量子力学第一章态矢量
量子力学 第一章 态矢量
序章基本背景知识1、量子力学得基本要素就是:「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」(简单解说:粒子在任一时刻都具有一个「状态」,粒子具有得某些可测量得性质(位置、动量、角动量、自旋,etc)称为「可观测量」,而测量粒子得这些性质得过程就就是「观测行为」,俗称“做实验”)2、初等量子力学得任务就是:(1)预测「对一个系统(“态”)进行实验(“观测”)得到得实验结果(观测结果)」(2)寻找“态”随时间得「演化」规律3、从旧量子论到现代量子力学:(1)普朗克能量量子化假设(1900年) (2)爱因斯坦光量子假说(1905年)(3)光得波粒二象性(1909年) (4)玻尔模型(1913年)(5)斯特恩-盖拉赫实验(1922年)(6)德布罗意假设:物质波假说,粒子动量(1924年)(7)乌伦贝克-古兹米特自旋假说;泡利不相容原理;海森堡-矩阵力学(1925年)(8)薛定谔-波动力学(1926年)波函数统计诠释:就是概率密度函数,(1926年)(9)海森堡不确定性原理;玻尔得互补原理:观测影响状态(1927年)(10)态叠加原理;《量子力学原理》(狄拉克,1930年)4、量子力学与经典力学得比较:量子力学经典力学研究对象在t时刻得位置无法确定只能确定在得出现概率可以确定t时刻得动量与速度无法确定,速度无意义只能确定具有得概率且不可同时确定位置与动量位置、动量与速度同时确定研究对象得状态得描述波函数(复函数)或态矢量(复矢量)(实矢量函数)状态得演化方程薛定谔方程(复系数方程) 牛顿第二定律(实系数方程)观测行为会影响对象(只有时间测量不影响)不会影响对象测量精度受不确定性原理限制且“某些”量无法同时测定可达到任意高可以同时测定所有物理量预测得测量结果某个结果出现得概率确定得值实际得测量结果确定得值或可能取值得统计平均确定得值*量子力学得测量:在量子领域,在实验中通常事先准备好大量具有相同状态得粒子(这称为「系综」(esemble)),同时测量它们得「物理量」Q,然后考察统计平均值。
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算
量子力学基础波函数态矢量与算符的运算量子力学是描述微观粒子行为的一种物理理论，其中波函数态矢量和算符是基础概念之一。
本文将介绍波函数态矢量与算符的运算，探讨它们在量子力学中的重要性和应用。
一、波函数态矢量在量子力学中，波函数是描述微观粒子在不同状态下的概率幅度的数学表达式。
波函数可以用复数表示，通常用ψ来表示。
波函数的平方的模的立方和为1，表示粒子的全部可能性。
波函数态矢量可以表示为：|ψ⟩波函数态矢量的内积可以用来计算两个不同态矢之间的相似度。
内积的定义如下：⟨φ|ψ⟩二、算符的运算在量子力学中，算符是对态矢量进行操作的数学对象。
算符可以用来描述对某一物理量的测量或变换。
算符的运算可以通过对应的数学表达式作用于波函数态矢量上实现。
1. 线性算符线性算符是量子力学中常见的算符类型。
线性算符满足加法和乘法的封闭性，并遵循线性叠加原理。
具体而言，对于线性算符A，满足以下两个性质：A(α|ψ⟩+ β|φ⟩) = αA|ψ⟩+ βA|φ⟩A(α|ψ⟩) = αA|ψ⟩2. 基本算符量子力学中常见的基本算符有位置算符、动量算符和能量算符。
它们分别用X、P和H表示，对应的数学表达式如下：X|ψ⟩= x|ψ⟩P|ψ⟩= p|ψ⟩H|ψ⟩= E|ψ⟩3. 算符的本征态和本征值算符的本征态表示在特定算符作用下不发生变化的态矢量，相应的本征值是该态矢量所对应的量子力学量的取值。
用A表示算符，本征态矢量记作|a⟩，本征值记作a，那么有以下关系：A|a⟩ = a|a⟩4. 算符的乘积两个算符的乘积可以通过将第一个算符作用于第二个算符及其参数上实现。
例如，对于算符A和算符B，它们的乘积C可以表示为：C = ABC|ψ⟩= A(B|ψ⟩)三、波函数态矢量与算符运算的应用波函数态矢量与算符的运算在量子力学中有着广泛的应用。
1. 波函数的演化通过算符作用于波函数态矢量，可以得到波函数态矢量随时间演化的表达式。
这对于描述粒子在不同时刻的行为具有重要意义。
波函数与态矢量描述量子系统的数学工具
波函数与态矢量描述量子系统的数学工具量子力学是描述微观粒子行为的理论框架，而波函数和态矢量是量子力学中描述量子系统的数学工具。
本文将介绍波函数和态矢量的概念、性质以及它们在量子力学中的应用。
一、波函数和态矢量的概念波函数是量子力学中最基本的概念之一，它可以用来描述一个量子系统的状态。
在数学上，波函数是一个复数函数，通常用Ψ表示。
波函数的平方的模的平方表示了在给定时刻测量得到该系统处于某个特定状态的概率。
与波函数相对应的是态矢量，它是波函数所在的向量空间中的一个向量。
态矢量通常用符号|ψ⟩表示。
波函数可以通过内积运算与态矢量相互转换，从而得到物理量的测量结果。
二、波函数和态矢量的性质1. 波函数的归一化：波函数必须满足归一化条件，即波函数的平方的模的积分等于1。
这保证了粒子在量子力学中总是处于确定的状态。
2. 叠加原理：波函数在量子力学中具有叠加的性质。
对于一个系统，当存在多个可能的状态时，它们的波函数可以叠加，从而得到新的波函数表示该系统处于这些状态的叠加态。
3. 线性叠加原理：态矢量也具有叠加的性质。
当两个量子态进行线性叠加时，它们的态矢量也进行线性叠加。
这种叠加可以描述量子系统的一系列可测量状态。
三、波函数和态矢量的应用1. 波函数演化：根据薛定谔方程，波函数在时间演化中会发生变化。
通过求解薛定谔方程，可以得到波函数随时间的变化规律，从而预测量子系统的行为。
2. 测量与态叠加：波函数和态矢量的叠加原理可以解释量子测量现象。
在测量前，系统处于叠加态，而测量后，系统会坍缩到一个确定的状态。
3. 观察与量子态：波函数和态矢量可以用来计算物理量的平均值和概率分布。
通过观察不同物理量的测量结果，可以揭示量子态的性质和行为。
4. 变换和相互作用：波函数和态矢量可以通过变换方法描述不同基下的表示，从而研究不同测量基的量子态变化。
此外，通过与外界环境的相互作用，量子系统的波函数和态矢量会发生变化。
总结：波函数和态矢量是描述量子系统的数学工具，它们在量子力学中起着重要的作用。
量子力学中的波函数与态矢量
量子力学中的波函数与态矢量量子力学是揭示微观世界的定律和规律的理论框架，其核心概念之一就是波函数与态矢量。
波函数是对量子体系状态的数学描述，而态矢量则是波函数所在向量空间的表示。
本文将从基本概念、数学表达以及物理解释等方面，对量子力学中的波函数与态矢量进行详细探讨。
一、波函数的基本概念与性质波函数是量子力学中描述量子体系状态的核心概念。
它通常用ψ(x,t)表示，其中x为位置，t为时间。
波函数的平方模|ψ(x,t)|²代表了在某个位置和时间上找到粒子的概率密度。
对于一维自由粒子来说，其波函数可以用平面波形式表示：ψ(x,t) = Ae^(i(kx-ωt))，其中A为振幅，k为波数，ω为角频率。
波函数的一些基本性质也值得注意。
首先，波函数必须是归一化的，即∫|ψ(x,t)|²dx = 1，这意味着粒子在整个空间中被找到的概率为100%。
其次，波函数满足薛定谔方程，即iħ∂ψ(x,t)/∂t = -ħ²/(2m)∂²ψ(x,t)/∂x²，其中ħ为约化普朗克常量，m为粒子质量。
这个方程描述了量子体系的演化规律。
二、态矢量的数学表达与物理解释态矢量是波函数所在向量空间的表示。
一般用符号|ψ⟩表示，其中ψ是波函数的数学表达式。
态矢量具有一些重要性质。
首先，态矢量可线性叠加，即如果|ψ₁⟩和|ψ₂⟩是两个态矢量，那么它们的线性组合a|ψ₁⟩+ b|ψ₂⟩（其中a和b是复数）也是一个合法的态矢量。
这种叠加可以用来描述量子体系的叠加态和纠缠态等现象。
其次，态矢量可以表示物理量的测量结果。
在量子力学中，物理量由算符表示，而每一个物理量对应于一系列本征态，即特定的态矢量。
当测量某个物理量时，观测到的结果是对应本征值的概率。
例如，对于位置算符，其本征态是一个delta函数，即|δ(x-x₀)⟩，其中x₀是粒子的位置。
测量结果为x₀的概率就是|⟨x₀|ψ⟩|²，其中⟨x₀|ψ⟩是态矢量|ψ⟩在位置表象下的表示。
量子力学中的波函数与态矢量
量子力学中的波函数与态矢量量子力学是物理学中一门探讨微观世界的极其重要的学科。
在量子力学中，波函数和态矢量起着核心的作用，它们描述了微观粒子的性质和行为。
本文将深入探讨波函数和态矢量在量子力学中的意义和应用。
量子力学中的波函数是一个复数函数，用来描述微观粒子的状态。
在波函数里，我们可以获取关于粒子位置、能量等物理量的概率分布。
波函数可以用波动方程得到，其中包含了波函数本征态的信息。
波函数的模方给出了测量某一物理量时，粒子处于该物理量特定取值的概率。
态矢量则是描述了量子系统的状态，它可以用波函数来表示。
一个态矢量代表了一个量子体系可取的所有可能状态，并且可由一组基矢量线性表示。
态矢量中的每一个分量对应了一种可能的状态，可以通过测量得到系统所处的具体状态。
波函数和态矢量之间存在着密切的联系。
波函数可以通过态矢量的展开系数来表示，而态矢量则是由各个波函数线性组合而成。
波函数和态矢量在数学上是等价的，它们都提供了对量子体系状态的完整描述。
在实际应用中，波函数和态矢量起着重要的作用。
通过波函数，我们可以预测粒子在不同位置和能量上的分布情况。
通过态矢量，我们可以描述量子体系中多粒子的相互作用和整体行为。
量子力学的基本方程薛定谔方程就是通过波函数和态矢量来描述微观粒子的运动和变化。
波函数和态矢量的概念在许多物理实验中也得到了验证和应用。
例如，通过干涉实验，我们可以观察到波函数的叠加性和干涉现象。
通过量子纠缠实验，我们可以验证两个粒子之间的态矢量的关联性。
这些实验证明了波函数和态矢量在解释和预测量子现象方面的有效性。
虽然波函数和态矢量在量子力学中起着重要的作用，但是它们的物理意义并不直观。
波函数并不是实际存在的物质，而是用来描述粒子行为的数学工具。
态矢量也只是在数学上表示一个状态，并没有直接的物理实体。
所以，波函数和态矢量常常被解释为对粒子状态的概率描述，而非实际存在的物质。
在量子力学的发展历程中，波函数和态矢量的概念经历了多次的演化和解释。
高等量子力学-习题及答案 ch01
第一章量子力学基本概念和一般理论
一、量子态矢量的定义是什么。
描述微观粒子状态的态矢量ψ等符号代表一个复矢量，而y+是y的厄密共轭矢量或称“对偶矢量"。
用狄拉克符号记为|ψ>，表示波函数ψ的右矢；<ψ|表示左矢。
右矢和左矢是互相独立的，但存在如下关系：。
二、请简述线性算符的运算规则和性质。
(6)若由方程能够唯一地解出|ψ>，则可定义算符A的逆算符
，于是A'满足
(7)若，则U称为幺正算符。
(8)，表示算符A的函数。
三、幺正变换的基本性质有哪些。
幺正变换具有许多非常有意义的性质。
(1)幺正变换下两个态矢量的内积不变。
(2)幺正变换下算符方程的形式不变。
(3)幺正变换下力学量算符对应的平均值保持不变。
(4)幺正变换下算符的行列式不变。
(5)幺正变换下算符的本征值谱不变。
(6)幺正变换下算符的迹不变。
(7)利用上述性质(6)可以给出指数算符函数的一一个有用公式。
(8)可以证明，若算符R是厄米算符，即R=R+，则由它所生成的算符
四、时间演化算符U(t，t0)的基本性质有哪些。
1.初始条件
2.幺正性
3.因子化特性
4.时间反演特性
5.薛定谔绘景中的动力学方程
五、矢量空间中的如下运算规则有哪些。
六、什么叫密度矩阵？
如果采用一个具体表象，例如，F表象(分立情形，)，则与量子态|ψ>相应的密度算符可表示成如下矩阵形式，称为密度矩阵。
七、请列举混合态密度算符的性质。
量子力学的数学基础
量子力学的数学基础量子力学是一门研究微观领域中的物质和能量相互关系的学科。
它作为现代物理学的重要分支，提供了对原子、分子和基础粒子等微观领域行为的深入理解。
量子力学不仅仅是一种物理学理论，更是一种数学框架，其中包含了丰富而复杂的数学概念和工具。
在本文中，我们将重点介绍量子力学的数学基础，探讨其在理论和实践中的应用。
1. 线性代数：量子力学的数学基础之一是线性代数。
在量子力学中，态矢量（state vector）被用来描述一个物理系统的状态。
态矢量是一个向量，可以通过线性代数中的向量空间来描述。
量子力学中的态矢量可以存在于高维空间中，而线性代数提供了一种强大的工具来解决高维空间中的问题，例如张量积和内积等。
2. 希尔伯特空间：希尔伯特空间是量子力学中常用的数学结构。
它是一个无限维的复向量空间，其中的向量表示态矢量。
希尔伯特空间具有内积的性质，这意味着可以定义向量之间的内积（或称为点乘）。
内积可以用于计算态矢量的模长，以及求解物理量的期望值等。
3. 哈密顿算符：在量子力学中，哈密顿算符（Hamiltonian operator）被用来描述一个系统的能量。
哈密顿算符是一个厄米（Hermitian）算符，这意味着它的本征态（eigenstates）是正交的，并且其本征值（eigenvalues）对应于能量的可能取值。
通过求解哈密顿算符的本征值问题，可以得到量子系统的能级结构以及各个能级上的波函数。
4. 薛定谔方程：薛定谔方程（Schrödinger equation）是量子力学的基本方程之一。
它描述了一个量子体系的时间演化规律。
薛定谔方程是一个偏微分方程，通过求解薛定谔方程，可以得到系统的波函数随时间的变化情况。
波函数包含了关于量子体系的所有信息，它通过量子态的叠加来描述粒子的概率分布和可能的测量结果。
5. 德布洛意波和解释：德布洛意波（de Broglie wave）是量子力学的基本概念之一。
量子力学中的态矢量与态空间解析
量子力学中的态矢量与态空间解析量子力学是描述微观粒子行为的理论，它的基本概念之一是态矢量和态空间。
在量子力学中，态矢量是描述一个量子系统的状态的数学工具，而态空间则是所有可能的态矢量构成的向量空间。
本文将详细解析量子力学中的态矢量与态空间。
首先，我们来了解一下态矢量的概念。
态矢量通常用符号表示，比如|ψ⟩。
它是一个复数向量，可以表示一个量子系统的状态。
态矢量的模长的平方表示该系统处于某个状态的概率，即|ψ|²。
态矢量的方向则表示该系统的相位信息。
态矢量可以在一个向量空间中表示。
这个向量空间就是态空间。
态空间是一个复数向量空间，它的维度由系统的自由度决定。
比如，对于一个自旋为1/2的粒子，它的态空间是一个二维复数向量空间。
态空间中的每个向量对应着系统的一个可能状态。
态矢量和态空间之间的关系可以用一个简单的例子来说明。
考虑一个自旋为1/2的粒子，它的态空间是一个二维复数向量空间。
我们可以用两个基矢量来表示这个态空间，比如|↑⟩和|↓⟩，分别表示自旋向上和自旋向下的状态。
那么，任意一个态矢量|ψ⟩可以写成这两个基矢量的线性组合，即|ψ⟩=α|↑⟩+β|↓⟩，其中α和β是复数系数。
这样，态矢量就可以表示为一个二维复数向量。
在量子力学中，态矢量的演化可以用薛定谔方程来描述。
薛定谔方程是量子力学的基本方程之一，它描述了量子系统的时间演化。
薛定谔方程可以写成iħ∂/∂t|ψ⟩=H|ψ⟩，其中ħ是约化普朗克常数，H是系统的哈密顿算符。
薛定谔方程告诉我们，态矢量随时间的演化是由哈密顿算符决定的。
态矢量还可以进行叠加和测量。
当两个态矢量叠加时，它们的模长平方的和表示系统处于这两个态的概率。
测量一个态矢量时，我们可以得到一个确定的结果，这个结果对应着系统塌缩到某个特定的态上。
态空间的另一个重要性质是正交性。
在量子力学中，如果两个态矢量正交，即内积为零，那么它们表示的是互相不可区分的状态。
正交性是量子力学中很重要的概念，它与测量和观测的结果密切相关。
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i1
（向量）， ai R 称为向量 在基 ei 下的坐标。需要指出这样的分解是唯一的。
②向量的矩阵表示：一个向量
还可以被表示为一个列矩阵，
a1
a2
a3 T
注意矩阵表示中不出现基向量
③基：空间里的一组向量构成基向量组的条件是
（1）这组向量线性无关（2）任一向量在这组基下的坐标是唯一的
④维数：空间的维数是最大基向量组中向量的个数
示例：勒让德多项式、三角函数系 x , 、拉盖尔多项式、厄米多项式
（4）函数空间的完备性：函数空间是以函数为元素的内积空间。故当空间内的函数组成的 任何柯西序列都收敛在空间内，就称该函数空间是完备的 （5）函数空间完备化：把所有的柯西列的极限（函数）都“扔进”空间里把“洞”填上
示例：所有多项式组成的空间
（1）向量集的完备性：若一组标准正交矢量 ei并不包含在一个比它更大的标准正交矢量
集合中，就称这标准正交矢量集是完备的，简称「完备基」。换而言之，在有限维向量空间 中，若标准正交矢量集的元素数=空间维数，就一定是完备的 性质：向量空间中的任意向量都可用同一组完备基展开（或“一组完备基生成这个空间”）
P
中，包含一个函数序列
xk k!
，但却没有包含序列的极
限 ex xk ，所以 P 是不完备空间
k 0 k!
5.内积空间：现在我们在 里定义内积，它可看作 中两个复向量 和 的“点积”
n
①内积定义：定义运算 ai*bi ，若运算满足下列四条性质就称为内积 i 1
（1） * （2） z w z w
（3） 0 且 0 0 （4） z z , z z*
对一个空间来说，完备基的选择不是唯一的
示例：在 中，xˆ, yˆ是标准正交矢量集但不完备（包含于xˆ, yˆ, z，无法展开带 z 分量的
向量），xˆ, yˆ, zˆ才是一个完备基， rˆ,ˆ,ˆ 也是完备基
（2）内积空间的完备性：数学上对空间完备性的定义是——空间中的任何柯西序列都收敛 在该空间之内。有限维内积空间都是完备的（证明见泛函分析）；数学上把一切完备内积空 间统称为希尔伯特空间，记作 。无穷维内积空间中，只有希尔伯特空间是完备的
响 （5）态矢量的展开：这个问题涉及到表象的相关理论，将在第三章讨论 ②第一公设——量子态公设：量子系统在任意时刻的状态（量子态）可以由无限维希尔伯特
空间中一个范数为 1 的态矢量 来描述，这态矢量完整地给出系统的所有信息，并且遵守
态叠加原理
8.（附录）完备性：从内积空间到我们的目标，希尔伯特空间，它们之间只相隔一个完备性。 现在就从数学观点来讨论什么是完备性。
（3）函数系的完备性：函数空间中有一标准正交函数系gi ，若对任何连续函数 f ，都有
N
2
0,N, M f Ci gi dx ，就称gi 是完备的，简称「完备基」。
i 1
性质：任意连续函数
f
都可用同一完备基展开，即
f
i 1
Ci
gi
（条件为
lim
N
M
0）
对一个空间来说，完备函数基的选择不是唯一的
1.量子力学的基本要素是：「态」(状态)、「演化」、「可观测量」(力学量)、「观测行为」
（简单解说：粒子在任一时刻都具有一个「状态」，粒子具有的某些可测量的性质（位置、
动量、角动量、自旋，etc）称为「可观测量」，而测量粒子的这些性质的过程就是「观测行
为」，俗称“做实验”）
2.初等量子力学的任务是：
3
⑤点积：又称数量积，两个向量的点积被定义为 a1b1 a2b2 a3b3 aibi ，它也
i 1
有矩阵形式
T
；点积（内积）具有的性质是（同济线代第五版
P111）
⑥向量的长度：定义
T
为模长。特别地，若
1，称其为单位向量
⑦垂直： 0 时称两个向量垂直。至此可对直角坐标系的常用基下精确定义：如果基
（2）狄拉克符号：把 v 称为右矢(ket)， u 称为左矢(bra)，合起来就是 u v ，表示内
积
左右矢关系： * T ，物理上称两量子态共轭
（3）范数：规定 1，这是因为 , 1（见第三章第三节）
（4）相位：规定 z 和 描述粒子的同一个状态，由范数要求知
，但相位无影
取一切正实数 的无穷维向量，虽然这说法不严密，但它能帮助你更快理解后几章的内容）
n
①函数的内积：仿照向量的内积 ai*bi ，不妨定义函数内积为 f , g f *gdx i 1
这样就要求范数平方 f , f
f * fdx
2
f dx 可积，从而去掉了所有平方不可积的函数
②函数的正交性： f , g 0 称两函数正交，这概念已经与“垂直”无关
位置、动量和速度 同时确定
rt, pt（实矢量函数）
状态的 演化方程
观测行为
测量精度
预测的 测量结果 实际的 测量结果
薛定谔方程（复系数方程）
会影响对象 （只有时间测量不影响）
受不确定性原理限制 且“某些”量无法同时测定
某个结果出现的概率
确定的值 或可能取值的统计平均
牛顿第二定律（实系数方程）
不会影响对象 可达到任意高 可以同时测定所有物理量
主要性质：在此列举几条重要性质（ z, wC ）
（1） （2） （3） z z z （4） z w z w （5） zw zw （6）展开： z1 d1 ... zn dn ， di 称为基， zi 称为坐标
矩阵表示： α z1 ... zn T
i1
j 1
6.函数空间： 波函数是复变函数，且根据玻恩的统计诠释，它还是（模）平方可积的。 我们先不详细研究波函数，考察所有平方可积函数（它们显然满足加法和标量乘规则）构成 的复线性空间（暂不讨论定义域），并试图按内积的四条性质给函数定义“函数的内积”
（你可以把函数理解为：①在第 x （比如）个基方向上坐标恰为 f x ②分量式中指标 i 可
①在介绍量子力学使用的数学空间（希尔伯特空间）前，先来回顾线性代数的基本理论：
②实线性空间的定义：见同济高数第六章第一节
③复线性空间的定义：在上述定义基础上，把条件
改写成
（复数
域）
2.三维实线性空间：三维实向量全体构成三维实线性空间 ，为我们所熟知的空间
3
①向量的展开：一个向量 可以被表示为 a1e1 a2e2 a3e3 aiei ，其中 ei 称为基
（6）德布罗意假设：物质波假说，粒子动量 p k （1924 年）
（7）乌伦贝克-古兹米特自旋假说；泡利不相容原理；海森堡-矩阵力学（1925 年） （8）薛定谔-波动力学（1926 年）
波函数统计诠释： 2 是概率密度函数， 2 dx 1 （1926 年）
（9）海森堡不确定性原理；玻尔的互补原理：观测影响状态（1927 年） （10）态叠加原理；《量子力学原理》（狄拉克，1930 年）
④向量在标准正交基下展开：我们在高中就知道向量用标准正交基展开是非常简便的，从这
一节开始往后，凡是涉及到向量展开，都只讨论在标准正交基 ei 下的展开
⑤对偶空间：之前提到复空间中引入了「复共轭」操作，现在就来讨论它。对复数 z 取共轭
得到共轭复数 z* ，那么对复矢量取共轭应该也得到共轭向量。可以证明，完备内积空间 内
1.态矢量：狄拉克指出粒子的量子态满足叠加原理。在经典物理学，用向量来描述符合叠加 原理的物理量（如电场强度、力…）是惯用的做法。叠加原理适用于任何线性空间，于是， 考虑在向量空间（又称线性空间）中处理量子力学。简单来说，用一个称为「态矢量」的矢
量来描述粒子的状态，一般记作 。考虑到波函数是复变函数，它应该是一个复矢量。
*不确定性原理：位置和动量无法同时确定，严格来说是指其之一的测量标准差可以任意地 大以至于无法确定真实结果，这是不确定性原理的结果，详见第二章第 7 节
第一章 态矢量和态空间
本章提要：本章讨论量子力学的研究对象——态矢量和态空间。沿着三维实空间→复空间→ 内积空间&函数空间→无穷维空间的路线，将三维线性空间中的向量展开、矩阵形式、坐标、 基、内积、长度、正交性等概念推广到高维向量空间及函数空间，最后再到无穷维空间。然 后介绍态矢量的相关性质。在这过程中，引入了简洁的狄拉克符号重新表示这些概念。最后 给出量子力学第一条公设作为总结。
向量组内任意两向量满足 ei基为「标准正交基」，比如 xˆ,
yˆ, zˆ
3.三维复线性空间：在 基础上，在标量乘向量的规则中允许标量为复数，这时向量也就成
为复向量（「坐标」是复数的矢量），这样就得到三维复线性空间 。这时，要注意引入复 共轭带来的变化
4.复线性空间：现在考虑 n 维复线性空间 ，把这空间里的一个矢量记作 ，称为右矢
n
②范数：仿照 中向量长度的定义，定义（广义的）长度
ai 2
i1
称为范数(norm)，若 1就称为单位向量/标准化向量(normalized vector)
③正交性：仿照 中向量垂直关系的定义，定义（广义的）垂直 0 ，称为正交
至此可定义两矢量标准正交（orthonormal）的条件： ei ej ij
n
则 αα ai 2 i1
n
（4）内积的矩阵表示： ai*bi αβ ，当 b1 e1 ... bn en i1
n
n
（5）向量在标准基下的坐标： ck ek ，ci ei ； ck* ek ，c*j ej
k 1
k 1
n
n
（6）两个常用投影形式： ei ei ， ej ej
⑦左矢和右矢的理论综述：
（1）左矢和右矢的关系：左矢为右矢的共轭转置，记作 * T
（2）左右矢的展开： a1 e1 ... an en ， a1* e1 ... an* en ， ei ej ij