关于含参量反常积分的证明.

关于含参量反常积分的证明

引言

刚开始学习数学分析这门课时，老师就说过，在数学分析这门课中，极限的)(δεN -定义和积分等知识十分重要，可以说学好了它们就学好了数学分析这门课。在第四版数学分析教材下册第十九章中向我们介绍了含参量积分的相关知识。在本文中我将对含参量积分的性质的证明做一下归纳总结，希望与大家一同分享。 一、证明过程中用到的定理

定理1（函数项级数的连续性定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛，

且每一项都连续，则其和函数在[]b a ,上也连续。

定理 2（函数项级数的逐项求积定理）若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上一致收敛，

且每一项()x u n 都连续，则()∑

⎰

b

a

n x u dx =()∑⎰

x u n

b

a

dx .

定理 3（函数项级数的逐项求导定理））若函数项级数∑n u ()x 在区间[]b a ,上每一项都

有连续的导函数，[]b a x n ,∈为∑n

u ()x 的收敛点，且()∑x u n '在[]b a ,上一致收敛，则

()()()∑∑

=⎪⎭⎫

⎝⎛x u dx

d x u dx d n

n .

定理4 若()y x f ,在矩形区域[][]d c b a R ,,⨯=上连续，则 ()()dx y x f dy dy y x f dx d

c

b

a

b

a

d

c

⎰

⎰⎰⎰=

,,.

定理5 含参量反常积分()dy y x f c

⎰

+∞

,在I 上一致收敛的充要条件是：对任一趋于∞

+的递增数列{}n A （其中c A =1），函数项级数

()()∑

⎰

∑∞

=∞

=+=

1

1

1

,n A A n n

N N

x u dy y x f

在I 上一致收敛。 二、证明思想

由于直接从含参量反常积分入手不易证明，所以我们可以利用定理5将含参量反常积分

转化为已解决的函数项级数问题，从而证得。 三、含参量反常积分性质的证明

1、连续性 设()y x f ,在[]+∞⨯,c I 上连续，若含参量反常积分()()⎰

+∞

=

Φc

dy y x f x ,在

I 上一致收敛，则()x Φ在[]b a ,上连续。

证 由定理5，对任一递增且趋于∞+的数列{}n A （c A =1），函数项级数 ()=

Φx ()()∑⎰

∑∞

=∞

=+=

1

1

1

,n A A n n

n n

x u dy y x f

在I 上一致收敛，又由于()y x f ,在[)+∞⨯,c I 上连续，故每个()x u n 都在I 上连续，根据函数项级数的连续性定理，函数()x Φ在I 上连续。

2、可微性 设()y x f ,与()y x f x ,在区域[)+∞⨯,c I 上连续，若()x Φ()⎰

+∞

=

c

dy y x f ,在

I 上收敛，()⎰

+∞

c

x dy y x f ,在I 上一致收敛，则()x Φ在I 上可微，且

()()⎰

+∞

=

Φc

x dy y x f x ,'

.

证 对任一递增且趋于∞+的数列{}n A （c A =1），令 ()()⎰

+=

1

,n n

A A dy y x f x u

则有 ()()dy y x f x u c

x n ⎰

+∞

=,'

由()dy y x f c

x ⎰

+∞

,在I 上一致收敛及定理5，可得函数项级数

()()∑⎰∑∞

=∞

=+=1

1

'

1

,n A A

x n n

n n

dy y x f x u

在I 上一致收敛，因此根据函数项级数的逐项求导定理，即得

()()()()⎰

∑∑⎰

+∞

∞=∞

==

==

Φ+c

x n n A A x n

dy y x f dy y x f x u x n n

,,1

1

'

'

1

，

或写作

()()⎰

⎰

+∞

+∞

∂∂=

c

c

dy y x f x

dy y x f dx

d ,, .

3、可积性 设()y x f ,在[][)+∞⨯,,c b a 上连续，若()()⎰

+∞

=Φc

dy y x f x ,在[]b a ,上一

致收敛，则()x Φ在[]b a ,上可积，且

()⎰

⎰

+∞

=

b

a

c

dy y x f dx ,()⎰

⎰+∞

c

b

a

dx y x f dy , .

证 由含参量反常积分连续性定理知道()x Φ在[]b a ,上可积。

又由含参量反常积分连续性定理的证明中可以看到，函数项级数

()=

Φx ()()∑⎰

∑∞

=∞

=+=

1

1

1

,n A A n n

n n

x u dy y x f