2019-2020学年高一数学 1.3弧度制导学案.doc
高中数学第一章三角函数1.3弧度制导学案北师大版必修4
1.3 弧度制问题导学1．角度制与弧度制的互化活动与探究1(1)把112°30′化成弧度；(2)把－5π12化成度．迁移与应用把下列各角从度化成弧度或从弧度化成度．(1)67°30′；(2)810°；(3)108°；(4)135°；(5)7π；(6)－5π2；(7)23π4；(8)－4π5．1．角度与弧度的互化．(1)原则：牢记180°＝π rad，充分利用1°＝π180rad ，1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行换算． (2)方法：设一个角的弧度数为α，角度数为n ，则α rad ＝⎝⎛⎭⎪⎫α·180π°；n °＝n ·π180 rad ． 2．将角度制化为弧度制，当角度制中含有“分”“秒”单位时，应先将它们统一转化为“度”，再利用1°＝π180rad 化为弧度即可．以弧度为单位表示角时，常把弧度写成多少π的形式．如无特殊要求，不必把π写成小数．2．用弧度表示终边相同的角及区域角活动与探究2已知角α＝2 005°，(1)将α改写成β＋2k π(k ∈Z,0≤β＜2π)的形式，并指出α是第几象限的角； (2)在区间[－5π，0)上找出与α终边相同的角．迁移与应用已知角α的终边与π3的终边相同，求角α3在[0,2π)内的值．(1)用弧度表示终边相同的角所有与角α终边相同的角，连同角α在内，构成的集合用弧度可表示为{β|β＝2k π＋α，k ∈Z }，这里α应为弧度数．(2)在某个区间内寻找与α终边相同的角β ①首先表示β的一般形式．②然后根据区间范围讨论k 的值．③最后把k 的值代入β的一般形式求出．活动与探究3用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在图中的阴影部分内的角的集合(不包括边界)．迁移与应用用弧度表示顶点在原点，始边与x轴的非负半轴重合，终边落在阴影部分内的角的集合，如图所示，包括边界．区域角的表示方法(1)要用终边相同的角的表示形式表示出以阴影部分的边界为终边的角，并注意旋转的方向及两边界角的大小顺序；(2)表达式中角度制与弧度制不能混用；(3)要分清阴影部分是否包括边界，以确定表达式中是否带“等号”．3．弧长公式及扇形面积公式的应用活动与探究4扇形AOB的周长为8 cm，圆心角为α(0＜α＜2π)．(1)若这个扇形的面积为3 cm2，求圆心角α的大小；(2)求这个扇形的面积取得最大值时圆心角α的大小．迁移与应用如图所示，已知扇形AOB的圆心角为120°，半径长为6，求：(1)AB的长；(2)弓形ACB的面积．(1)在弧度制下的弧长公式及扇形面积公式中，由α，r，l，S中的两个量可以求出另外的两个量，即用方程的思想“知二求二”．(2)求扇形的面积关键是求得扇形的圆心角、半径、弧长三个量中的任意两个量．相反，也可由扇形的面积结合其他条件，求扇形的圆心角、半径、弧长．解题时要注意公式的灵活变形及方程思想的运用．当堂检测1．下列说法中，错误的是( )．A．用角度制和弧度制度量任一角，单位不同，量数也不同B．1°的角是周角的1360，1 rad的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径无关2．已知扇形的圆心角为2π3弧度，半径为2，则扇形的面积为( )．A ．83π B．43C ．2π D．4π33．把－1 485°写成2k π＋α(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式是( )．A ．－8π＋π4B ．－8π－7π4C ．－10π－π4D ．－10π＋7π44．(1)300°化为弧度是________；(2)－5π6化为度是________；(3)终边落在如图的阴影部分(包括边界)的角的集合是________．5．已知扇形的周长为6 cm ，面积为2 cm 2，求扇形圆心角α(0＜α＜2π)．课前预习导学 【预习导引】1．(1)1360(2)1弧度的角 rad 弧度 弧度预习交流1 略预习交流2 30° 45° 120°0 π12 π3 5π12 3π4 5π6 5π4 3π2 3．正数 负数 0预习交流3 (1)32 (2)π34．|α|πr 180 |α|r |α|πr 2360 12lr 12|α|r 2预习交流4 (1)提示：此公式可类比三角形的面积公式来记忆．(2)π2 3π2课堂合作探究 【问题导学】活动与探究1 解：(1)112°30′＝112.5°＝112.5×π180＝2252×π180＝5π8；(2)－5π12＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫5π12×180π°＝－75°. 迁移与应用 (1)3π8rad(2)9π2rad (3)3π5rad (4)3π4rad(5)1 260° (6)－450° (7)1 035° (8)－144°活动与探究2 解：(1)2 005°＝2 005×π180＝401π36＝5×2π＋4136π.又π＜41π36＜3π2，所以α与41π36终边相同，是第三象限角．(2)与α角终边相同的角为2k π＋41π36，k ∈Z .由－5π≤2k π＋41π36＜0，可得－52－4172≤k ＜－4172.∵k ∈Z ，∴k ＝－3，－2，－1.∴在区间[－5π，0)上，与角α终边相同的角是－31π36，－103π36，－175π36.迁移与应用 π9，7π9，13π9活动与探究3 解：(1)图①中以OB 为终边的角为330°，可看成是－30°，化为弧度，即－π6，而75°＝75×π180＝5π12，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－π6<θ<2k π ＋5π12，k ∈Z .(2)图②中以OB 为终边的角为225°，可看成是－135°，化为弧度，即－3π4，而135°＝135×π180＝3π4，∴⎩⎨⎧⎭⎬⎫θ|2k π－3π4<θ<2k π＋3π4，k ∈Z .迁移与应用 解：(1) ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＋π6≤α≤2k π＋5π4，k ∈Z .(2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π－π3≤α≤2k π＋π6，k ∈Z . (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪k π＋π4≤α≤k π＋2π3，k ∈Z. 活动与探究4 解：设扇形AOB 的半径为r ，弧长为l ，(1)由题意可得⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12lr ＝3，解得⎩⎪⎨⎪⎧r ＝3，l ＝2，或⎩⎪⎨⎪⎧r ＝1，l ＝6，∴α＝l r ＝23或α＝lr ＝6.(2)∵2r ＋l ＝8，∴S 扇＝12lr ＝12(8－2r )·r ＝－r 2＋4r ＝－(r －2)2＋4，∴当r ＝2时，S 扇形最大取4，此时l ＝4，α＝lr＝2. 迁移与应用 (1)4π(2)12π－9 3 【当堂检测】 1．A 2．D 3．D4．(1)5π3(2)－150°(3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪3π4＋2k π≤α≤5π4＋2k π，k ∈Z5．1弧度或4弧度。
2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4
2019-2020年高中数学《1.3弧度制》教学案新人教版必修4【学习目标】1.理解弧度制的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数；2.掌握弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 ； 【重点、难点】弧度与角度的换算及弧度制下的弧长公式和扇形的面积公式 【温故而知新】 1.复习填空（1）角度制规定，将一个圆周分成 份，每一份叫做 1 度，故一周等于 度，平角等于 度，直角等于 度.（2）所有与角终边相同的角，连同角在内，可构成一个集合 .【教材助读】1.认真阅读课本P9—11，理解弧度制，并思考完成以下问题 (1)角的弧度制是如何引入的？(2)为什么要引入弧度制？好处是什么？ (3)弧度是如何定义的？(4)规定：周角 为1度的角； 叫做1弧度的角. (5)角度制与弧度制相互换算： 1弧度= （度）；1度= （弧度） (6)弧长公式：(7)扇形面积公式： lr r r n S 212136022=⋅==απ 【预习自测】1.将下列表格中特殊角的度数转化为弧度制2、下列说法中，叙述错误的是( D ) A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位 B ．1度的角是周角的，1弧度的角是周角的 C ．根据弧度的定义，一定等于弧度D ．不论是用角度制还是用弧度制度量角，角的大小均与圆的半径长短有关 3、求半径为，圆心角为所对应的弧长和扇形的面积。
【我的疑惑】二、课堂互动探究【例1】1.把下列各角从度化为弧度：（1） （2） （3） （4） （5）解：(1) (2) (3) (4) (5)2.把下列各角从弧度化为角度：（1） （2） （3） （4） （5） 解：（1） （2） （3） （4） （5）【例2】将下列各角化成)20,(2πααπ<≤∈+Z k k 的形式,并确定其所在的象限．； ．解: (1) 而是第三象限的角,是第三象限角.(2) 631,656631ππππ-∴+-=-是第二象限角. 【变式训练1】用弧度制分别表示终边在轴的非正、非负半轴，轴的非正、非负半轴，轴上的角的集合。
2019-2020年高中数学 弧度制教案 新人教A版必修1
2019-2020年高中数学 弧度制教案 新人教A 版必修1教材：弧度制目的：要求学生掌握弧度制的定义，学会弧度制与角度制互化，并进而建立角的集合与实数集一一对应关系的概念。
过程：一、回忆（复习）度量角的大小第一种单位制—角度制的定义。
二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 它的单位是rad 读作弧度定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1radAOC=2rad周角=2rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 （为弧长，为半径）3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0） 用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
三、角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad∴ 1='185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例一 把化成弧度 解： ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例二 把化成度 解：注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin表示rad 角的正弦3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P9表）4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集R 四、练习（P11 练习1 2） 例三 用弧度制表示：1终边在轴上的角的集合 2终边在轴上的角的集合3终边在坐标轴上的角的集合解：1终边在轴上的角的集合2终边在轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈+==Z k k S ,2|2ππββ 3终边在坐标轴上的角的集合 ⎭⎬⎫⎩⎨⎧∈==Z k k S ,2|3πββ 例四 老《精编》P118-119 4、5、6、7 五、 小结：1．弧度制定义 2．与弧度制的互化六、作业： 课本 P11 练习 3、4 P12习题4.2 2、3o rC2rad1rad r l=2r o AA B 正角零角 负角正实数 零 负实数2019-2020年高中数学弧度制教案新人教A版必修4有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里，但也有人回答约160英里，请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1.6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同，一个是公里制，一个是英里制.他们的长度单位是不同的，但是，他们之间可以换算：1英里=1.6公里.在角度的度量里面，也有类似的情况，一个是角度制，我们已经不再陌生,另外一个就是我们这节课要研究的角的另外一种度量制---弧度制.一、【学习目标】1、理解弧度的概念，会熟练的进行角度与弧度的转换；2、能用弧度表示终边相同角的角；3、熟记并能熟练应用弧长公式、扇形面积公式.二、【自学内容和要求及自学过程】1、阅读教材第6页内容，回答问题（弧度制）度量长度可以用米、英尺、码等不同的单位制，度量质量可以用千克、磅等不同的单位制.不同的单位制能给解决问题带来方便.角的度量是否也能用不同的单位制呢？<1>什么叫角度制，请简要复述之.结论：角度制规定：将一个圆周分成360份，每一份叫做1度，故一周等于360度，平角等于180度，直角等于90度等等.<2>什么叫做弧度制，请简要复述之.结论：长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1，或1弧度，或1(单位可以省略不写).如图所示：<3>半径为r的圆的圆心与圆点重合，角的始边与x轴的非负半轴重合，交圆于点A，终边与圆交于点B.请在下列表格中结论：我们知道，角有正负零角之分，它的弧度数也应该有正负零之分，如-π，-2π等等，一般地, 正角的弧度数是一个正数，负角的弧度数是一个负数，零角的弧度数是0,角的正负主要由角的旋转方向来决定. <4>如果一个半径为的圆的圆心角所对的弧长是,那么的弧度数是多少? 结论：角的弧度数的绝对值是：，其中，l 是圆心角所对的弧长，是半径. 角的正负主要由角的旋转方向来决定注意：①在应用公式求圆心角时，其结果是圆心角与弧度的绝对值.在物理学中计算角速度经常用到它，它的正负主要由角的旋转方向来决定；②这个公式可变形为)0(||/||≠==αααl r r l 、，在应用这两个公式时，如果已知的角以“度”为单位，应先把它们化成弧度数后再计算.可以看出，这些公式各有各的用处.2、阅读教材第7页内容，回答问题（弧度制与角度制的转换）用角度制和弧度制来 度量零角，单位不同，但量数相同（都是零）；用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同. <5>角度制和弧度制应该怎样转换？结论：因为圆周的弧度数是2π，而在角度制下的度数是360，所以：3600=2πrad ，1800=πrad ，10=（π/180）rad ≈0.01745rad.反过来有1rad=（180/π）0≈57.300=57018‘. 一般地，我们可以根据如图所示的公式进行角度与弧度的换算.<6>请你设计一个算法，把角度换算为弧度.<7>熟记下列特殊角的弧度数：00，300，450，600，900，1200，1350，1500，1800，2100，2250，2400，2700，3000，3150，3300，3600结论：角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数)与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应.3、阅读教材例3，回答问题.（扇形弧长、面积公式）<8>利用弧度制证明下列关于扇形的公式:(1); (2); (3).其中是半径,是弧长,为圆心角,是扇形的面积.三、【综合练习与思考探索】练习一：（教材例1、2、4）例1、按照下列要求,把化成弧度:精确值；精确到0.001的近似值.例2、将3.14换算成角度(用度数表示,精确到0.001).例4、利用计算器比较sin1.5和sin850的大小.注意:角度制与弧度制的换算主要抓住,另外注意计算器计算非特殊角的方法.练习二：教材第9页练习1、2、3、4、5.注意：弧度制和角度制不能混用.四、【作业】1、必做题：习题1.1A组6、7、8、9、10；2、选做题：习题1.1B组1、2、3.五、【小结】理解弧度制，能熟练的进行弧度制与角度值的转换.六、【教学反思】本节知识比较碎，但是要抓住一个重点，就是角度与弧度的转换.要让学生能熟练的运用公式进行转换.七、【课后小练】1、已知扇形面积为S，扇形的周长是否有最小值？若有，求此最小值及取最小值时扇形的中心角是多少，否则说明理由.（有，中心角为2，周长最小值为4）2、在直径为10cm的轮子上有一长为6cm的弦，P为弦的中点，轮子以每秒5弧度的角速度旋转，求经过5s后，点P转过的弧长.（100cm）3、在扇形AOB中，扇形所对的中心角为直角，弧AB的长为l，求此扇形的内切圆面积.4、角1和角2的终边关于y=x对称，若角1为π/6，则在0—4π间，满足要求的角2等于（π/3，7π/3）5、已知扇形的内切圆半径与扇形的半径之比为1：3，则内切圆的面积与扇形的面积之比为多少?(2:3)6、圆的一段弧长等于这个圆的内接正三角形的一条边长，则这段弧所对的圆心角是多少弧度？7、已知扇形的周长是6，面积是2，则扇形的中心角是多少？（2或4）8、一圆内切于中心角为π/3，半径为R的扇形，则该圆的周长与该扇形的周长之比为多少？9、2弧度的圆心角所对的弦长为2，求此圆心角所夹扇形的面积.10、已知一扇形的周长是40cm，当它的半径和圆心角取什么值时，才能使扇形面积最大？最大面积是多少？11、若角1的终边与8π/5的终边相同，则在[0,2π]内终边与角1的四分之一的终边相同的角是多少？（全部列举出来.）12、已知圆中的一段弧长正好等于该圆的外切正三角形的边长，那么这段弧所对的圆心角的弧度数为多少？13、已知扇形的周长为10cm，面积为4cm2，求扇形圆心角的弧度数.14、已知扇形的圆心角为72，半径等于200，求扇形的面积.15、与-15600终边相同的角的集合中，最小正角是多少？最大负角是多少？绝对值最小的角是多少？。
【新教材】新人教A版必修一 弧度制 教案
2019—2020学年新人教A 版必修一 弧度制 教案一、教学目标：1、知识与技能（1）理解并掌握弧度制的定义；（2）领会弧度制定义的合理性；（3）掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；(4）熟练地进行角度制与弧度制的换算；（5）角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
（6) 使学生通过弧度制的学习，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法,二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系.2、过程与方法 创设情境，引入弧度制度量角的大小,通过探究理解并掌握弧度制的定义,领会定义的合理性.根据弧度制的定义推导并运用弧长公式和扇形面积公式。
以具体的实例学习角度制与弧度制的互化,能正确使用计算器.3、情态与价值通过本节的学习，使同学们掌握另一种度量角的单位制—-—弧度制，理解并认识到角度制与弧度制都是对角度量的方法，二者是辨证统一的，而不是孤立、割裂的关系。
角的概念推广以后,在弧度制下,角的集合与实数集R 之间建立了一一对应关系:即每一个角都有唯一的一个实数(即这个角的弧度数）与它对应；反过来，每一个实数也都有唯一的一个角（即弧度数等于这个实数的角）与它对应，为下一节学习三角函数做好准备。
二、教学重、难点重点: 理解并掌握弧度制定义；熟练地进行角度制与弧度制地互化换算；弧度制的运用。
难点: 理解弧度制定义，弧度制的运用。
三、学法与教学用具在我们所掌握的知识中，知道角的度量是用角度制,但是为了以后的学习，我们引入了弧度制的概念，我们一定要准确理解弧度制的定义,在理解定义的基础上熟练掌握角度制与弧度制的互化.教学用具:计算器、投影机、三角板四、教学设想【创设情境】 有人问：海口到三亚有多远时，有人回答约250公里,但也有人回答约160英里,请问那一种回答是正确的？（已知1英里=1。
6公里）显然，两种回答都是正确的，但为什么会有不同的数值呢？那是因为所采用的度量制不同,一个是公里制,一个是英里制。
人教版数学高一-弧度制 精品教学设计
A. B. C. D.
4.半径为2的圆的圆心角所对弧长为6，则其圆心角为 .
5. 化为度表示是.
6．在 中，若 ，求A，B，C弧度数。
四课后反思
五课后巩固练习
1.用弧度制表示终边在下列位置的角的集合：
（1）直线y=x；（2）第二象限.
2.圆弧长度等于截其圆的内接正三角形边长，求其圆心角的弧度数，并化为度表示.
教案、学案：弧度制
年级高一
学科数学
课题
弧度制
授课时间
撰写人
学习重点
了解弧度制，并能进行弧度与角度的换算
学习难点
弧度的概念及其与角度的关系.
学习目标
①了解弧度制，能进行弧度与角度的换算.
②认识弧长公式，能进行简单应用. 对弧长公式只要求了解，会进行简单应用，不必在应用方面加深.
③了解角的集合与实数集建立了一一对应关系，培养学生学会用函数的观点分析、解决问题.
（1）终边在 轴上的角的集合；
（2）终边在 轴上的角的集合.
变式：终边在坐标轴上的角的集合.
例3、知扇形的周长为8 ，圆心角 为2rad，，求该扇形的面积。
三巩固练习
1.把 化成弧度表示是（）.
A. B. C. D.
2.若α＝－3，则角α的终边在（）.
A.第一象限B.第二象限
C.第三象限D.第四象限
教学过程
一自主学习
1长度等于半径长的圆弧所对的圆心角叫做1弧度角，记作1 ，或1弧度，或1(单位可以省略不写).这种度量角的单位制称为.
2.正角的弧度数是数，负角的弧度数是数，零角的弧度数是.
3.角的弧度数的绝对值.（ 为弧长， 为半径）
4：完成特殊角的度数与弧度数的对应表.
§1.3.1 弧度制
课 题 §1.3.1 弧度制1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系. 重难点：重 点：理解弧度制的意义，正确进行弧度与角度的换算.难 点：弧度的概念及与角度的关系；角的集合与实数之间的一一对应关系.初中时所学的角度制，是怎么规定1 角的？将一个圆周角分成 份，每一份叫做1度，故一周角等于 度，平角等于 度，直角等于 度.二、新课导学 ※探究新知：阅读课本，并思考以下问题：1.弧度制是什么呢？1弧度是什么意思？一周是多少弧度？半周呢？直角等于多少弧度？弧度制与角度制之间如何换算？① 如图：∠AOB 所对弧长分别为l ，'l ,半径分别为r 、r ’，求证：lr＝''l r .② 讨论：lr 是否为定值？其值与什么有关系？③ 讨论：l r 在什么情况下为值为1？lr是否可以作为角的度量单位？归纳： 叫做1弧度的角.用 表示，读作④完成下表特殊角的度数与弧度数的对应表:弧度数 ⑤角度制与弧度制的换算公式：360°＝ rad 180°＝ rad1°＝ rad ≈ rad 1 rad ＝ °≈ °⑥角的概念推广后,在弧度制下, 与 之间建立起一一对应的关系每个角都有唯一的一个实数(即 )与它对应;反过来,每一个实数也都有 (即 )与它对应.三、应用举例例1. 把下列各角从弧度化为度： （1）π53； （2）3.5； （3）-π319。
例2. 把下列各角从度化为弧度:(1)225︒； （2）-22︒30′； （3）-150︒。
三、总结提升※ 学习小结1.理解弧度的意义，能正确地进行弧度与角度的换算，熟记特殊角的弧度数.2.了解角的集合与实数集R 之间可以建立起一一对应的关系.※ 当堂检测（时量：5分钟 满分：10分） 1 .若6α=-，则角α的终边在 （ ）A 、第一象限B 、第二象限C 、第三象限D 、第四象限 2.在半径不等的两个圆内，1弧度的圆心角（ ）A ．所对弧长相等B ．所对的弦长相等C ．所对弧长等于各自半径D ．所对的弧长为180357R' 3．时钟经过一小时，时针转过了( )A.6πB.－6πC.12πD.－12π4、将下列弧度转化为角度： （1）12π= ；（2）－87π= ；（3）613π= .5. 在ABC ∆中，若7:5:3::=∠∠∠C B A ，则=A 弧度，=B 弧度，=C 弧度。
高一数学弧度制学案 苏教版
高一数学弧度制学案教学目标： 1.理解弧度制的意义；2.能正确的应用弧度与角度之间的换算；3.记住公式||l rα=（l 为以角α作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径）。
4．扇形面积公式及其应用，求扇形面积的最值。
教学重、难点：1.弧度与角度之间的换算。
2.弧长公式、扇形面积公式的应用。
教学过程：一．复习：初中时所学的角度制，是怎么规定1o 角的？二．新课讲解：1．弧度角的定义：规定：练习：圆的半径为r ，圆弧长为2r 、3r 、2r 的弧所对的圆心角分别为多少？说明：一个角的弧度由该角的大小来确定，与求比值时所取的圆的半径大小无关。
思考：什么π弧度角？一个周角的弧度是多少？一个平角、直角的弧度分别又是多少？2．弧度的推广及角的弧度数的计算：规定：说明：我们用弧度制表示角的时候，“弧度”或rad 经常省略，即只写一实数表示角的度量。
3．角度与弧度的换算3602π=o rad 180π=orad 1801π=︒rad 0.01745≈rad 1rad =︒)180(π5718'≈o例题分析：例1 把'3067︒化成弧度．例2 把35πrad 化成度。
例3 用弧度制分别表示轴线角、象限角的集合。
（1）终边落在x 轴的非正、非负半轴，y 轴的非正、非负半轴的角的集合。
（2）第一、二、三、四象限角的弧度表示。
例4 将下列各角化为2(02,)k k Z πααπ+≤<∈的形式，并判断其所在象限。
（1）193π； （2）315-o ； （3）1485-o ．4．在角度制下，弧长公式及扇形面积公式如何表示？圆的半径为r ，圆心角为n o 所对弧长为：扇形面积为 ：5．弧长公式：在弧度制下，弧长公式和扇形面积公式又如何表示？6．扇形面积公式：扇形面积公式为： oOA B说明：①弧度制下的公式要显得简洁的多了；②以上公式中的α必须为弧度单位．例5 （1）已知扇形OAB 的圆心角α为120o ，半径6r =，求弧长AB 及扇形面积。
2019-2020学年高中数学 1.1.2弧度制教案教案 新人教A版必修4.doc
一、引入 回忆： 度量角的大小第一种单位制—角度制的定义 二、提出课题：弧度制—另一种度量角的单位制 ，它的单位是rad 读作弧度（1）弧度制定义：长度等于半径长的弧所对的圆心角称为1弧度的角。
如图：AOB=1rad AOC=2rad周角=2rad1． 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0 2． 角的弧度数的绝对值 rl=α（l 为弧长，r 为半径） 3． 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）用角度制和弧度制来度量任一非零角，单位不同，量数也不同。
or C 2rad1rad r l=2r o A A B（2）角度制与弧度制的换算 抓住：360=2rad ∴180= rad∴ 1=rad rad 01745.0180≈π'185730.571801=≈⎪⎭⎫ ⎝⎛=πrad例1 把'3067化成弧度解：⎪⎭⎫ ⎝⎛=2167'3067 ∴ rad rad ππ832167180'3067=⨯=例2 把rad π53化成度解： 1081805353=⨯=rad π 注意几点：1．度数与弧度数的换算也可借助“计算器”《中学数学用表》进行； 2．今后在具体运算时，“弧度”二字和单位符号“rad ”可以省略 如：3表示3rad sin 表示rad 角的正弦 3．一些特殊角的度数与弧度数的对应值应该记住（见课本P8） 4．应确立如下的概念：角的概念推广之后，无论用角度制还是弧度制都能在角的集合与实数的集合之间建立一种一一对应的关系。
任意角的集合 实数集三．例题分析 课本例3 正角 零角 负角正实数 零 负实数。
人教版高中数学高一A版必修4课堂导学案 弧度制
课堂导学 三点剖析 1.理解弧度的意义，角度与弧度的换算 【例1】设角α1=-570°，2α=750°，β1=35π弧度，β2=π37-弧度. （1）将α1，2α用弧度表示出来，并指出它们各自所在的象限； （2）将β1、β2用角度制表示出来，并在-720°—0°之间找出与它们有相同终边的所有角. 思路分析：涉及到角度与弧度的互化关系和终边相同的角的概念，其基本公式360°=2π弧度在解题中起关键作用.解：(1)∵180°=π弧度,∴-570°=-ππ619180570-=. ∴α1=-2×2π+65π, 同理2α=2×2π+6π, ∴α1在第二象限，2α在第一象限. （2）∵5353=π×180°=108°, 设θ=k·360°+β1(k ∈Z ),由-720°≤θ＜0°,∴-720°≤k·360°+108°＜0°,∴k=-2或k=-1，∴在-720°—0°之间与β1有相同终边的角是-612°和-252°.同理 β2=-360°-60°=-420°，且在-720°—0°间与β2有相同的终边的角是-420°和-60°.温馨提示迅速进行角度与弧度的互化，准确判明角所在的象限是学习三角函数知识的必备基本功.若需要在某一指定范围内求具有某种特性的角，通常可象上例一样化为解不等式去求对应的k 值.2.弧度制的概念及与角度的关系【例2】一条弦的长度等于半径r,求：(1)这条弦所对的劣弧长；（2）这条弦和劣弧所组成的弓形的面积.思路分析：由已知可知圆心角的大小为3π，然后用公式求解. 解：（1）如下图所示，半径为r 的⊙O 中弦AB=r,则△OAB 为等边三角形，所以∠AOB=3π，则弦AB 所对的劣弧长为3πr.(2)∵S △AOB =21×|AB|×|OD|=21×r×43232r r = S 扇形OAB =21lr=21×3r π×r=62r π ∴S 弓形=S 扇形OAB -S △AOB =6πr 2-243r =(6π-43)r 2. 3.弧度制表示角及终边相同的角【例3】 集合M={x|x=2πk +4π,k ∈Z },N={x|x=4πk +2π,k ∈Z },则有（ ） A.M=N B.M N C.M N D.M∩N=∅思路分析：本题是考查用弧度制表示角的集合之间的关系.可以用取特殊值法分别找到集合M 、N 所表示的角的终边的位置.解：对集合M 中的整数k 依次取0,1,2,3,得角4π,43π,45π,47π.于是集合M 中的角与上面4个角的终边相同，如图（1）所示.同理，集合N 中的角与0,4π,2π,43π,π,45π,23π,47π,2π角的终边相同，如下图（2）所示.故M N.∴选C.答案：C温馨提示在今后表示角时，常常使用弧度制.但要注意，弧度制与角度制不能混用，例如α=2kπ+30°(k ∈Z),β=k·360°+π23（k ∈Z ）都不正确. 各个击破类题演练1（1）把112°30′化成弧度（精确到0.001）；（2）把112°30′化成弧度（用π表示）；（3）把-125π化成度. 解：(1)①n=112°30′,π=3.141 6; ②n=6030112=112.5 ③α=180π≈0.017 5④α=na=1.968 75α≈1.969 rad (2)112°30′=(2252)°=2252×180π=85π (3)-125π=-(125π×π180)°=-75° 变式提升1判断下列各角所在的象限:（1）9；（2）-4；（3）51999π-. 解：（1）因为9=2π+(9-2π),而2π＜9-2π＜π，所以9为第二象限角. (2)因为-4=-2π+（2π-4），而2π＜2π-4＜π,所以-4为第二象限角. (3) 51999π-=-200×2π+π5,所以51999π-为第一象限角. 温馨提示(1)角度数的单位不能省略、弧度数的单位可以省略.(2)一般情况下没有精确度要求，保留π即可，不必将π化成小数.(3)判断α所在的象限时，一般是把α表示成α=2kπ+α′,k ∈Z ,α′∈［0,2π)的形式，根据α和α′角终边相同作出判断.类题演练2一个半径为r 的扇形，若它的周长等于弧所在的半圆的长，那么扇形的圆心角是多少弧度？扇形的面积是多少？解：设扇形的圆心角是θ弧度，则扇形的弧长是rθ，扇形的周长是2r+rθ.由题意可知2r+rθ=πr.∴θ=π-2（弧度）.扇形的面积为S=21r 2θ=21r 2(π-2). 变式提升2一扇形周长为20 cm ，问扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？ 解：设扇形中心角为θ，半径为r ，则 2r+θr=20,θ=r r 220-. S 扇形=21θr 2 =12·rr 220-·r 2 =(10-r)r=10r-r 2.当r=)1(210-⨯- =5时，S 扇形最大=25，此时θ=2.答：扇形的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.类题演练3已知α角的终边与3π的终边相同，在［0，2π）内哪些角的终边与3α角的终边相同？ 解：∵α角的终边与3π的终边相同， ∴α=2kπ+3π(k ∈Z ). ∴3α=2k 3π+π9(k ∈Z ). 又0≤3α＜2π, ∴0≤32πk +9π＜2π(k ∈Z ). 当k=0、1、2时，有3α=9π、97π、913π，它们满足条件. ∴9π、97π、913π为所求. 变式提升3若α是第四象限角，则π-α是（ ）A.第一象限角B.第二象限角C.第三象限角D.第四象限角解法1：∵α为第四象限角.∴2kπ-2π＜α＜2kπ,k ∈Z . ∴-2kπ＜-α＜-2kπ+2π,k ∈Z . ∴-2kπ+π＜π-α＜-2kπ+23π,k ∈Z . ∴π-α是第三象限角.解法2：∵角α与角-α的终边关于x 轴对称，又∵角α的终边在第四象限， ∴角-α终边在第一象限，又角-α与π-α的终边关于原点对称，∴角π-α的终边在第三象限.答案：C。
2019-2020学年新人教A版必修一 弧度制 学案
2019-2020学年新人教A 版必修一 弧度制 学案一、弧度制的概念1．角度制：规定周角的1360为1度的角，用度作为单位来度量角的单位制叫做角度制．2．弧度制：把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1弧度的角，记作1 rad ，用弧度作为角的单位来度量角的单位制称为弧度制．思考1：“1弧度的角”的大小和所在圆的半径大小有关系吗？ [提示] “1弧度的角”是一个定值，与所在圆的半径大小无关． 二、角度制与弧度制的换算 1．角度制与弧度制的换算正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0. 思考2：角度制与弧度制之间如何进行换算？[提示] 利用1°＝π180弧度和1弧度＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°进行弧度与角度的换算． 三、扇形的弧长公式及面积公式1．弧度制下的弧长公式：如图，l 是圆心角α所对的弧长，r 是半径，则圆心角α的弧度数的绝对值是|α|＝lr，弧长l ＝|α|r .特别地，当r ＝1时，弧长l ＝|α|.2．扇形面积公式：在弧度制中，若|α|≤2π，则半径为r ，圆心角为α的扇形的面积为S ＝|α|2π·πr 2＝12lr .1．思考辨析(1)大圆中1弧度角比小圆中1弧度角大．( ) (2)圆心角为1弧度的扇形的弧长都相等．( ) (3)长度等于半径的弦所对的圆心角是1弧度．( ) [答案] (1)× (2)× (3)× 2．将下列弧度与角度互换 (1)－2π9＝________；(2)2＝________； (3)72°＝________； (4)－300°＝________. (1)－40° (2)⎝⎛⎭⎪⎫360π° (3)2π5 rad (4)－5π3 rad[(1)－2π9 rad ＝－29×180°＝－40°.(2)2 rad ＝2×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝⎝ ⎛⎭⎪⎫360π°.(3)72°＝72×π180 rad ＝2π5rad.(4)－300°＝－300×π180 rad ＝－5π3rad.]3．半径为1，圆心角为2π3的扇形的弧长为________，面积为________．2π3 π3 [∵α＝2π3，r ＝1，∴弧长l ＝α·r ＝2π3， 面积＝12lr ＝12×2π3×1＝π3.]角度制与弧度制的互化【例1】 把下列弧度化成角度或角度化成弧度： (1)－450°；(2)π10；(3)－4π3；(4)112°30′.思路点拨：利用“180°＝π”实现角度与弧度的互化．[解] (1)－450°＝－450×π180 rad ＝－5π2 rad ；(2)π10 rad ＝π10×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝18°； (3)－4π3 rad ＝－4π3×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝－240°；(4)112°30′＝112.5°＝112.5×π180 rad ＝5π8rad.角度制与弧度制换算的要点：提醒：度化弧度时，应先将分、秒化成度，再把度化成弧度．1．将下列角度与弧度进行互化．(1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.[解] (1)20°＝20π180 rad ＝π9 rad.(2)－15°＝－15π180 rad ＝－π12 rad.(3)7π12 rad ＝712×180°＝105°.(4)－11π5 rad ＝－115×180°＝－396°.用弧度制表示角的集合【例2】 用弧度制表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界，如图所示)．思路点拨：先写出边界角的集合，再借助图形写出区域角的集合． [解] 用弧度制先写出边界角，再按逆时针顺序写出区域角，(1)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－π6＋2k π<θ<512π＋2k π，k ∈Z . (2)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪－3π4＋2k π<θ<3π4＋2k π，k ∈Z. (3)⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪π6＋k π<θ<π2＋k π，k ∈Z.表示角的集合，单位制要统一，不能既含有角度又含有弧度，如在“α＋2k π(k ∈Z )”中，α必须是用弧度制表示的角，在“α＋k ·360°(k ∈Z )”中，α必须是用角度制表示的角.提醒：用不等式表示区域角的范围时，要注意角的集合形式是否能够合并，这一点容易出错.2．如图，用弧度表示顶点在原点，始边重合于x 轴的非负半轴，终边落在阴影部分内的角的集合(不包括边界)．① ②[解] (1)如题图①，以OA 为终边的角为π6＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为－2π3＋2k π(k ∈Z )，所以阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪－2π3＋2k π＜α＜π6＋2k π，k ∈Z . (2)如题图②，以OA 为终边的角为π3＋2k π(k ∈Z )；以OB 为终边的角为2π3＋2k π(k ∈Z )．不妨设右边阴影部分所表示的集合为M 1，左边阴影部分所表示的集合为M 2，则M 1＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π，k ∈Z ，M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .所以阴影部分内的角的集合为M 1∪M 2＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫α⎪⎪⎪2k π＜α＜π3＋2k π或2π3＋2k π＜α＜π＋2k π，k ∈Z .扇形的弧长及面积问题[探究问题]1．公式l ＝|α|r 中，“α”可以为角度制角吗？ 提示：公式l ＝|α|r 中，“α”必须为弧度制角．2．在扇形的弧长l ，半径r ，圆心角α，面积S 中，已知其中几个量可求其余量？举例说明．提示：已知任意两个量可求其余两个量，如已知α，r ，可利用l ＝|α|r ，求l ，进而求S ＝12lr ；又如已知S ，α，可利用S ＝12|α|r 2，求r ，进而求l ＝|α|r .【例3】 一个扇形的周长为20，则扇形的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形面积最大？思路点拨：设出扇形的圆心角、半径、弧长→用半径表示圆心角→求扇形面积→转化为二次函数求最值[解] 设扇形的圆心角为α，半径为r ，弧长为l ，则l ＝αr ， 依题意l ＋2r ＝20，即αr ＋2r ＝20，∴α＝20－2r r.由l ＝20－2r >0及r >0得0<r <10， ∴S 扇形＝12αr 2＝12·20－2r r ·r 2＝(10－r )r＝－(r －5)2＋25(0<r <10)．∴当r ＝5时，扇形面积最大为S ＝25. 此时l ＝10，α＝2，故当扇形半径r ＝5，圆心角为2 rad 时， 扇形面积最大．灵活运用扇形弧长公式、面积公式列方程组求解是解决此类问题的关键，有时运用函数思想、转化思想解决扇形中的有关最值问题，将扇形面积表示为半径的函数，转化为r 的二次函数的最值问题.提醒：(1)在弧度制中的弧长公式及扇形面积公式中的圆心角可正可负. (2)看清角的度量制，选用相应的公式. (3)扇形的周长等于弧长加两个半径长.教师独具1．本节课的重点是弧度与角度的换算、扇形的弧长公式和面积公式，难点是对弧度制概念的理解．2．本节要牢记弧度制与角度制的转化公式(1)π＝180°；(2)1°＝π180 rad (3)1 rad ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°. 3．本节课要重点掌握以下规律方法 (1)弧度制的概念辨析； (2)角度与弧度的换算；(3)扇形的弧长公式和面积公式的应用． 4．本节课的易错点表示终边相同角的集合时，角度与弧度不能混用．1．将下列各角的弧度(角度)化为角度(弧度)： (1)2π15＝________；(2)－6π5＝________；(3)920°＝________；(4)－72°＝________. (1)24° (2)－216° (3)469π rad (4)－2π5 rad [(1)2π15 rad ＝215×180°＝24°.(2)－6π5 rad ＝－65×180°＝－216°.(3)920°＝920×π180 rad ＝469π rad.(4)－72°＝－72×π180 rad ＝－2π5rad.]2．若扇形的周长为4 cm ，面积为1 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是________． 2 [设扇形所在圆的半径为r cm ，扇形弧长为l cm.由题意得⎩⎪⎨⎪⎧l ＋2r ＝4，12lr ＝1，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝2，r ＝1.所以α＝lr＝2.因此扇形的圆心角的弧度数是2.]3．用弧度制表示终边落在x 轴上方的角的集合为______．{}α| 2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z[若角α的终边落在x 轴的上方，则2k π＜α＜2k π＋π，k ∈Z .]4．设α1＝－570°，α2＝750°，β1＝3π5，β2＝－π3.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自的终边所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在[－720°，0°)范围内找出与它们终边相同的所有角．[解] (1)∵180°＝π rad ，∴α1＝－570°＝－570×π180＝－19π6＝－2×2π＋5π6，α2＝750°＝750×π180＝25π6＝2×2π＋π6.∴α1的终边在第二象限，α2的终边在第一象限． (2)β1＝3π5＝3π5×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝108°，设θ＝108°＋k ·360°(k ∈Z )， 则由－720°≤θ＜0°，即－720°≤108°＋k ·360°＜0°， 得k ＝－2，或k ＝－1.故在[－720°，0°)范围内，与β1终边相同的角是－612°和－252°. β2＝－π3＝－60°，设γ＝－60°＋k ·360°(k ∈Z )，则由－720°≤－60°＋k ·360°＜0°，得k ＝－1，或k ＝0. 故在[－720°，0°)范围内，与β2终边相同的角是－420°.。
(完整word版)高中数学弧度制导学案新人教A版必修1
弧度制-、预案 1.弧度制的定义： (1 )定义：长度等于 ______________ 所对的圆心角叫做 1弧度角，记作 _________ ,或1弧度,或1(单位可以省略不写). (2)如果一个半径为r 的圆的圆心角 所对的弧长是l ,那么a的弧度数是多少？ 角的弧度数的绝对值是：，其中，1是圆心角所对的弧长，r 是半径.2 •角度制与弧度制得互化：(1)角度化弧度：180rad360 rad ； 1rad ；(2)弧度化角度：rad度；2rad度；1rad度； (3)某些特殊角的角度数与弧度数的互化：角度制0o45o60o90o150o 180o315o弧度制62 35 43 223.弧长公式= _______________【预习自测】将下■列弧度与角度制进行互化’(3) 36° = rad ；( 5)— 105° = rad 二、导案1、 学习目标：(1).理解弧度制的意义；(2).能正确的应用弧度与角度之间的换算;(3)•记住公式| | -( I 为以.作为圆心角时所对圆弧的长，r 为圆半径)；r(4) .熟练掌握弧度制下的弧长公式、扇形面积公式及其应用。
2、教学过程问题1:度量角的大小用什么单位？1度的角是如何规定的？<思考 >:圆心角的弧度数与半径的大小有关吗?12(2)13£⑷-600°教学课件探究：如果一个半径为 r 的圆的圆心角a 所对的弧长是 ，那么a 的弧度数是多少 ？既然角度制和弧度制都是角的度量制，那么它们之间如何换算？ 例1、 把下列各角从弧度化为度，从度化为弧度：17 5 (1)⑵：(3) 1000128变式1把下列各角从度化为弧度，从弧度化为度：4(1)— 210o(2)1200 o(3) __3练习：若三角形的三个内角之比是 2： 3： 4,求其三个内角的弧度数.例2、请判断2是第几象限角例3、用弧度表示：(1)终边在x 轴上的角的集合 _______________________________________(2) 第一象限角的集合为 ____________________________________ ;变式 3： (1)终边在 y 轴上的角的集合 ____________________________________ ;(2)第三象限角的集合为 ______________________________________弧长及扇形面积公式：例4、知扇形的周长为8cm ，圆心角为2rad ,,求该扇形的面积。
任意角和弧度制(弧度制)教案 高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
第五章三角函数5.1.2 弧度制（1 课时）【教学内容】弧度与角度的互化；特殊角的弧度制；弧长公式、扇形面积公式.【教学目标】（说明：不要写成三维目标的形式，点列，可以从知识技能、过程方法、数学核心素养等角度写目标）1.理解弧度制的定义，体会引入弧度制的必要性.(数学抽象)2.能进行弧度与角度的互化,熟悉特殊角的弧度制.(逻辑推理、数学运算)3.掌握弧度制中扇形的弧长和面积公式，体会弧度制下公式形式的简洁性,会应用公式解决简单的问题.(数学运算、数学模型)【教学重难点】教学重点：角度制与弧度制间的互相转化，弧长公式及扇形的面积公式的推导与证明.教学难点：能灵活运用弧长公式、扇形面积公式解决问题.【教学过程】（说明：本环节包括新授、小结、布置作业等）一、复习回顾，温故知新1.在平面几何里，度量角的大小用什么单位？【答案】角度制的单位有：度、分、秒。
2.1 的角是如何定义的？【答案】规定：圆周1/360 的圆心角称作1 角.这种用度做单位来度量角的制度叫做角度制.日常生活中，度量长度可用不同的单位，如：一张课桌长80 厘米，也可以说长0.8 米，显然两种结果出现了不同的数值. 在数学和其他科学研究中还经常用到另一种度量角的制度—弧度制，它是如何定义呢？二、探索新知探究：在圆内，圆心角的大小和半径大小有关系吗？角度为60的圆心角，半径r 1，2，3 时，(1)分别计算相对应的弧长l ；(2)分别计算对应弧长与半径之比.思考：通过上面的计算，你发现了什么规律？【答案】①.圆心角不变，比值不变；比值的大小与所取的圆的半径大小无关；②圆心角改变，比值改变；比值的大小只与圆心角的大小有关；1.弧度的概念把长度等于半径长的弧所对的圆心角叫做1 弧度(radian)的角.弧度制：这种以弧度作为单位来度量角的单位制叫做弧度制，它的单位是弧度，单位符号是 rad. 约定： 正角的弧度数为正数，负角的弧度数为负数，零角的弧度数为 0.思考 1:圆的半径为 r,弧长分别为 2r 、πr,则它们所对圆心角的弧度 数是多少?【答案】2rad, πrad.思考 2：如果半径为 r 的圆的圆心角α所对的弧长为l ，那么，角α的弧度数的绝对值如何计算？l【答案】|α| =r2. 角度与弧度的换算思考 3：一个周角以度为单位度量是多少度， 以弧度为单位度量是多少弧度？由此可得角度与弧度有怎样的换算关系？【答案】360º， 2π. 360︒= 2πrad，180︒ = πrad思考 4：根据上述关系，1°等于多少弧度， 1 rad 等于多少度？ 【答案】1︒ =π180︒≈ 0.01745rad 1rad = 180）︒≈ 57.30︒（π三、典型例题例 1． 把下列各角的度数化为弧度。
高一数学 1.3弧度制导学案-人教版高一全册数学学案
AA1.3弧度制【学法指导】1.阅读探究课本的基础知识和例题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】1．理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； 2．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；3. 理解在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
【学习过程】一 . 预习自学（我学习，我主动，我参与，我收获。
） （一）、阅读课本，回答下列问题：1、（请用自己的语言表述）在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？2、（请同学们用自己的语言表述）1弧度的规定：3、如图：圆O 的半径为1（单位圆），∠AOB 所对的弧长为1，则∠AOB =________rad ； ∠AOC 所对的弧长为2.5，则∠AOC =_________rad ；周角所对的弧长是圆的周长，为_____，则周角=______°=________rad 。
所以180°=_______rad ； 1°=________rad ≈0.01745 rad ；1rad=_______°≈57.3°=57°18’ 4、推导弧长公式与扇形面积公式:5、在半径为R 的圆中，（1）360°角所对的弧长l =_____,面积S=_____;1°角所对的弧长l =_______ ,面积S=________ 在角度制中，弧长l =___________,面积S=__________ (设所对圆心角为n °)（2）2πrad 角所对的弧长l =_____,面积S=______;1rad 角所对的弧长l =______,面积S=________;在弧度制中，弧长l =_______,面积S= _________ （设所对圆心角为αrad ）=__________(已知所对弧长为l ) （二）预习检测：1、下列四个说法中，不正确的是（ ） A 、半圆所对的圆心角是πrad B 、周角的大小等于2πC 、1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D 、大圆中1弧度的角比小圆中1弧度角大 2、6π=_____°,4π=_____°,3π= _____°,2π= _____°120°=________，135°=_______，150°=_______，180°=_________温馨提示：（1） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； （2） 角α的弧度数的绝对值|α|=lr（l 为弧长，r 为半径）； （3） 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）； （4） 用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同； （5） 角度制和弧度制不能混用，如k •360°+3π（k ∈Z ）这种写法是不妥当的。
弧度制导学案
弧度制导学案引言弧度制是一种用来度量角度的单位系统。
相较于我们常用的度数制，弧度制在数学、物理和工程等领域具有重要的应用。
本文档旨在介绍弧度制的定义、换算关系、使用方法以及常见应用。
一、弧度制的定义弧度制是一种用弧长来度量角度的单位系统。
定义如下：1弧度（简写为1 rad）是半径为1的圆的弧所对应的角度。
即当圆的半径为1单位长度时，弧长等于半径的角度称为1弧度。
二、弧度与度数的换算弧度制和度数制是常用的角度单位制度，它们之间的换算关系如下：1弧度 = (180/π)度1度 = (π/180)弧度其中，π是圆周率，约等于3.14159。
应用实例：1. 将60°转换为弧度。
根据换算关系可得：60°× (π/180) ≈ 1.0471 rad因此，60°约等于1.0471弧度。
2. 将2π弧度转换为度数。
根据换算关系可得：2π× (180/π) ≈ 360°因此，2π弧度约等于360°。
三、弧度的使用方法弧度制在数学和物理中常用于计算角度的大小以及相关的三角函数。
1. 弧度制在三角函数中的应用三角函数中角度的输入参数为弧度制。
常见三角函数包括：正弦函数、余弦函数、正切函数等。
例如，sin(π/6)表示半径为1的圆上相对于x轴正向的角度为π/6弧度的点的y轴坐标。
2. 弧度制在角速度中的应用角速度是表示物体旋转快慢的物理量，单位是弧度/秒。
例如，当一个物体以每秒2π弧度的角速度旋转时，它完成了一圈的运动。
四、弧度制的常见应用1. 计算圆的弧长和扇形面积使用弧度制可以简化圆的弧长和扇形面积的计算。
根据圆的弧长公式：弧长 = 半径×弧度根据扇形面积公式：扇形面积 = 1/2 ×半径²×弧度2. 物体的旋转学弧度制在描述和计算物体的旋转学中起着重要作用。
例如，刚体的转动惯量和角动量的计算都需要使用弧度制。
2019-2020学年新人教A版必修一 弧度制 教案
【例1】 下列命题中，假命题是( )A ．“度”与“弧度”是度量角的两种不同的度量单位B ．1°的角是周角的1360，1 rad 的角是周角的12πC ．1 rad 的角比1°的角要大D ．用角度制和弧度制度量角，都与圆的半径有关[思路探究] 由题目可获取以下主要信息：各选项中均涉及到角度与弧度，解答本题可从角度和弧度的定义着手．D [根据角度和弧度的定义，可知无论是角度制还是弧度制，角的大小与圆的半径长短无关，而是与弧长与半径的比值有关，所以D 项是假命题，A 、B 、C 项均为真命题．]弧度制与角度制的区别与联系1．下列各说法中，错误的说法是( ) A ．半圆所对的圆心角是π rad B ．周角的大小等于2πC ．1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径D ．长度等于半径的弦所对的圆心角的大小是1弧度 [答案] D【例2】 设角α1＝－570°，α2＝750°，β1＝35π，β2＝－73π.(1)将α1，α2用弧度制表示出来，并指出它们各自所在的象限；(2)将β1，β2用角度制表示出来，并在－720°～0°之间找出与它们终边相同的所有角． [思路探究] 由题目可获取以下主要信息：(1)用角度制给出的两个角－570°，750°，用弧度制给出的两个角35π，－73π；(2)终边相同的角的表示．解答本题(1)可先将－570°，750°化为弧度角再将其写成2k π＋α(k ∈Z,0≤α<2π)的形式，解答(2)可先将β1、β2用角度制表示，再将其写成β＋k ·360°(k ∈Z )的形式．[解] (1)要确定角α所在的象限，只要把α表示为α＝2k π＋α0(k ∈Z,0≤α0<2π)的形式，由α0所在象限即可判定出α所在的象限．α1＝－570°＝－196π＝－4π＋56π，α2＝750°＝256π＝4π＋π6.∴α1在第二象限，α2在第一象限．(2)β1＝3π5＝108°，设θ＝β1＋k ·360°(k ∈Z )，由－720°≤θ<0°，得－720°≤108°＋k ·360°<0°， ∴k ＝－2或k ＝－1，∴在－720°～0°间与β1有相同终边的角是－612°和－252°. 同理β2＝－420°且在－720°～0°间与β2有相同终边的角是－60°.角度制与弧度制的转换中的注意点(1)在进行角度与弧度的换算时，抓住关系式π rad ＝180°是关键.由它可以得：度数×π180＝弧度数，弧度数×⎝ ⎛⎭⎪⎫180π°＝度数. (2)特殊角的弧度数与度数对应值今后常用，应该熟记.(3)在同一个式子中，角度与弧度不能混合用，必须保持单位统一，如α＝2k π＋30°，k ∈Z 是不正确的写法.(4)判断角α终边所在的象限时，若α[－2π，2π]，应首先把α表示成α＝2k π＋β，β∈[－2π，2π]的形式，然后利用角β终边所在的象限来确定角α终边所在的象限.2．用弧度表示终边落在如图所示阴影部分内(不包括边界)的角θ的集合．[解] 因为30°＝π6 rad,210°＝7π6rad ，这两个角的终边所在的直线相同，因为终边在直线AB 上的角为α＝k π＋π6，k ∈Z ，而终边在y 轴上的角为β＝k π＋π2，k ∈Z ，从而终边落在阴影部分内的角的集合为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫θ⎪⎪⎪k π＋π6<θ<k π＋π2，k ∈Z .1.用公式|α|＝lr求圆心角时，应注意什么问题？[提示] 应注意结果是圆心角的绝对值，具体应用时既要注意其大小，又要注意其正负． 2．在使用弧度制下的弧长公式及面积公式时，若已知的角是以“度”为单位，需注意什么问题？[提示] 若已知的角是以“度”为单位，则必须先把它化成弧度后再计算，否则结果出错．【例3】 (1)设扇形的周长为8 cm ，面积为4 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 rad B ．2 rad C ．3 radD ．4 rad(2)已知扇形的周长为20 cm ，当它的半径和圆心角各取什么值时，才能使扇形的面积最大？最大面积是多少？[思路探究] (1)可由扇形周长和面积建立方程组，通过解方程组求得；(2)可通过建立扇形面积的目标函数来求解．(1)B [设扇形半径为r ，弧长为l ，由题意得 ⎩⎪⎨⎪⎧2r ＋l ＝8，12l ·r ＝4，解得⎩⎪⎨⎪⎧l ＝4，r ＝2，则圆心角α＝l r＝2 rad.](2)解：设扇形的半径为r ，弧长为l ，面积为S .则l ＝20－2r ，∴S ＝12lr ＝12(20－2r )·r ＝－r 2＋10r ＝－(r －5)2＋25(0＜r ＜10)．∴当半径r ＝5 cm 时，扇形的面积最大，为25 cm 2.此时α＝l r ＝20－2×55＝2 rad.∴当它的半径为5 cm ，圆心角为2 rad 时，扇形面积最大，最大值为25 cm 2.(变条件)用弧度制下解决扇形相关问题的步骤：(1)明确弧长公式和扇形的面积公式：l ＝|α|r ，S ＝12αr 2和S ＝12lr ；(这里α必须是弧度制下的角)(2)分析题目的已知量和待求量，灵活选择公式； (3)根据条件列方程(组)或建立目标函数求解.(教师用书独具)1．释疑弧长公式及扇形的面积公式(1)公式中共四个量分别为α，l ，r ，S ，由其中的两个量可以求出另外的两个量，即知二求二．(2)运用弧度制下的弧长公式及扇形的面积公式明显比角度制下的公式简单得多，但要注意它的前提是α为弧度制．(3)在运用公式时，还应熟练地掌握这两个公式的变形运用：①l ＝α·r ，α＝l r ，r ＝l α；②S ＝12αr 2，α＝2S r2.2．角度制与弧度制的比较1．把56°15′化为弧度是( ) A.5π8 B.5π4 C.5π6D.5π16D [56°15′＝56.25°＝2254×π180＝5π16.]2．在半径为10的圆中，240°的圆心角所对弧长为( ) A.403π B.203π C.2003π D.4003π A [240°＝240×π180 rad ＝43π rad ，∴弧长l ＝α·r ＝43π×10＝403π，选A.]3．将－1 485°化成2k π＋α(0≤α<2π，k ∈Z )的形式为________． －10π＋74π [由－1 485°＝－5×360°＋315°，所以－1 485°可以表示为－10π＋74π.]4．一个扇形的面积为1，周长为4，求该扇形圆心角的弧度数． [解] 设扇形的半径为r ，弧长为l ，圆心角为α， 则2r ＋l ＝4.①由扇形的面积公式S ＝12 lr ，得12lr ＝1. ②由①②得r ＝1，l ＝2，∴α＝l r＝2 rad. ∴扇形的圆心角为2 rad.。
人教新课标版数学高一必修4导学案 弧度制
1．1.2弧度制导学案周；使用时间17 年月日；使用班级；姓名（配合配套课件、限时练使用效果更佳）【学习目标】1.理解角度制与弧度制的概念，能对弧度和角度进行正确的转换.2.体会引入弧度制的必要性，建立角的集合与实数集一一对应关系.3.掌握并能应用弧度制下的弧长公式和扇形面积公式．【检查预习】预习相应课本，完成导学案“自主学习”部分，准备上课回答.【自主学习】知识点一角度制与弧度制思考1在初中学过的角度制中，把圆周角等分成360份，其中的一份是多少度？思考2长度等于半径长的弧所对的圆心角有多大？是否有其他单位制来度量该角？1．角度制和弧度制2.角的弧度数的计算如果半径为r的圆的圆心角α所对弧的长为l，那么，角α的弧度数的绝对值是|α|＝l r.知识点二角度制与弧度制的换算思考角度制和弧度制都是度量角的单位制，它们之间如何进行换算呢？1．角度与弧度的互化2.知识点三 扇形的弧长及面积公式思考 扇形的面积与弧长公式用弧度怎么表示？【合作探究】类型一 角度与弧度的互化 例1 将下列角度与弧度进行互化． (1)20°；(2)－15°；(3)7π12；(4)－11π5.类型二 利用弧度制表示终边相同的角例2 把下列各角化成2k π＋α (0≤α<2π，k ∈Z )的形式，并指出是第几象限角： (1)－1 500°； (2)23π6； (3)－4.类型三 扇形的弧长及面积公式的应用例3 已知一个扇形的周长为a ，求当扇形的圆心角多大时，扇形的面积最大，并求这个最大值．【学生展示】探究点一、二【教师点评】探究点三及【学生展示】出现的问题 【当堂检测】1.时针经过一小时，时针转过了( ) A.π6 rad B ．－π6 radC.π12rad D ．－π12rad2．若θ＝－5，则角θ的终边在( ) A ．第四象限 B ．第三象限 C ．第二象限D ．第一象限3．已知扇形的周长是6 cm ，面积是2 cm 2，则扇形的圆心角的弧度数是( ) A ．1 B ．4 C ．1或4 D ．2或44．已知两角的和是1弧度，两角的差是1°，则这两个角分别为____________． 5．将－1 485°化成2k π＋α，(0≤α＜2π，k ∈Z )的形式为________．【小结作业】小结：作业：本节限时练。
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A A 2019-2020学年高一数学 1.3弧度制导学案
【学法指导】
1.阅读探究课本的基础知识和例题，自主高效预习，提高自己的阅读理解能力；
2.完成预习自学，然后结合课本基础知识和例题，完成预习自测题；对合作探究部分认真审题，做不好的上课时组内讨论。
3.将预习中不能解决的问题标识出来，并写到后面“我的疑惑”处，准备课上讨论质疑。
【学习目标】
1．理解弧度制的定义，熟练地进行角度制与弧度制的换算； 2．掌握并运用弧度制表示的弧长公式、扇形面积公式；
3. 理解在弧度制下，角的集合与实数集R 之间建立的一一对应关系。
【学习过程】
一 . 预习自学（我学习，我主动，我参与，我收获。
） （一）、阅读课本，回答下列问题： 1、（请用自己的语言表述）在初中几何里，我们学习过角的度量，1°的角是怎样定义的呢？ 2、（请同学们用自己的语言表述）1弧度的规定：
3、如图：圆O 的半径为1（单位圆），∠AOB 所对的弧长为1，则∠AOB =________rad ； ∠AOC 所对的弧长为2.5，则∠AOC =_________rad ；周角所对的弧长是圆的周长，为_____，则周角=______°=________rad 。
所以180°=_______rad ； 1°=________rad ≈0.01745 rad ；1rad=_______°≈57.3°=57°18’ 4、推导弧长公式与扇形面积公式:
5、在半径为R 的圆中，
（1）360°角所对的弧长l =_____,面积S=_____;1°角所对的弧长l =_______ ,面积S=________ 在角度制中，弧长l =___________,面积S=__________ (设所对圆心角为n °)
（2）2πrad 角所对的弧长l =_____,面积S=______;1rad 角所对的弧长l =______,面积S=________;
在弧度制中，弧长l =_______,面积S= _________ （设所对圆心角为αrad ）=__________(已知所对弧长为l ) （二）预习检测：
1、下列四个说法中，不正确的是（ ） A 、半圆所对的圆心角是πrad B 、周角的大小等于2π
C 、1弧度的圆心角所对的弧长等于该圆的半径
D 、大圆中1弧度的角比小圆中1弧度角大 2、
6
π
=_____°,
4
π
=_____°,
3
π
= _____°,
2
π
= _____°
120°=________，135°=_______，150°=_______，180°=_________
温馨提示：
（1） 正角的弧度数是正数，负角的弧度数是负数，零角的弧度数是0； （2） 角α的弧度数的绝对值|α|=
l
r
（l 为弧长，r 为半径）； （3） 用角度制和弧度制来度量零角，单位不同，但数量相同（都是0）； （4） 用角度制和弧度制来度量任意非零角，单位不同，数量也不同； （5） 角度制和弧度制不能混用，如k •360°+
3
π
（k ∈Z ）这种写法是不妥当的。
预习收获 .
我的困惑 .
二.合作探究（我探究，我分析，我思考，我提高。
）
例1 把-1480°化为弧度，并写成2k π+α（k ∈Z ）的形式，其中0<α<2π)
规律方法总结： 例2 已知扇形AOB 的周长是6cm,该扇形的圆心角是1弧度，求该扇形的面积
规律方法总结：。