数值分析迭代法

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第六章 方程求根
xn
1 1－L
xn1 xn 1 －LL
xn xn1
Ln 1－L
x1
x0
注：L越小，收敛越快。
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第六章 方程求根
例2 证明函数 ( x) 3 x在区1间[1，2]上满
足迭代收敛条件。
证明：
因为 所以
'(x)
1
(x
2
1) 3
0
x [1,2]
3
( x)是区间[a, b]上严格单调增函数。
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（3）| xn
|
L 1 L
xn
xn1
Ln 1 L
x1
x0
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第六章 方程求根
①存在唯一性
做辅助函数 ( x) x ( x)，则有 (a) 0, (b) 0
所以，存在点 x*, s.t., ( x*) 0 x* ( x*)
若 x ** ( x **) ，则有：
x * x ** ( x*) ( x **)
'( )( x * x **) L x * x * *
又， L 1 x* x * *
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第六章 方程求根
上式称为求解非线性方程的简单迭代公式,
称 ( x为)迭代函数 。
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第六章 方程求根
例1 试用迭代法求方程 f ( x) x3 x 1 0
在区间(1，2)内的实根。
解：由 x 3 x建立1 迭代关系
xk1 3 xk 1
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6.2.2 收敛性分析
第六章 方程求根
（全局收敛定理）
设 ( x)在[a, b]
（1）当a x b时，a ( x) b;
(2) x [a, b],| '( x) | L 1 (L为常数）
则：(1)方程x ( x)在[a, b]有唯一根；
(2)x0 [a, b], xn1 ( xn）收敛到
k=0,1,2,3…….
计算结果如下:
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k
xk
k
0
1.5
5
1
1.35721
6
2
1.33086
7
3
1.32588
8
4
1.32494
Baidu Nhomakorabea
精确到小数点后五位
x 1.32472 1 105
2
第六章 方程求根
xk
1.32476 1.32473 1.32472 1.32472
第六章 方程求根
而 (1) 3 2 1， (2) 3 3 2
即[ (1), (2)][1,2]，所以 ( x)满足条件（1）。
又
|
'(
x)
||
1
(
x
2
1) 3
|
1
L1
x [1,2]
3
33 4
所以 ( x)满足条件（2）。 故 (x) 3 x 1在[1,2]满足收敛条件。
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第六章 方程求根
③误差估计
xn1 xn ( xn ) ( xn1 ) L xn xn1 L2 xn1 xn2 Ln x1 x0
xn1 xn ( xn ) ( xn1 ) xn xn1
xn L xn (1 L) xn
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第六章 方程求根
但如果由 x x建3 立1迭代公式 xk1 xk3 1 k 1,2,...
仍取 x0 1，.5则有 x1 2.375 x2 12.39
显然结果越来越大，{ xk是} 发散序列
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第六章 方程求根
若取迭代函数 (x) x3 1
因为 | '( x) || 3x2 | 3 x [1,2]
不满足定理，故不能肯定
xn1 ( xn ) n 0,1,....
收敛到方程的根。
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② x0 [a, b] 则 xk1 x * ( xk ) ( x*) '( )( xk x*) xk1 x * L xk x * L2 xk1 x *
Lk1 x0 x *
所以，任意的初值都收敛
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代的等价方程
x (x)
其中 ( x为) x的连续函数。
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第六章 方程求根
即如果数 使 f(x)=0, 则也有 ( )
反之, 若 ( ), 则也有 f ( ) 0
任取一个初值 x,0代入式 x 的右( x端) , 得到
局部收敛性
第六章 方程求根
定理 设 是方程 x 的根( ，x)如果满足条件 ：
（1）迭代函数 在 的邻域可导；
（2）在 的某个邻( x域)
第二节 迭代法
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第六章 方程求根
它是一种逐次逼近的方法,用某个固定公式反复 校正根的近似值,使之逐步精确化，最后得到满足精 度要求的结果。
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第六章 方程求根
6.2.1 迭代法的基本思想 为求解非线性方程f(x)=0的根，先将其写成便于迭
x1 ( x0)
再将 x代1 入式 x 的(右x端) ,
得到
x2 ( x1 )
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第六章 方程求根
依此类推, 得到一个数列
x3 ( x2 ), x4 ( x3 ),
其一般表示
xn1 ( xn ), (n 0,1,2, )