'
R
r
d
设球的半径为R，截面圆半径为r，球心与截面圆圆心的距离为d，则R、r、d三者之间的关系是__________________________。
2.圆柱
(1)表示
圆柱用____________________表示，
右图中圆柱表示为_____________。
(2)结构特征
A.底面是___________________的圆面；
B.侧面展开图是____________；
C.母线_______________；
D.平行于底面的截面是____________________的圆面；
E.轴截面是_________________。
3圆锥
（1）表示
圆锥用表示________________表示，
右图中圆锥表示为______________。
(2)结构特征
A底面是________；
B.侧面展开图是_______________________；
C.母线相交于_____________；
D.平行于底面的截面是______________________的圆面；
E..轴截面是______________________。
3圆台
(1)表示
圆台用__________________表示，右图中圆台表示为_________。
(2)结构特征
A.底面是___________________圆面；
B.侧面展开图是________；
C.母线延长后________________；
D.平行于底面的截面是____________________________的圆面；
E.轴截面是________________________。
（二）典例精讲
题型一球的概念
例1 下列说法正确的是( )
①球是以任意一条直线为旋转轴，将半圆旋转所形成的几何体；②用任一平面去截球，截面是一个圆；③过球的球心做球的截面，所得截面的半径与球的半径相等。
A．①B．② C．③D．②③
点拨:利用球的概念解题。
规律技巧掌握球的概念是解决此类问题的关键。
变式训练1球的半径有________条，直径有________条，用任意平面截球，截面为________。
题型二圆柱、圆台与圆锥的概念
例2 下列叙述中正确的个数是( )
①以直角三角形的一边为轴旋转一周所得的旋转体是圆锥；②以直角梯形的一腰为轴旋转一周所得的旋转体是圆台；③圆柱、圆锥、圆台的底面都是圆；④用一个平面去截圆锥，得到一个圆锥和一个圆台。
A．0 B．1 C．2 D．3
点拨利用圆柱、圆锥、圆台的概念解题。
规律技巧掌握圆柱、圆锥、圆台的概念及特征是解决此类问题的关键。
变式训练2 下列说法正确的是( )
①圆台可以由任意一个梯形绕其一边旋转形成；②用任意一个与底面平行的平面截圆台，截面是圆面；③在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线；④圆柱的任意两条母线平行，圆锥的任意两条母线相交，圆台的任意两条母线延长后相交．A．①②B．②③C．①③D．②④
例3 一个直角梯形的上、下底边的长分别为15和25，一腰与下底成60°角，以它的一条直角腰为轴旋转一周得到一圆台，求圆台的母线长。
点拨:直角梯形与底边不垂直的腰的长度即为圆台的母线长。
解:
规律技巧(1)由圆台的生成规律，可知圆台的母线长即为直角梯形的非直角腰长．
(2)处理旋转体的有关问题，一般要作出轴截面，在轴截面中寻找各元素的关系．
变式训练3 已知一个圆台上、下两底面面积分别为π和4π，其轴截面的面积为9，则该圆台的高为________。
题型三简单几何体的综合运用
例4.已知ABCD为正方形，分别以AB，AC所在的直线为旋转轴，将正方形绕旋转轴所在的直线旋转一周，判断所形成的几何体的形状。
点拨对于该题可从旋转的方法加以分析。
解析：
规律技巧平面图形旋转时旋转轴不同旋转所得到的几何体也不同．
变式训练5.在直角三角形中，以其斜边所在直线为轴旋转一周所得的旋转体是( ) A．圆锥B．圆柱C．圆台D．以上都不对
（三）课时小结
球，圆柱，圆锥，圆台是简单的旋转体，它们是日常生活中常见的几何体。
（四）作业布置
预习：课本第4—5页§1.2简单多面体
提纲：多面体，棱柱、棱锥、棱台的定义各是什么？棱柱、棱锥、棱台如何表示，结构特征各是什么？
五．课后练习与提高
1．下面几何体的截面一定是圆面的是()
A．圆柱B．圆锥C．圆台D．球
2．下列说法正确的是()
A．圆锥是直角三角形绕其一边旋转而成
B．圆柱的任意两条母线所在直线互相平行
C．用一平面截圆锥，截面与底面之间的部分为圆台
D．在圆台上、下底面圆周上各取一点，则这两点的连线是圆台的母线
3．如图所示，观察下面四个几何体，其中判断正确的是()
A．①是圆台B．②是圆台C．③是圆锥D．④是圆台
4．圆台的两底面半径分别为2cm和5cm，母线长为310cm，则其轴截面面积为_______。
六.学后反思。