喀兴林高等量子力学EX3,4,5

3.1 （做题人：韩丽芳校对人：胡相英）(好)

幺正算符也有本征矢量。证明幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数；幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

证明：设算符U为幺正算符，ψ为其任意本征矢量，u为对应的本征值。

即

ψ

ψu

U=

则

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψu

u

U

U

U

U*

+=

=

=

因0

≠

ψ

ψ，所以1

=

*u

u即1

=

u

即证得幺正算符的本征值都是绝对值是1的复数。

设算符U为幺正算符的两个本征值为1u、2u，对应的矢量分别为1

ψ、

2

ψ，且2

1

u

u≠。

则

1

1

1

ψ

ψu

U=

1

1

1

1

1

ψ

ψ

u

U=

-

2

2

2

ψ

ψu

U=

2

2

2

1

1

ψ

ψ

u

U=

-

因为幺正算符1-

+=U

U则有

2

1

2

1

2

1

2

1

ψ

ψ

ψ

ψ

ψ

ψu

u

U

U*

+=

=

2

1

2

1

2

1

1

ψ

ψ

ψ

ψ

u

u

UU

*

+=

=

所以

1

2

1

2

1

2

1

=

⎪

⎪

⎭

⎫

⎝

⎛

-

*

*ψ

ψ

u

u

u

u

因为0

1

2

1

2

1

≠

-

*

*

u

u

u

u，故0

2

1

=

ψ

ψ，即

1

ψ和

2

ψ正交。

即证得幺正算符的两个本征矢量，若所属本征值不同亦必正交。

3.2 投影于某一子空间的投影算符P，既然是厄米算符，它的本征值是什么？有无简并？本证子空间是什么？(好)

解：投影于某一子空间的投影算符∑==m

i i

P 1

，设全空间是n 维的，且n m <。

则本征值方程

ψλψψ==∑=m

i i

P 1

⑴

其中λ为本征值， ψ为相应的本征态。

则

ψλψλψ22==P P ⑵ 由幺正算符等幂性P P =2得

ψψP P

=2

⑶

由⑴、⑵和⑶式得λλ=2

，所以1=λ或0=λ。 即求得投影算符的本征值是1或0。

当1=λ时，本征失量是i ，其中m i ,2,1=。所以是简并的，本征子空间S 是由这m 个基矢构成的矢量空间。

当0=λ时，本征矢量是与i 正交的矢量。所以也是简并的，本征子空间是S 空间的补空间。 #

练习3.3 证明若算符的本征值谱中有零本征值，则这个算符肯定没有逆。

证明：假设算符A 有逆，则在值域中取一任意|φ>，则定义域有|ψ>存在 即ψφφ-==AA 1

已知A

的全部本征值和相应的本征矢量：i i i a A ψφ= i=1，2，3…，

∴()ψψφ--==A a AA

算符A 存在零本征值，即00=⇒=φa a

∴对于任意本征矢量

()ψφa A -≠与()ψφ-=A a 矛盾

∴假设不成立，即算符的本征值谱中有零本征值，这个算符肯定没有逆。 #

练习3.4 根据完全性和封闭性的定义，分别证明：在n 维空间中的一个完全矢量集

｛i ψ｝，

（i ψ归一化但彼此不一定正交，i=1,2,3…,n ）,若从其中去掉一个矢量，例如

去掉 1ψ，就不再是完全集。（做题者：杨涛 审题人：吴汉成）

证明：假设在n 维空间中的一个完全集

{}i

ψ去掉一个矢量1

ψ

后仍是完全集

∴新的矢量集

{}

2

3,,...n

ψ

ψψ是线性无关的，

即

2

2

n

n

i i i i i i c ψψψψψ====∑∑

我们把1ψ加入完全矢量集{2

3,,...n ψ

ψψ成立一个新集合{}i ψ，

{}2

3,,...n ψ

ψψ是完全集。则1ψ肯定能表为23,,...n ψψψ的线性叠加

∴新集合

{}i

ψ是线性相关的与它是线性无关相矛盾。

在n 维空间中的一个完全集

{}i

ψ去掉一个矢量1

ψ

后不是完全集

#

3.5、在有限维空间中，有A 和B 两个相互对易的厄米算符。它们的全部线性无关的正交归一化本征矢量字分别为{αi 和{β

i ：

j

i i

i m i b i B m a i a i A ,3,2,1,3,2,1====ββ

βαα

i m ，j m 分别为本征值i a 和j b 的简并度（它们也可以等于1）。

（1）证明 ia j j ji ββαβ

∑=

是A 和B 的共同本征矢量。它们是否归一化？彼此是否正交？

（2） 全部不为零的ija 的总数是多少？它们是线性相关的还是线性无关的？

（做题：陈捷狮，审查人：刘强。） 解：（1）αααββαββαβ

β

ji i j j a i j j A ji A i j ===∑∑

ααββαββαβ

β

ji b i j j b i j j B

ji B j j ===∑∑

所以：αji 是A 和B 的共同的本征矢量。

由于1==⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛=∑∑∑*

ia ia j j j j i j j i j j jia jia βββ

βαββ

αββ

β

β

β

他们是归一的。

由于A 和B 作用在αji 的本征值不同，所以彼此是正交。