高斯小学奥数五年级上册含答案_比较与估算
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第二十六讲比较与估算
在前面的章节中,同学们已经对分数的计算有了一定的认识,也学习了很多比较分数大
小的方法?今天我们将继续研究一些较复杂的分数比较大小和估算的问题.
例题1.
现有7个数,其中5个是3.&&、3-、116、3.&&、3凹?如果按照从小到大排列的第三
7 37 273
个数是空,那么位于最中间的数是多少?
37
「分析」这是一个比较多个数大小关系的推理题,虽然其中有着两个数未知,但是我们还应该先比较已知数之间的大小关系,再利用其他条件来推理出题目的结果.
练习1.
有8个数,0.&& -、5、0.5& 24、13是其中的6个.如果按从小到大的顺序排列时,
3 9 47 25
第4个数是0.5&.那么按从大到小排列时,第4个数是哪一个数?
例题2.
2 5 3
在不等式 2 5 3的方框中填入一个自然数,使得不等式成立.
3 □4
「分析」分子相同,分母大的分数小.但分子不一样怎么比较大小呢?
练习2
在不等式2□的方框中填入一个自然数,使得不等式成立.那么方框中最大可以填多少?
在算式的估算中,有一种方法比较常用,就是用非常接近的数来替换原来的数,这样可以得到一个和真实答案非常接近的近似值,但一定要注意近似值与真实值之间的误差是否符
合题意.
例题3.
算式33.333 33.333计算结果的整数部分是多少?
「分析」本题需要计算两个较复杂的数相乘,但是不要求计算出最后结果,只要求出结果的整数部分就可以了?我们可以从以下两个方面考虑:
(1)估算结果的大致情况,推出整数部分.
(2)计算出准确结果,确定整数部分.
那大家想一想应该怎么办?
练习3.
算式66.666 66.666计算结果的整数部分是多少?
算式的缩放是估算问题中经常用到的方法. 缩放的方法有很多.在放缩的时候要注意不
可将范围放缩得过大,这样将无法起到放缩本来应该有的作用.
例题4.
2 2 2 2
算式---L —计算结果的整数部分是多少?
11 12 13 20
「分析」本题显然不能硬算,不然太麻烦?如果能将该算式稍加变形,使它不仅变得好算, 还能确定大小范围,那就可以求出它的整数部分是多少了.
练习4.
3
3
3 3
算式-
—L —计算结果的整数部分是多少? 20 21
22 29
同例题4,需要对算式稍作变形,加以放缩来确定大小范围,进而求出整数部分
.
例题6. (1)两个小数的整数部分分别是
4和5,那么这两个小数乘积的整数部分共有多少种可能的取值?
(2)
将两个小数四舍五入到个位后,所得
到的数值分别是
7和9?将这两个小数的乘积四舍五
入到个位后共有多少种可能的取值?
「分析」注意到题目中的两个小数分别有一个连续的取值范围,那么乘积也一定有一个连续
的取值范围.
例题5.
求出99 100
999 1000
9999999999 的计算结果的整数部分.
10000000000
「分析」
等号与不等号的历史
、等号,不等号
为了表示等量关系,用“=”表示“相等”,这是大家最熟悉的一个符号了.
说来话长,在15、16世纪的数学书中,还用单词代表两个量的相等关系.例如在当时一些公式里,常常写着aequ或aequaliter这种单词,其含义是“相等”的意思.
1557年,英国数学家列科尔德,在其论文《智慧的磨刀石》中说:“为了避免枯燥地重复isaequalleto (等于)这个单词,我认真地比较了许多的图形和记号,觉得世界上再也没
有比两条平行而又等长的线段,意义更相同了.”于是,列科尔德有创见性地用两条平行且
相等的线段“=”表示“相等”,“=”叫做等号.
用“=”替换了单词表示相等是数学上的一个进步.由于受当时历史条件的限制,列科尔德发明的等号,并没有马上为大家所采用.历史上也有人用其它符号表示过相等. 例如数学家笛卡儿在1637年出版的《几何学》一书中,曾用表示过“相等”.直到17世纪,德国的数学家莱布尼兹,在各种场合下大力倡导使用“=”,由于他在数学界颇负盛名,等号渐渐被世人所公认.
顺便提一下,“工”是表示“不相等”关系的符号,叫做不等号.“工”和“=”的意义相反,在数学里也是经常用到的,例如a+ 1工a+ 5.
二、大于号,小于号
现实世界中的同类量,如长度与长度,时间与时间之间,有相等关系,也有不等关系.我们知道,相等关系可以用“=”表示,不等关系用什么符号来表示呢?
为了寻求一套表示“大于”或“小于”的符号,数学家们绞尽了脑汁. 1629年,法国
数学家日腊尔,在他的《代数教程》中,用象征的符号“ff”表示“大于”,用符号“§”
表示“小于”.例如,A大于B记作:“ AffB”,A小于B记作“ A§B”. 1631年,英国数
学家哈里奥特,首先创用符号“〉”表示“大于”,“V”表示“小于”,这就是现在通用的大于号和小于号.例如5>3,—2V0, a>b, m V n.
与哈里奥特同时代的数学家们也创造了一些表示大小关系的符号.例如,1631年,数
学家奥乌列德曾采用“ | —”代表“大于”;用“ _ ”代表“小于”.1634年,法国数学家厄里贡在他写的《数学教程》里,引用了很不简便的符号,表示不等关系,例如:a >b用符号“a3|2b”表示;b v a用符号“b2|3a”表示.因为这些不等号书写起来十分繁琐,很快就被淘汰
一直广为使用.
了.只有哈里奥特创用的“〉”和“V”
作业5.小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到
8 9 72,
有多少种可能?
作业1.下面的分数中,最大的是哪个?
3 2 6 - ? — ? --- 11 9 25
作业2.下面三个算式的结果中,最大的是哪个?最小的是哪个
?
作业3.算式1
2
3
2
5 2
L
13
15 17
作业4.
6.6666 9.9999的整数部分是
多少?
那么原算式结果的整数部分
11
29 '
丄丄,C 丄 - 13 27 14
26
2
11 的整数部分是多少? 23
作业 5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到
8 9 72 ,那么原算式结果的整数部分
有多少种可能?
作业 1.311 作业
2.
下面的分数中,最大的是哪个?
,
2,
6
9 25
下面三个算式的结果中,最大的是哪个?最小的是哪个?
1 1 1 1 1 1A
, B , C . 11
29 13
27 14 26
作业3.
2
2 2 2
算式 1 2 3 2
5 2 L 11 2的整数部分是多少?13 15
17 23
作业 4. 6.6666 9.9999 的整数部分是多少?
作业 5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到
8 9 72 ,那么原算式结果的整数部分
有多少种可能?
作业1.
311 作业
2.下面的分数中,最大的是哪个?
,
2
,
6
9 25
下面三个算式的结果中,最大的是哪个?最小的是哪个?
1 1 1 1 1 1
A
, B
, C
.
11
29
13 27 14 26
作业 3. 2 2 2 2
算式 1 2 3 2 5 2 L 11 2的整数部分是多少?
13 15 17 23
作业 4. 6.6666 9.9999的整数部分是多少?
作业 5. 小高将算式的两个乘数都四舍五入后得到8 9 72 ,那么原算式结果的整数部分有多少种可能?。