期权中希腊字母的含义
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H F H Ae
r q T
标的资产为外汇
r r f T
Greeks
11
Theta——定义
1. Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 随时间衰减的速度
2. 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 确定的量，无需进行对冲
t
Greeks
12
Greeks
27
投资组合保险——定义
1. 投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 2. 股票投资组合+股票指数卖权 P/L
股价
Greeks
28
投资组合保险——合成期权
1. 投资组合保险对期权的要求
流动性 执行价格 到期时间
2. 基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3. 期权合成技术——动态复制
买权
rhoc Te
卖权
rf T
S0 N (d1 )
rhoc Te
rf T
S0 N (d1 )
Greeks
25
Rho——欧式股票:与股价的关系
Greeks
26
Rho——欧式股票买权:与到期时间的关系
out of the money at the money in the money
3. 欧式期权的Vega
Vegac Vega p S0 T N (d1 )
Greeks
21
Vega——与股价的关系
X
Greeks
22
Vega——与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
23
Rho
1. Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 价值对利率变化的敏感性
X
Greeks
S(0)
5
Delta——欧式股票期权
Delta与到期时间的关系
at the money in the money out of the money
Greeks
6
Delta——其它欧式期权
1. 股指期权 c e qT N d1 2. 外汇期权
c e f N d1 3. 期货期权 c e rT N d1
Greeks
14
Theta——欧式股票期权
Theta与时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
15
Gamma
1. Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
2. Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
Greeks
19
Delta, Theta, Gamma的关系
1. 从BSM方程容易推导出三者的关系
2. 如果投资组合是Delta中性的，则
1 2 2 2 rS S r 2 t S 2 S 1 2 2 rS S r 2
1 2 2 S r 2
S
无风险资产头寸：
2. 在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的
p p S
Greeks
30
投资组合保险——标的资产+无风险资产
Greeks
31
投资组合保险——标的资产+无风险资产
1. 上图有助于理解动态复制技术
曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用
Greeks
20
Vega
1. Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
Vega
2. Vega中性与Vega对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于 零的工具，例如期权
二叉述模型把股价的连续运动过程离散化
Greeks
36
二叉树模型——离散化
1. 把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作 delta(t) 2. 假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性
上升到Su，概率为p 下降到Sd，概率为(1-p)
3. 在风险中性世界里，股价的期望收益率为r
ert pu 1 p d
2 S S 2
3. Gamma中性与Gamma对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
Greeks
16
1 2 t S 2
交易成本越高，在平衡的频率越低
3. 在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将 大打折扣
股票、股指期货交易困难 组合不是Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率 会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本
4. 如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视
1987/10，股指期货与S&P 500出现重大偏差
第7章
期权的希腊字母
教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. Delta Theta Gamma Vega Rho Portfolio Insurance
Greeks
2
希腊字母
1. 希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理
期权做市商 金融机构地期权交易员
2. 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保 险
2. 指数期货显著降低了交易成本
80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大 约为股票的1/10 (8bp : 80bp)
Greeks
33
投资组合保险——缺陷
1. 投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者 股指期货市场上必须“追涨杀跌” 2. 动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由 于存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。 基金经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡
Gamma——欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma
c p
N (d1 ) S0 T
Greeks
17
Gamma——欧式股票期权
Gamma与股价的关系
X
Greeks
18
Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
wi i
i 1 n
w i 表示组合包含第I中期权的数量 其中，
Greeks
8
Delta对冲
1. 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零
Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零
2. 动态对冲
由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
似曾相识——在推导BSM过程中采用的Delta对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产
4. 动态复制
标的资产+无风险资产 股指期货+无风险资产
Greeks
29
投资组合保险——标的资产+无风险资产
1. 欧式股票卖权=标的资产+无风险资产
股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 p 股票头寸： p N d1 1
Theta——欧式股票期权
1. 欧式股票期权的Theta
买权
c
卖权
wk.baidu.com
S0 N (d1 ) 2 T S0 N (d1 ) 2 T
rXe rT N (d 2 ) rXe
rT
p
N (d 2 )
Greeks
13
Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
r T
p e qT N d1 1
p e
rf T
N d1 1
p e rT N d1 1
1
4. 股票远期
f S Ke
r T t
Greeks
7
Delta——线性
考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产，则，组合的Delta等于每种期权的 Delta的线性和
股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho
Greeks
3
Delta
1. Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性
2. 图示
S
S(0)
Greeks
4
Delta——欧式股票期权
1. 利用BS公式，可以推导出 c N d1 p N d1 1 0 2. Delta与股价的关系 1
(2)
5. 两个约束方程，3个未知数p, u, d 6. 添加第三个方程 (3) ud 1 7. 方程组(1)-(3)的解
ue
t
,
d e
t
,
Greeks
e r t d p ud
38
HF Delta对冲需要的期货头寸：
3. 期货的Delta:
F0 S0e
rT
e
rT
期货合约的Delta v.s. 远期合约的Delta
Greeks
10
Delta对冲——使用期货
4. Delta对冲需要的期货头寸
标的资产不分红
H F H Ae
rT
标的资产为股票指数
H F H Ae
2. 随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 斜率与截距都将发生变化
因此，动态复制需要经常性地调整头寸
2. 投资组合保险(股票+卖权)包含两个头寸 股票头寸： 1 p S 无风险资产头寸: p p S
Greeks
32
投资组合保险——使用股指期货
1. 通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡
3. 例子：BSM随机微分方程的推导
1个单位衍生工具空头， f 份股票 S BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸
Greeks
9
Delta对冲——使用期货
1. 实践中，对冲工具多选用期货
期货流动性好、交易成本低
2. 符号
* 期货到期时间：T HA Delta对冲需要的标的资产头寸：
rho
2. 标的股票不支付红利的欧式期权
r
rhoc XTe rT N (d2 )
买权 卖权
rho p XTerT N (d2 )
Greeks
24
Rho——外汇期权
1. 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应 于外币利率
Sert pSu 1 p Sd
(1)
Greeks
37
二叉树模型——离散化
4. 股价做几何布朗运动，在delta(t)内的方差为 2 t
S S
2
r t , t
2
2
2 pu 1 p d pu 1 p d t
(32.49)
42.88 净现金流
10.39
股票头寸 无风险资产 净流量 (13.60) 12.00 (1.60)
1.04 (0.05)
3
75
10.39 (0.43)
20.57
(23.56) (2.99)
35
Greeks
二叉树模型
1. 基于Cox and Ross (1976)提出的风险中性定价思想， Cox, Ross & Rubinstein (1979)提出了一种简单地 定价期权的办法——二叉树模型 2. 二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一
Greeks
34
投资组合保险——股价跳跃
T
3 3
S
100 125
p
delta
复制投资组合($)
股票空头 无风险资产 净投资
(15.90) (6.28) 19.32 7.32 3.42 1.04
3.42 (0.16) 1.04 (0.05)
3
T 3
75
S 125
10.39 (0.43)
p delta
r q T
标的资产为外汇
r r f T
Greeks
11
Theta——定义
1. Theta是期权价值对时间的偏导数，度量了期权价值 随时间衰减的速度
2. 与股价呈随机波动不同，距离到期的时间是一个完全 确定的量，无需进行对冲
t
Greeks
12
Greeks
27
投资组合保险——定义
1. 投资组合保险：用期权限制表的资产价格下跌的风险 2. 股票投资组合+股票指数卖权 P/L
股价
Greeks
28
投资组合保险——合成期权
1. 投资组合保险对期权的要求
流动性 执行价格 到期时间
2. 基金经理常常创建合成期权进行投资组合保险 3. 期权合成技术——动态复制
买权
rhoc Te
卖权
rf T
S0 N (d1 )
rhoc Te
rf T
S0 N (d1 )
Greeks
25
Rho——欧式股票:与股价的关系
Greeks
26
Rho——欧式股票买权:与到期时间的关系
out of the money at the money in the money
3. 欧式期权的Vega
Vegac Vega p S0 T N (d1 )
Greeks
21
Vega——与股价的关系
X
Greeks
22
Vega——与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
23
Rho
1. Rho是期权价值对无风险利率的偏导数，度量了期权 价值对利率变化的敏感性
X
Greeks
S(0)
5
Delta——欧式股票期权
Delta与到期时间的关系
at the money in the money out of the money
Greeks
6
Delta——其它欧式期权
1. 股指期权 c e qT N d1 2. 外汇期权
c e f N d1 3. 期货期权 c e rT N d1
Greeks
14
Theta——欧式股票期权
Theta与时间的关系
in the money at the money out of the money
Greeks
15
Gamma
1. Gamma是期权的Delta对标的资产价格的偏导数， 也是期权价值对标的资产价格的二阶偏倒数
2. Gamma度量了期权Delta对标的资产价格变化的敏 感性，也度量了期权价值对标的资产价格的凸性
Greeks
19
Delta, Theta, Gamma的关系
1. 从BSM方程容易推导出三者的关系
2. 如果投资组合是Delta中性的，则
1 2 2 2 rS S r 2 t S 2 S 1 2 2 rS S r 2
1 2 2 S r 2
S
无风险资产头寸：
2. 在一定条件下，复制卖权的投资组合是自融资的
p p S
Greeks
30
投资组合保险——标的资产+无风险资产
Greeks
31
投资组合保险——标的资产+无风险资产
1. 上图有助于理解动态复制技术
曲线表示卖权与标的股票价格的关系 切线的斜率表示卖权的Delta 截距表示复制投资组合在无风险资产上的投资额
如果Theta是较大的正数，Gamma就是很大的负数， 因此，Theta可以作为Gamma的替代指标使用
Greeks
20
Vega
1. Vega是期权的价值对标的资产波动率的偏导数，度 量了期权价值对标的资产波动率的敏感性
Vega
2. Vega中性与Vega对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的Vega都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Vega 要改变投资组合的Vega ，必须使用那些Vega不等于 零的工具，例如期权
二叉述模型把股价的连续运动过程离散化
Greeks
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二叉树模型——离散化
1. 把期权的期限分成若干等份，每一份的长度计作 delta(t) 2. 假设在每个时间段的股价变化存在两种可能性
上升到Su，概率为p 下降到Sd，概率为(1-p)
3. 在风险中性世界里，股价的期望收益率为r
ert pu 1 p d
2 S S 2
3. Gamma中性与Gamma对冲
由于标的资产及其远期、期货合约的Gamma都等于零， 因此，不能用来改变投资组合的Gamma 要改变投资组合的Gamma，必须使用那些价格与标的 资产价格呈非线性关系的工具，例如期权
Greeks
16
1 2 t S 2
交易成本越高，在平衡的频率越低
3. 在股市出现极端行情的时候，投资组合保险的效果将 大打折扣
股票、股指期货交易困难 组合不是Vega中性的。然而，在极端行情中，波动率 会大幅度上升，因而显著增加复制期权的成本
4. 如果采用股指期货进行保险，基点差风险也不容忽视
1987/10，股指期货与S&P 500出现重大偏差
第7章
期权的希腊字母
教学内容
1. 2. 3. 4. 5. 6. Delta Theta Gamma Vega Rho Portfolio Insurance
Greeks
2
希腊字母
1. 希腊字母度量期权的风险，用于期权头寸的风险管理
期权做市商 金融机构地期权交易员
2. 期权价值的决定因素包括股价、到期时间、波动率、 无风险利率以及执行价格，其中易变的因素有四个：
通过在投资组合基础上“覆盖”股指期货头寸提供保 险
2. 指数期货显著降低了交易成本
80年代末，美国股指期货的双向买、卖差价与佣金大 约为股票的1/10 (8bp : 80bp)
Greeks
33
投资组合保险——缺陷
1. 投资组合保险的机制决定了这种策略在股票市场或者 股指期货市场上必须“追涨杀跌” 2. 动态复制在理论上虽然是“自融资策略”，但是，由 于存在交易成本，实际上不可能是“自融资策略”。 基金经理必须在交易成本与复制效果之间进行平衡
Gamma——欧式股票期权
欧式股票期权的Gamma
c p
N (d1 ) S0 T
Greeks
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Gamma——欧式股票期权
Gamma与股价的关系
X
Greeks
18
Gamma——欧式股票期权
Gamma与到期时间的关系
in the money at the money out of the money
wi i
i 1 n
w i 表示组合包含第I中期权的数量 其中，
Greeks
8
Delta对冲
1. 定义：建立对冲工具头寸，使得对冲工具头寸与要保 护的头寸的Delta等于零
Delta中性：资产(或者组合)的Delta等于零
2. 动态对冲
由于资产的Delta通常是时间的函数，因此，为了实现 对冲目标，通常必须动态调整对冲工具头寸的数量
似曾相识——在推导BSM过程中采用的Delta对冲就是 用标的股票与买权动态复制无风险资产
4. 动态复制
标的资产+无风险资产 股指期货+无风险资产
Greeks
29
投资组合保险——标的资产+无风险资产
1. 欧式股票卖权=标的资产+无风险资产
股票空头头寸，数量等于卖权的Delta 无风险资产，数量等于卖空股票获得的收入加上卖权 的价值 p 股票头寸： p N d1 1
Theta——欧式股票期权
1. 欧式股票期权的Theta
买权
c
卖权
wk.baidu.com
S0 N (d1 ) 2 T S0 N (d1 ) 2 T
rXe rT N (d 2 ) rXe
rT
p
N (d 2 )
Greeks
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Theta——欧式股票期权
Theta与股价的关系 X
r T
p e qT N d1 1
p e
rf T
N d1 1
p e rT N d1 1
1
4. 股票远期
f S Ke
r T t
Greeks
7
Delta——线性
考虑一个期权投资组合，其中所有期权的标的资产都 是同一种资产，则，组合的Delta等于每种期权的 Delta的线性和
股价：Delta, Gamma 到期时间：Theta 波动率：Vega 无风险利率：Rho
Greeks
3
Delta
1. Delta是期权价值对标的资产价格的偏导数，度量了 期权价值对标的资产价格变化的敏感性
2. 图示
S
S(0)
Greeks
4
Delta——欧式股票期权
1. 利用BS公式，可以推导出 c N d1 p N d1 1 0 2. Delta与股价的关系 1
(2)
5. 两个约束方程，3个未知数p, u, d 6. 添加第三个方程 (3) ud 1 7. 方程组(1)-(3)的解
ue
t
,
d e
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Greeks
e r t d p ud
38
HF Delta对冲需要的期货头寸：
3. 期货的Delta:
F0 S0e
rT
e
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期货合约的Delta v.s. 远期合约的Delta
Greeks
10
Delta对冲——使用期货
4. Delta对冲需要的期货头寸
标的资产不分红
H F H Ae
rT
标的资产为股票指数
H F H Ae
2. 随着股价的涨跌，切线的位置和方向将发生改变，其 斜率与截距都将发生变化
因此，动态复制需要经常性地调整头寸
2. 投资组合保险(股票+卖权)包含两个头寸 股票头寸： 1 p S 无风险资产头寸: p p S
Greeks
32
投资组合保险——使用股指期货
1. 通过利用股指期货，不用买卖股票进行再平衡
3. 例子：BSM随机微分方程的推导
1个单位衍生工具空头， f 份股票 S BS采用Delta对冲方法，建立起包含期权的Delta中性 头寸
Greeks
9
Delta对冲——使用期货
1. 实践中，对冲工具多选用期货
期货流动性好、交易成本低
2. 符号
* 期货到期时间：T HA Delta对冲需要的标的资产头寸：
rho
2. 标的股票不支付红利的欧式期权
r
rhoc XTe rT N (d2 )
买权 卖权
rho p XTerT N (d2 )
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Rho——外汇期权
1. 外汇期权涉及本币利率与外币利率，因此，有两个 rho，一个对应于本币利率(见上一页)，另一个对应 于外币利率
Sert pSu 1 p Sd
(1)
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二叉树模型——离散化
4. 股价做几何布朗运动，在delta(t)内的方差为 2 t
S S
2
r t , t
2
2
2 pu 1 p d pu 1 p d t
(32.49)
42.88 净现金流
10.39
股票头寸 无风险资产 净流量 (13.60) 12.00 (1.60)
1.04 (0.05)
3
75
10.39 (0.43)
20.57
(23.56) (2.99)
35
Greeks
二叉树模型
1. 基于Cox and Ross (1976)提出的风险中性定价思想， Cox, Ross & Rubinstein (1979)提出了一种简单地 定价期权的办法——二叉树模型 2. 二叉树模型是估计期权价值的主要数值方法之一
Greeks
34
投资组合保险——股价跳跃
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100 125
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delta
复制投资组合($)
股票空头 无风险资产 净投资
(15.90) (6.28) 19.32 7.32 3.42 1.04
3.42 (0.16) 1.04 (0.05)
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S 125
10.39 (0.43)
p delta