量子力学第一章态矢量

P
中，包含一个函数序列
xk k!
，但却没有包含序列的极
限 ex xk ，所以 P 是不完备空间
k 0 k!
i1
（向量）， ai R 称为向量 在基 ei 下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。
②向量的矩阵表示：一个向量
还可以被表示为一个列矩阵，
a1
a2
a3 T
注意矩阵表示中不出现基向量
③基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是
（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的
④维数：空间的维数是最大基向量组中向量的个数
（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量 p k （1924 年）
（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925 年） （8）薛定谔-波动力学（1926 年）
波函数统计诠释： 2 是概率密度函数， 2 dx 1 （1926 年）
（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927 年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930 年）
*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地 大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第 7 节
第一章 态矢量和态空间
本章提要：本章讨论量子力学的研究对象——态矢量和态空间。沿着三维实空间→复空间→ 内积空间&函数空间→无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量展开、矩阵形式、坐标、 基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然 后介绍态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后 给出量子力学第一条公设作为总结。
①在介绍量子力学使用的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论：
②实线性空间的定义：见同济高数第六章第一节
③复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件
改写成
（复数
域）
2.三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间 ，为我们所熟知的空间
3
①向量的展开：一个向量 可以被表示为 a1e1 a2e2 a3e3 aiei ，其中 ei 称为基
示例：勒让德多项式、三角函数系 x , 、拉盖尔多项式、厄米多项式
（4）函数空间的完备性：函数空间是以函数为元素的内积空间。故当空间内的函数组成的 任何柯西序列都收敛在空间内，就称该函数空间是完备的 （5）函数空间完备化：把所有的柯西列的极限（函数）都“扔进”空间里把“洞”填上
示例：所有多项式组成的空间
（3）函数系的完备性：函数空间中有一标准正交函数系gi ，若对任何连续函数 f ，都有
N
2
0,N, M f Ci gi dx ，就称gi 是完备的，简称「完备基」。
i 1
性质：任意连续函数
f
都可用同一完备基展开，即
f
i 1
Ci
gi
（条件为
lim
N
M
0）
对一个空间来说，完备函数基的选择不是唯一的
1.态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加 原理的物理量（如电场强度、力…）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是， 考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为「态矢量」的矢
量来描述粒子的状态，一般记作 。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」
（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、
动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行
为」，俗称“做实验”）
2.初等量子力学的任务是：
响 （5）态矢量的展开：这个问题涉及到表象的相关理论，将在第三章讨论 ②第一公设——量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由无限维希尔伯特
空间中一个范数为 1 的态矢量 来描述，这态矢量完整地给出系统的所有信息，并且遵守
态叠加原理
8.（附录）完备性：从内积空间到我们的目标，希尔伯特空间，它们之间只相隔一个完备性。 现在就从数学观点来讨论什么是完备性。
i1
j 1
6.函数空间： 波函数是复变函数，且根据玻恩的统计诠释，它还是（模）平方可积的。 我们先不详细研究波函数，考察所有平方可积函数（它们显然满足加法和标量乘规则）构成 的复线性空间（暂不讨论定义域），并试图按内积的四条性质给函数定义“函数的内积”
（你可以把函数理解为：①在第 x （比如）个基方向上坐标恰为 f x ②分量式中指标 i 可
（1）向量集的完备性：若一组标准正交矢量 ei并不包含在一个比它更大的标准正交矢量
集合中，就称这标准正交矢量集是完备的，简称「完备基」。换而言之，在有限维向量空间 中，若标准正交矢量集的元素数=空间维数，就一定是完备的 性质：向量空间中的任意向量都可用同一组完备基展开（或“一组完备基生成这个空间”）
n
②范数：仿照 中向量长度的定义，定义（广义的）长度
ai 2
i1
称为范数(norm)，若 1就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)
③正交性：仿照 中向量垂直关系的定义，定义（广义的）垂直 0 ，称为正交
至此可定义两矢量标准正交（orthonormal）的条件： ei ej ij
位置、动量和速度 同时确定
rt, pt（实矢量函数）
状态的 演化方程
观测行为
测量精度
预测的 测量结果 实际的 测量结果
薛定谔方程（复系数方程）
会影响对象 （只有时间测量不影响）
受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定
某个结果出现的概率
确定的值 或可能取值的统计平均
牛顿第二定律（实系数方程）
不会影响对象 可达到任意高 可以同时测定所有物理量
⑦左矢和右矢的理论综述：
（1）左矢和右矢的关系：左矢为右矢的共轭转置，记作 * T
（2）左右矢的展开： a1 e1 ... an en ， a1* e1 ... an* en ， ei ej ij
（3）左右矢和范数的矩阵表示： α a1 ... an T ， α a1* ... an*
4.量子力学与经典力学的比较：
研究对象在 t 时刻的位置
t 时刻的 动量和速度
研究对象的 状态的描述
量子力学 无法确定
只能确定在 x ~ x dx 的出现概率
无法确定，速度无意义
只能确定具有 p ~ p dp 的概率
且不可同时确定位置和动量
波函数
（复函数）
或态矢量 （复矢量）
经典力学 可以确定
确定的值
确定的值
*量子力学的测量：在量子领域，在实验中通常事先准备好大量具有相同状态 的粒子（这 称为「系综」（esemble）），同时测量它们的「物理量」Q，然后考察统计平均值 Q 。这是
由于测量行为会直接改变粒子的状态（所谓的“坍缩”），导致重复实验的结果平均值失去意 义（一旦某粒子坍缩到了状态 A，之后的一切实验结果也都只会是 A） 关于力学量测量结果的详细讨论，见第三章
（2）狄拉克符号：把 v 称为右矢(ket)， u 称为左矢(bra)，合起来就是 u v ，表示内
积
左右矢关系： * T ，物理上称两量子态共轭
（3）范数：规定 1，这是因为 , 1（见第三章第三节）
（4）相位：规定 z 和 描述粒子的同一个状态，由范数要求知
，但相位无影
n
则 αα ai 2 i1
n
（4）内积的矩阵表示： ai*bi αβ ，当 b1 e1 ... bn en i1
n
n
（5）向量在标准基下的坐标： ck ek ，ci ei ； ck* ek ，c*j ej
k 1
k 1
n
n
（6）两个常用投影形式： ei ei ， ej ej
④向量在标准正交基下展开：我们在高中就知道向量用标准正交基展开是非常简便的，从这
一节开始往后，凡是涉及到向量展开，都只讨论在标准正交基 ei 下的展开
⑤对偶空间：之前提到复空间中引入了「复共轭」操作，现在就来讨论它。对复数 z 取共轭
得到共轭复数 z* ，那么对复矢量取共轭应该也得到共轭向量。可以证明，完备内积空间 内
（1）预测「对一个系统（“态”）进行实验（“观测”）得到的实验结果（观测结果）」
（2）寻找“态”随时间的「演化」规律
3.从旧量子论到现代量子力学：
（1）普朗克能量量子化假设（1900 年） （2）爱因斯坦光量子假说（1905 年）
（3）光的波粒二象性（1909 年）
（4）玻尔模型（1913 年）
（5）斯特恩-盖拉赫实验（1922 年）
5.内积空间：现在我们在 里定义内积，它可看作 中两个复向量 和 的“点积”
n
①内积定义：定义运算 ai*bi ，若运算满足下列四条性质就称为内积 i 1
（1） * （2） z w z w
（3） 0 且 0 0 （4） z z , z z*
向量组内任意两向量满足 ei
ej
ij
，就称为这组基为「标准正交基」，比如 xˆ,
yˆ, zˆ
3.三维复线性空间：在 基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成
为复向量（「坐标」是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间 。这时，要注意引入复 共轭带来的变化
4.复线性空间：现在考虑 n 维复线性空间 ，把这空间里的一个矢量记作 ，称为右矢
3
⑤点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为 a1b1 a2b2 a3b3 aibi ，它也
i 1
有矩阵形式
T
；点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版
P111）
⑥向量的长度：定义
T
为模长。特别地，若
1，称其为单位向量
⑦垂直： 0 时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基
③函数的归一化： f f , f
f * fdx
f
2
dx
1称函数可归一化
于是一族正交归一的函数 fi 定义如下： fi , f j fi* f jdx ij
④函数在标准正交基下展开： f Ci gi i 1
7.无穷维希尔伯特空间：定义在复数域上的、完备的、无穷维内积空间 ，就是量子力学所 要求的空间，又称「态空间」。 ①态矢量的基本概念： （1）定义：态矢量是态空间中的矢量，描述粒子的一个状态（量子态）
对一个空间来说，完备基的选择不是唯一的
示例：在 中，xˆ, yˆ是标准正交矢量集但不完备（包含于xˆ, yˆ, z，无法展开带 z 分量的
向量），xˆ, yˆ, zˆ才是一个完备基， rˆ,ˆ,ˆ 也是完备基
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（2）内积空间的完备性：数学上对空间完备性的定义是——空间中的任何柯西序列都收敛 在该空间之内。有限维内积空间都是完备的（证明见泛函分析）；数学上把一切完备内积空 间统称为希尔伯特空间，记作 。无穷维内积空间中，只有希尔伯特空间是完备的
取一切正实数 的无穷维向量，虽然这说法不严密，但它能帮助你更快理解后几章的内容）
n
①函数的内积：仿照向量的内积 ai*bi ，不妨定义函数内积为 f , g f *gdx i 1
这样就要求范数平方 f , f
f * fdx
2
f dx 可积，从而去掉了所有平方不可积的函数
②函数的正交性： f , g 0 称两函数正交，这概念已经与“垂直”无关
主要性质：在此列举几条重要性质（ z, wC ）
（1） （2） （3） z z z （4） z w z w （5） zw zw （6）展开： z1 d1 ... zn dn ， di 称为基， zi 称为坐标
矩阵表示： α z1 ... zn T
的每个右矢的共轭向量构成一个 ，这空间称为对偶空间，且对偶空间与原空间同构（即 两空间的向量一一对应） ⑥左矢：不妨称右矢的复共轭为左矢。但是，若我们再把右矢的矩阵表示考虑进来，知道右 矢可表示为一 n 列矩阵，内积是一个数，则左矢应该要表示为一 n 行矩阵。综合转置和共轭
的要求，重新定义：左矢为右矢的共轭转置，记作 * T