瞬时速度与导数

小结：
知识方面： 1.瞬时速度的概念 2.导数的概念 思想方法：
以“已知探求未知”“逼近、类比、 从特殊到一般”思想
导数发展史
17 世纪 , 力学、航海、天文等方面取得了突飞猛 进的发展, 这些发展对数学提出了 新的要求, 它们 突出地表现为本章引言中提到的四类问题, 其中 的两类问题直接导致了 导数的产生: 一是根据物 体的路程关于时间的函 数求速度和加速度 ; 二是 求已知曲线的切线 . 由导数的定义 , 我们知道,高度h关于时间t的导数 就是运动员的瞬时速度 ; 气球半径r关于体积V的 导数就是气球的瞬时膨 胀率. 实际上, 导数可以描述任何事物 的瞬时变化率 ,如 效率、点密度、国内生 产总值GDP(Gross Dome stic Pr oduci的缩写)的增长率等等 .
问：运动员在
0t 65 49
这段时间里的平均速度是
h 。
思考？（1）运动员在这段时间内是静止的吗？ （2）你认为用平均速度描述运动员的 运动状态有什么问题吗？ o t
学习目标
1、 知识与技能：
了解导数概念的实际背景；理解函数在某点处导数以及在某个区 间的导函数的概念；会用定义求瞬时速度和函数在某点处的导数。
如果f ( x)在开区间（a, b）内每一点x都是可导的 则称f ( x)在开区间（a, b）内可导。这样，对开 区 间（a, b）内每个值x，都对应一个确定的导 数f ' ( x). 于是，在区间（ a, b）内，f ' ( x)构成一个新的函数， 把这个函数称为函数 y f ( x)的导函数.记为f ' ( x) 或y 或y x .导函数简称为导数。
【思考】火箭向上速度为0，意味着什么？你能 计算出此火箭熄火后上升的最大高度吗？
瞬时速度为 0，h(10.2) 510.
例2．一正方形铁板在0°C时，边长为10cm,加热后 铁板会膨胀。当温度为t°C时，边长变为10（1+at）cm， a为常数。试求铁板面积对温度的膨胀率。
解：设温度的增量为 t , 则铁板面积S的增量 S 102 [1 a(t t )]2 102 (1 at) 2 200(a a 2t )t 100a 2 (t ) 2 . S 因此 200(a a 2t ) 100a 2 t. t 令t 0，得S ' 200(a a 2t ). 所以铁板对温度的膨胀 率为200(a a 2t )。
小组合作探究二
【小组讨论】由此表可以看出，当时间间隔越 来越小时，平均速度趋于常数多少？这个常数 是否可以作为运动员在2s时瞬时速度？
当△ t 趋近于0时, 即无论 t 从小于2的一边,
还是从大于2的一边趋近于2时, 平均速度都趋近 于一个确定的值 –13.1. 从物理的角度看, 时间间隔 |△t |无限变小时, 平均速度 因此, 运动员在 t = 2 时的瞬时速度是 –13.1. “–”表示这个运动员在2S时的瞬时速度的 方向是竖直向下的. 就无限趋近于 t = 2时的瞬时速度.
t0
当△ t 趋近于0时，平均变化率趋近于
9.8t0 6.5
形成概念
函数的瞬时变化率
设函数y f ( x)在x0及其附近有定义， 当且仅当在x x0附近改变量为 x时， 函数值相应的改变 y f ( x0 x) f ( x0 ) 如果当x趋近于0时，平均变化率 y f ( x0 x) f ( x0 ) 趋近于一个常数 l， x x 那么常数l称为函数f（x）在点x0的瞬时变化率。
v
自主填空
1.由平均变化率公式计算2s至2+ t s运动员高度 的平均变化率：
h(2 t ) h(2) 13 .1 4.9t t 2.当 t 趋向于0时，平均变化率趋向于 -13.1 。
3.对任一时刻
，计算平均变化率，瞬时速度。 h h(t0 t ) h(t0 ) 平均变化率为 t t 4.9(t ) 2 (9.8t0 6.5)t t (4.9t 9.8t0 6.5)
' '
问题3.试回Βιβλιοθήκη Baidu f ' ( x) 与
f ' ( x0 )
的关系。
f ' ( x)在点 x x0处的函数值为 f ' ( x0 ). f ' ( x)是函数，而 f ' ( x0 )是个数值，不是变量。
【典型例题】
例 1、火箭竖直向上发射，熄火时向上速度达到 100m/s。 试问熄火后多长时间火箭向上速度为0。
f ( x0 x) f ( x0 ) 当x趋近于 0时， 趋近于一个常数 l， x
f ( x0 Δx) f ( x0 ) 可记作当x 0时， l， x f ( x0 Δx) f ( x0 ) 记作 lim l x 0 x
函数 y f（x）在点 x0的瞬时变化率，通常称 为 f（x）在点 x0的导数，记作 f ' ( x0 )
3、导数是一个局部概念，它只与函数在x0 及其附近的函数值有关，与△x无关。
归纳：利用导数定义求导数的步骤。
（1）求y f ( x0 x) f ( x0 )； y （2）求 ，并化简； x y ' （3）求f ( x0 ) lim . x 0 x
形成概念
导函数的概念
瞬时速度与导数
问题情境
设在10米跳台上，运动员跳离跳台时垂直 向上的速度为6.5m/s。运动员此时刻距离水面
1 2 h ( t ) 10 gt 6.5t ，其中g为重力加速 的高度 2
2
g 9.8m / s 。于是 h(t ) 10 4.9t 6.5t 。 度，
2
小组合作探究一
2、 过程与方法： （1）通过实例的分析，经历由平均变化率过渡到瞬时变化率的过程， 了解导数概念的实际背景知道瞬时变化率就是导数。 （2）通过动手计算培养学生观察、分析、比较和归纳能力。 （3）通过问题的探究体会逼近、类比、以已知探求未知、从特殊到 一般的数学思想方法。
3、 情感、态度与价值观： 通过运动的观点体会导数的内涵，使学生掌握导数的概念不再困 难，从而激发学生学习数学的兴趣.在从物理到数学，再用数学解决 物理问题的过程中体验数学的应用价值。 学习重点：函数在某一点处附近的瞬时速度、瞬时变化率的概念及 导数概念的形成。 学习难点：在平均变化率的基础上去探求瞬时变化率，深刻理解导数的内涵。
导数
微积分学的创始人:
导数思想最早由法国 数学家 Ferma 在研究 极值问题中提出.
英国数学家 Newton
德国数学家 Leibniz 微分学 导数 微分 描述函数变化快慢 描述函数变化程度
都是描述物质运动的工具 (从微观上研究函数)
f ( x0 Δx) f ( x0 ) 可记作当x 0时， f ' ( x0 )， x f ( x0 Δx) f ( x0 ) 记作 lim f ' ( x0 ) x 0 x
注意：
1、函数应在点的附近有定义， 否则导数不存在。 2、在定义导数中，△x趋近于0
可正、可负，但不为0，而△y可能为0。