1第一节根轨迹的基本概念

(s p )
i i 1
1
n
1 ， 2， (s z ) (s p ) 2k，k 0，
j 1 j i 1 i
m
上述两式称为满足根轨迹方程(kg<0)的幅值条件和相角条件。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
说明： 根据幅值条件和相角条件画出的曲线分别称为等幅值根轨 迹和等相角根轨迹。 等幅值根轨迹与等相角根轨迹是正交的。 每一个交点表示了相应的根轨迹增益对应的闭环特征根。 绘制根轨迹时，一般先用相角条件绘制出等相角根轨迹图 ，然后利用幅值条件计算出根轨迹上各点对应的值，并标在 该点的旁边。
控制系统的设计者通常希望借助某种较为简单的分析方 法，当已知的开环系统某个参数发生变化时，可以很明确 地看出闭环特征根的变化趋势。
4.1.1 根轨迹的基本概念
W.R.伊文思提出了一种在复平面上由开环零、极点确定闭 环极点的图解方法—根轨迹法。 其基本思路：当开环系统的一个或多个参数发生变化时，根 据系统的开环零点和极点，借助若干条绘图准则，绘制出闭 环特征根变化的轨迹，简称根轨迹。 利用根轨迹法可以： 分析闭环系统的稳定性 计算（或估算）闭环系统的瞬态和稳态性能指标 确定闭环系统的某些参数对系统性能的影响 对闭环系统进行校正
m
Gk ( s) k g
(s z )
i i 1 n j j 1
(s p )
式中：kg 称为根轨迹增益； zi，p j 为开环零、极点。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
绘制根轨迹图的基本方法是根据系统的开环零点、极点以及根 轨迹增益kg来获得系统闭环极点的轨迹 。
闭环传递函数的极点就是闭环特征方程： 1 Gk (s) 0 的根。
k g
Im
1
kg 2
k g 0 k g 1 45
2
1
kg 0 Re 0
kg 2
k g
1
当kg>1时，系统闭环特征根是共轭复数， 假设为s±jwd。表明该系统是欠阻尼二阶系 统，其单位阶跃响应是衰减振荡曲线。
4.1.1 根轨迹的基本概念
根据根轨迹分析，当kg增加时，欠阻尼系统 (kg>1)的性能指标变化：
换句话说，满足： Gk ( s) 1或：k g 系统的极点，闭环特征 方程的根。
(s z )
i
m
(s p )
j j 1
i 1 n
1的点就是闭环
当根轨迹增益kg从零到无穷大变化时，满足上式的对应于所 有kg的s值，就是闭环传递函数的极点。把这些闭环极点在平 面s上按顺序连接起来，就是闭环系统的根轨迹。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
称Gk ( s ) 1或：k g
(s z ) (s p )
j 1 j i 1 n i
m
1为负反馈系统根轨迹方程。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg>=0时： 根轨迹方程可写为：
kg s z j
j 1
m
Im
B A
A2
p2
s2
s
Hale Waihona Puke BaiduA1
p1
Re
Gk ( s )
kg s( s 2)
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
A1 A2 ，A 显然，对于A点，有： 点是根轨迹上的点。对于B点，由于： kg | s B s (s 2) B1 B 2 s(s 2)
将上述数据标在s平面上，并将它们连成曲线，如下图粗线所示。 图中，曲线有两个分支，分别表示了当kg从零到无穷大变化时， 系统两个闭环极点（特征根）变化的轨迹，即根轨迹。
k g
Im
1
图中画出了当kg=2时的阻尼角 o =45 ，这时系统的阻尼系数z为 0.707，对应的闭环极点为s1,2=-1±j1。
4.1.1 根轨迹的基本概念
根轨迹的意义 闭环控制系统的稳定性和时间响应的形式由闭环系统特征 方程的根即闭环极点决定，时间响应的大小由系统的闭环零点 和闭环极点共同决定。 然而对于高阶系统来说，手工求解闭环特征方程的根较 为困难。尤其是当系统的参数（比如开环增益，开环零点和 开环极点等）发生变化时，闭环特征根需要重复计算，而且 不能看出系统参数变化对闭环特征根分布的影响趋势。
阻尼角增加，阻尼比减小。表明闭环系 统瞬态响应的超调量增加。 阻尼振荡频率wd增加。 wd值是复数特征 根的虚部，描述了瞬态响应的振荡频率。 当wd增加时，系统的振荡加剧。
k g
Im
1
kg 2
k g 0 k g 1 45
2
1
kg 0 Re 0
kg 2
kg
1
(s z )
i
m
s p
i 1 m
j 1 n
n
e
n m j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
(s p )
j j 1
i 1 n
1
i
即： k g ( s z j )
(s p )
kg 2
k g 0 k g 1 45
2
1
kg 0 Re 0
kg 2
k
1
4.1.1 根轨迹的基本概念
根据根轨迹分析系统的单位阶跃响应：
当0<kg<=1时，系统闭环特征根是两个负 实数，表明该系统是过阻尼二阶系统(kg=1 时为临界阻尼二阶系统)，其单位阶跃响应 是单调上升曲线。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的两种类型： 180o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg>=0) 的点连成的曲线，称为180o等相角根轨迹，简称根轨迹。 0o等相角根轨迹：复平面上所有满足相角条件式(kg<0)的 点连成的曲线，称为0o等相角根轨迹。 这样，当根轨迹增益从kg=0到kg=±∞变化时，根据根轨迹应 满足的相应幅值和相角条件，完全可以确定s平面上的根轨迹
不满足相角条件，所以点B不是根轨迹上 的点。
Im
B A
A2
p2
s2
s
A1
p1
Re
利用幅值条件在根轨迹上确定特定点的根轨迹增益kg 上例中，若A点的坐标是-1+j1，则根据幅值条件：
kg s( s 2) s 1 j1
1 ， kg 2
4.1.4 本节小结
根轨迹概念与定义 根轨迹方程 根轨迹的幅值条件和相角条件 180度和0度等相角根轨迹，等幅值根轨迹 相角条件和幅值条件的使用
第4章 线性系统的根轨迹分析法
4.1 根轨迹的基本概念
4.2 绘制根轨迹的基本规则 4.3 控制系统根轨迹绘制示例 4.4 基于根轨迹法的系统性能分析 4.5 利用MATLAB分析根轨迹
4.1 根轨迹的基本概念
4.1.1 根轨迹概念 4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件 4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
4.1.1 根轨迹的基本概念
s1,2 1 1 k g
若kg<0，闭环特征根只有实数根，特征根的轨迹全部位于实轴 上，区间为0 s1 ， 2 s2 。可见对于kg为负数的情 况，总是有一部分特征根在s平面的右半平面，在这种情况下， 系统是不稳定的。 根轨迹定义:控制系统的某一参数由零到无穷大变化时，闭环 系统的特征根（闭环极点）在s平面上形成的轨迹。
R( s) i ( s)
+
E (s)
-
A 放大器
电动机
T (s)
J B
Y (s) o (s)
4.1.1 根轨迹的基本概念
解： 画出位置系统的方块图，这是一个单位负反馈控制系统。
R( s) i ( s)
+
E (s)
-
A
T (s)
放大器
1 Js 2 Bs
Y (s) o (s)
在根轨迹图中，根轨迹用粗实线表示，根轨迹上的箭头 表示参变量增加的方向，开环零点和极点在图中分别用“○” 和“×”表示， “ · ”表示根轨迹上的点。
4.1.1 根轨迹的基本概念
有必要寻找一种简单的方法获得系统的根轨迹： 利用伊文斯图解法(手工画法)获得系统根轨迹是一种很 实用的工程方法。 使用计算机辅助计算软件，比如MATLAB软件，获得系 统的根轨迹。
4.1.1 根轨迹的基本概念
系统的闭环极点为: s1, 2 1 1 k g
显然，该位置控制系统的闭环特征根即闭环极点取决于Kg （或A）的取值。
分析：
kg Y ( s) R( s ) s 2 2 s k g
当kg=0时，两个闭环极点是s1=0和s2＝2，为系统的开环 极点。 当kg=1时，两个闭环极点是s1,2=-1，为重极点。 当0<kg<1时，闭环极点为负实数，位于s平面的负实轴上， 其区间为(-2,-1)，(-1,0)。 当kg>1时，闭环极点为一对共轭复数。其实部为-1，说明 s1,2位于过(-1，j0)点，且平行于虚轴的直线上。
用解析法画根轨迹的方法
k g
1
s1, 2 1 1 k g
共轭复数特征根的实部s不变，等于常数。说明系统的调整 时间基本不变。 特征根的轨迹是一条垂直线，在该垂线上，特征根的实部 szwn是常数，且位于s左半平面。这就意味着对于该二阶位 置控制系统，不管增益kg如何增加，系统总是稳定的。
4.1.1 根轨迹的基本概念
表7.1.1 部分闭环极点的位置 kg s1 s2 0 -0+j0 -2.0-j0 0.5 1.0 2.0 3.0 … … … 50.0 -1.0+j7.0 -1.0-j7.0 … … …
-0.293+j0 -1.0+j0 -1.707-j0 -1.0-j0
-1.0+j1.0 -1.0+j1.414 -1.0-j1.0 -1.0-j1.414
4.1.1 根轨迹的基本概念
举例说明根轨迹的概念。 例4.1.1 考虑如下图所示的位置控制系统。电动机产生与误差 信号E(s)成正比的扭矩T(s)，即T(s)=AE(s)，系统负载包括电
动机的负载惯量J和粘性阻尼B。试讨论当放大系数A从零变化 到无穷大时，该位置控制系统闭环极点的变化情况，并分析 系统的时间响应。
和根轨迹上各点对应的kg值。
4.1.3 利用试探法确定根轨迹上的点
利用试探法确定根轨迹上的点:
由于根轨迹上的点满足相角条件，所以可利用相角条件来判 断s平面上的点是否在根轨迹上。 以例4.1.1为例： 假设s平面上有任意点A，如右图所示。 记-p1指向点A的向量为s，-p2指向点A 的向量为s+2，向量s和s+2的相角分别 为A1和A2，假设kg>=0，则开环传 递函数的相角为: kg |s A s (s 2) A1 A2 s(s 2)
系统的开环传递函数为: kg A/ J Gk ( s) s( s B / J ) s( s a) 假设a=2，有： kg Gk ( s ) s( s 2) 系统的闭环传递函数为: kg kg Y ( s) 2 R(s) s(s 2) k g s 2s k g
kg
m n
(s z )
i
m
| kg | s z j
j 1
m
s p
i 1
m j 1 n
n
e
j ( s z j ) ( s pi ) i 1 j 1
(s p )
j j 1
i 1 n
1
1
i
即： | k g | (s z j )
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
根轨迹的幅值和相角条件: 系统的方块图如下：
R( s ) Y ( s)
G( s) 闭环传递函数为： ( s) 1 G( s) H (s)
-
G (s)
H (s)
开环传递函数为： Gk (s) G(s) H (s)
将 Gk (s)写成开环零、极点形式 得：
i i 1 m
1
n
1 ， 2， (s z ) (s p ) (2k 1)，k 0，
j 1 j i 1 i
上述两式称为满足根轨迹方程(kg>=0)的幅值条件和相角条件。
4.1.2 根轨迹的幅值和相角条件
当根轨迹增益kg<0时： 根轨迹方程可写为：