中考总复习-第-15-讲三角形全等与相似

中考专题复习----三角形

二、主要内容

1、三角形中位线

2、三角形全等：全等的判定，全等变换

3、三角形相似：相似的判定方法，相似三角形的性质。

三、主要知识点、典型例题及解析及变式练习：

知识点1 三角形中的中位线

连接三角形两边中点的线段叫做三角形的中位线。

（1）三角形共有三条中位线，并且它们又重新构成一个新的三角形。

（2）要会区别三角形中线与中位线。

三角形中位线定理：三角形的中位线平行于第三边，并且等于它的一半。

例1：如图，为测量位于一水塘旁的两点A、B间的距离，在地面上确定点O，分别取OA、OB的中点C、D，量得CD=20m，则A、B之间的距离是m．

考点：三角形中位线定理。

常作辅助线：各边中点的连线。

分析：根据三角形的中位线平行于第三边并且等于第三边的一半解答即可。

变式练习：

如图，在△ABC中，点D、E分别是AB、AC的中点．若DE=3，则BC= ．

知识点2 三角形全等的判定

全等用符号“≌”表示，读作“全等于”。如△ABC≌△DEF，读作“三角形ABC全等于三角形DEF”。

注：记两个全等三角形时，通常把表示对应顶点的字母写在对应的位置上。

（1）边角边定理：有两边和它们的夹角对应相等的两个三角形全等（可简写成“边角边”或“SAS”）

（2）角边角定理：有两角和它们的夹边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角边角”或“ASA”）

（3）边边边定理：有三边对应相等的两个三角形全等（可简写成“边边边”或“SSS”）。

推论：角角边定理：两角和一角的领边对应相等的两个三角形全等（可简写成“角角边”或“AAS”）

HL定理（斜边、直角边定理）：有斜边和一条直角边对应相等的两个直角三角形全等（可简写成“斜边、直角边”或“HL”）

例2：如图，在平行四边形ABCD中，过AC中点0作直线，分别交AD、BC于点E、F．

求证：△AOE≌△COF．

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定．

分析：据平行四边形的性质可知：OA=OC，∠AEO=∠OFC，∠EAO=∠OCF，所以△AOE≌△COF．变式练习：

如图，C是AB的中点，AD=BE，CD=CE．

求证：∠A=∠B．

例3：如图，四边形ABCD是平行四边形，DE平分∠ADC交AB于点E，BF平分∠ABC，交CD 于点F．

（1）求证：DE=BF；

（2）连接EF，写出图中所有的全等三角形．（不要求证明）

考点：平行四边形的性质；全等三角形的判定与性质

分析：（1）由平行四边形的性质和已知条件证明四边形DEBF是平行四边形，根据平行四边形的性质可得到DE=BF；

（2）连接EF，则图中所有的全等三角形有：△ADE≌△CBF，△DFE≌△BEF

变式练习：

如图，在菱形ABCD中，∠BAD=80°，AB的垂直平分线交对角线AC于点F，垂足为E，连接DF，则∠CDF等于（）

A．50°B．60°C．70°D．80°

知识点3 全等变换包括一下三种：

（1）平移变换：把图形沿某条直线平行移动的变换叫做平移变换。

（2）对称变换：将图形沿某直线翻折180°，这种变换叫做对称变换。

（3）旋转变换：将图形绕某点旋转一定的角度到另一个位置，这种变换叫做旋转变换。

例4：如图，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=BC，点D在边AB上，连接CD，将线段CD绕点C 顺时针旋转90°至CE位置，连接AE．

（1）求证：AB⊥AE；

（2）若BC2=A D•AB，求证：四边形ADCE为正方形．

考点：旋转的性质；全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形；正方形的判定；相似三角

形的判定与性质

分析：（1）根据旋转的性质得到∠DCE=90°，CD=CE ，利用等角的余角相等得∠BCD=∠ACE ，

然后根据“SAS”可判断△BCD ≌△ACE ，则∠B=∠CAE=45°，所以∠DAE=90°，即可得

到结论

变式练习：已知：如图，△ABC 中，AB =AC ，AD ⊥BC 垂足为D 。将△ADC 绕点D 逆时针旋转

90°后，点A 落在BD 上点A 1处，点C 落在DA 延长线上点C 1处，A 1 C 1与AB 交于点E 。

求证：△A 1BE ≌△AC 1E C E

D A 1

C 1

B 第19题A

知识点4 三角形相似的判定

（1）三角形相似的判定方法

①定义法：对应角相等，对应边成比例的两个三角形相似

②平行法：平行于三角形一边的直线和其他两边（或两边的延长线）相交，所构成的三

角形与原三角形相似

③判定定理1：如果一个三角形的两个角与另一个三角形的两个角对应相等，那么这两

个三角形相似，可简述为两角对应相等，两三角形相似。

④判定定理2：如果一个三角形的两条边和另一个三角形的两条边对应相等，并且夹角

相等，那么这两个三角形相似，可简述为两边对应成比例且夹角相等，

两三角形相似。

⑤判定定理3：如果一个三角形的三条边与另一个三角形的三条边对应成比例，那么这

两个三角形相似，可简述为三边对应成比例，两三角形相似。

（2）直角三角形相似的判定方法

①以上各种判定方法均适用

②定理：如果一个直角三角形的斜边和一条直角边与另一个直角三角形的斜边和一条直

角边对应成比例，那么这两个直角三角形相似

③垂直法：直角三角形被斜边上的高分成的两个直角三角形与原三角形相似。

例5：如图，在▱ABCD 中，AB=6cm ，AD=9cm ，∠BAD 的平分线交BC 于点E ，交DC 的延长线于

点F ，BG⊥AE，垂足为G ，BG=4cm ，则EF+CF 的长为 cm ．