多元函数偏导数

z ∴ x z y
= 2×1 + 3× 2 = 8 , = 3×1 + 2× 2 = 7 .
x =1 y= 2
例2
y 设 z = x ( x > 0, x ≠ 1) ,
x z 1 z + = 2z . 求证 y x ln x y
证
z yx y 1 , = x
z y = x ln x , y
x z 1 z x y 1 1 y x ln x + = yx + ln x y x ln x y y
思考题
若 函 数 f ( x , y ) 在 点 P0 ( x0 , y0 ) 连 续 , 能否断定 f ( x , y ) 在点 P0 ( x0 , y0 ) 的偏导数必定存在? 的偏导数必定存在?
思考题解答
不能. 不能 例如, 例如
f ( x, y) =
x +y ,
2 2
处连续, 在( 0,0)处连续
xy , x2 + y2 ≠ 0 2 z = f ( x, y ) = x + y 2 , 求f x ( 0, 0), f y (0, 0). 0, x2 + y2 = 0
3,偏导数存在与连续的关系 连续, 一元函数中在某点可导 连续, 连续, 多元函数中在某点偏导数存在 连续,
xy x2 + y2 , 例如,函数 例如 函数 f ( x , y ) = 0,
Φ = ( x, y + y ) ( x, y ); ( x, y ) = f ( x + x) f ( x, y )
u 验证函数2 ( x , y ) = ln x 2 + y 2 满足拉普拉 2u u + 2 = 0. 斯方程 2 x y
例 6
1 ∵ ln x + y = ln( x 2 + y 2 ), 解 2 x y u u , , ∴ = 2 = 2 2 2 x x + y y x + y
x2 + y2 ≠ 0 x2 + y2 = 0
,
依定义知在( 0,0)处, f x ( 0,0) = f y ( 0,0) = 0 .
但函数在该点处并不连续. 但函数在该点处并不连续 偏导数存在
连续. 连续
即:多元函数的偏导数与本身的连续性无必然联系 多元函数的偏导数与本身的连续性无必然联系. 导数与本身的连续性无必然联系
§8.2 多元函数的 偏导数与全微分( 偏导数与全微分(一)
主要内容 偏导数的概念及计算方法 高阶导数
一,偏导数的概念及其计算法
定义 8.3 设函数 z = f ( x , y ) 在点 ( x0 , y0 ) 的某 一邻域内有定义, 一邻域内有定义 , 当 y 固定在 y0 而 x 在 x0 处有 增量 x 时,相应地函数有增量 f ( x 0 + x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) ,
2 2
y2 x2 2u ( x 2 + y 2 ) x 2 x , ∴ 2= = 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) x x2 y2 2u ( x 2 + y 2 ) y 2 y . = = 2 2 2 2 2 2 2 (x + y ) (x + y ) y y2 x2 x2 y2 2u 2u ∴ 2+ 2 = 2 + 2 2 2 2 2 = 0. (x + y ) (x + y ) x y
偏 导 函 数 图 形
导 函 数 图 形 偏
求二阶偏导数. 例 6 设 u = e ax cos by ,求二阶偏导数
解
u = ae ax cosby , x 2u = a 2e ax cos by , 2 x u = abe ax sin by , x y
2
u = be ax sin by; y 2u = b 2e ax cos by , y 2 u = abe ax sin by . yx
f ( x , y , z + z ) f ( x , y , z ) f z ( x , y , z ) = lim . z → 0 z
z = x 2 + 3 xy + y 2 在点(1, 2) 处的偏导数. 处的偏导数. 例1 求
解
z = 2x + 3 y ; x
x =1 y= 2
z = 3x + 2 y . y
| y| . = 2 2 x +y
z = y
1 x 1 2 2 x +y
2
′ x x2 + y2 y
=
x2 + y2 ( xy ) 2 2 3 | y| (x + y )
( y ≠ 0)
x 1 sgn = 2 2 x +y y
z 不存在. 不存在. 0 y x ≠ 0 y=
例 4
2
问题: 问题: 二阶混合偏导数都相等吗? 二阶混合偏导数都相等吗?具备怎样的条
件才相等? 件才相等?
定理 8.1 如果函数 z = f ( x , y ) 的两个二阶混合
2z 2z 内连续, 偏导数 及 在区域 D 内连续,那末在该区 y x yx xy
域内这两个二阶混合偏导数必相等. 域内这两个二阶混合偏导数必相等.
定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数. 定义:二阶及二阶以上的偏导数统称为高阶偏导数 高阶偏导数
例 5 设 z = x 3 y 2 3 xy 3 xy + 1,
2z 2z 2z 2z 3z , , 2及 3. 求 2, x yx xy y x
z z 2 2 3 解 = 2 x 3 y 9 xy 2 x; = 3 x y 3 y y, y x
但
f x (0, 0)和f y (0, 0) 不存在 不存在.
�=Leabharlann x y + x y = 2z .
原结论成立. 原结论成立.
x z z 例 3 设 z = arcsin ,求 , . 2 2 x y x +y
解
z = x
1 x 1 2 2 x +y
2
′ x x2 + y2 x
=
x2 + y2 y2 | y| ( x 2 + y 2 )3
( y 2 =| y |)
0 0
x = x0 或 y = y0
f x ( x 0 , y0 ) .
同理可定义函数 同理可定义函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 y 的偏导数, 为 的偏导数,
f ( x 0 , y0 + y ) f ( x 0 , y0 ) lim y → 0 y z f 记为 , , z y x = x0 或 f y ( x 0 , y 0 ) . y = y0 y x = x 0 y x = x 0 y= y y= y
2 2
2
2
2
2
x 2 f y 2 f 2 f 2 + = 2e ( xy ) y x 2 xy x y 2
2
三,小结
偏导数的定义 (偏增量比的极限) 偏增量比的极限) 偏导数的计算,偏导数的几何意义 偏导数的计算,
纯偏导 高阶偏导数 混合偏导(相等的条件) 相等的条件)
切记:题目中条件出现了连续的二阶偏导数,则 切记:题目中条件出现了连续的二阶偏导数, 暗示计算过程中必然有可以合并的项. 暗示计算过程中必然有可以合并的项.
同理可以定义函数 z = f ( x , y ) 对自变量 y 的偏导
z f 数,记作 , ,z y 或 f y ( x , y ). y y
偏导数的概念可以推广到二元以上函数 如 u = f ( x, y, z ) 在 ( x, y, z ) 处
f ( x + x , y , z ) f ( x , y , z ) f x ( x , y , z ) = lim , x → 0 x f ( x , y + y , z ) f ( x , y , z ) f y ( x , y , z ) = lim , y → 0 y
0 0
如果函数 z = f ( x , y )在区域 D 内任一点 ( x , y )处对 x 的偏导数都存在,那么这个偏导数 的偏导数都存在, 的函数, 就是 x , y 的函数,它就称为函数 z = f ( x , y )对 的偏导数, 自变量 x 的偏导数,
z f 记作 , , z x 或 f x ( x , y ). x x
面x
= x0 所截得的曲线在点 M 0 处的切线 M 0T y 对 y 轴
的斜率. 的斜率
二,高阶偏导数
函数 z = f ( x , y ) 的二阶偏导数为
z 2 z z 2 z = 2 = f xx ( x , y ), = 2 = f yy ( x , y ) x x x y y y 纯偏导 2 2 z z z z = f yx ( x , y ) = f xy ( x , y ), = = x y yx y x x y 混合偏导
有关偏导数的几点说明: 有关偏导数的几点说明:
u 1, 偏导数 是一个整体记号,不能拆分 是一个整体记号,不能拆分; x
2, 求分界点,不连续点处的偏导数要用 求分界点, 定义求; 定义求;
例如, 设z = f ( x , y ) = xy , 求f x (0, 0), f y (0, 0).
解
| x0| 0 f x (0,0) = lim = 0 = f y (0,0). x →0 x
已知理想气体的状态方程 pV = RT
p V T = 1 . 为常数) 求证: ,求证 ( R 为常数) 求证: , V T p
一个变量关于另一个变量的变化率
RT RT p 证 p= = 2; V V V RT V R T V pV V= = ; = ; T= p T p p R R
RT R V p V T RT = 1. = 2 = V V T p p R pV
z z 2 z 2 = 6 xy , = 2 x 3 18 xy; = 6y , 2 3 y 2 x x 2 z 2z 2 2 2 2 = 6 x y 9 y 1, = 6 x y 9 y 1. xy yx
2
3
2
观察上例中原函数,偏导函数与二阶混合偏导函数图象 观察上例中原函数, 间的关系: 间的关系: 偏 原 导 函 函 数 数 图 图 形 形
例 7 已 知 f ( x, y ) =
2
∫
xy 0
et
2
x 2 f 2 f y 2 f dt , 求 . 2 + 2 2 y x xy x y
2
f f ( xy ) y 解: = e = e ( xy ) x x y 2 f = e ( xy ) ( 2 xy 2 ) y = 2 xy 3e ( xy ) x 2 2 f = e ( xy ) ( 2 x 2 y ) x = e ( xy ) ( 2 x 3 y ) y 2 2 f = e ( xy ) + ye ( xy ) ( 2 x 2 ) y xy
4,偏导数的几何意义 ,
设 M 0 ( x0 , y0 , f ( x0 , y0 )) 为曲面 z = f ( x , y ) 上一点, 如图
f x ( x 0 , y0 ) 是 曲 面
被平面 y = y0 所 截 得曲 线 在 点 M0 处 的 切 线
M 0Tx 对 x 轴的斜率 轴的斜率.
f y ( x0 , y0 ) 是曲面被平
f ( x 0 + x , y0 ) f ( x 0 , y0 ) 存在, 如果 lim 存在,则称 x → 0 x 此极限为函数 z = f ( x , y ) 在点( x0 , y0 ) 处对 x 的
偏导数, 偏导数,记为
z f , ,zx = = x x = x0 x x = x0 y y y y