两点之间线段最短

解答（第一问）
解答： 首先，依题目条 件，大致画出图来， 如图。题目说抛物 线y=ax2+bx+c与y轴 交于点A（0，3）， 与x轴分别交于B（1， 0）、C（5，0）两 点。也就是点A，B， C均满足函数解析式。
解答（第一问）
解：依题意得方程组： c=3 a+b+c=0 25a+5b+c=0 解得： a=0.6 b=-3.6 c=3
初三一班 原静雯
前言
阅读完两点之间线段最短那篇文章， 相信大家对于两点之间线段最短这个简单的 公理有了更加深入地了解，应用上，也找到 了些方法与思路了吧。又经过了近一年的学 习，回过头我们再看两点之间线段最短这个 公理，看看我们能不能再发现它的精华。 这是上学期的一道周测题目，不知大家 还有没有印象。
解答
如图，NB与NM，显然 是折线，不难想到，只有 运动N点，使得B.M.N三点 共线时，NB+NM的值最小， 而这一块的思考，我们就 利用了两点之间线段最短 的公理。确定了N点的位置， 下面就是简单的求解了。
A 1 2 N E B C M D
解题过程
解：连接 NB、BM ∵四边形ABCD为正方形 ∴∠1=∠2、AB=AD=DC=8cm=BC , ∠DCB=90º A 在△BAN与△DAN中 2 1 AB=AD N ∠1=∠2 E AN=AN B ∴△ABN≌△AND(SAS) ∴BN=DN 即求DN+MN的最小值，则为求NB+NM的最 小值
探究问题四
同探究问题一、探 究问题二一样，我把探 究问题三变形，大家再 看看。 如图，在边长为2 的等边三角形ABC中，M 为AB的中点, N是BC上 的一动点，求AN+MN的 最小值。
A
M
B
N
C
解题过程
解：以BC为轴翻转△ABC到△DBC， 连接MD、ND作DE⊥AB交AB的延长线于E。 ∴ AB=BD=2 ∠1=∠2=60º 在△ABM与△DBM中 AB=DB ∠1=∠2 BM=BM ∴△ABM≌△DBM(SAS) E ∴AM=DM 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最 小值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交点F时，MN+MD的最小值。
解题过程
解：以BC 为轴翻转△ABC到 △DBC 连接 ND，MD交BC于E ∴AC=DC=8，∠ABC=∠DCB 在△ACN与△DCN中 AC=DC ∠ABC=∠DCB CN=CN ∴△ACN≌△DCN(SAS) ∴AN=DN 即求AN+NM的最小值则为求 MN+ND的最小值
解答（第三问)
方法二： 这种方法与方法一十分类 似，思路大体相同，只是其中 一个环节要注意，当连接 AM＇＇后，不要认为此时与x 轴的交点就为要求的点E，要 求的点E应该是它关于抛物线 对称轴的对称点。当然，这道 题也可以先做点A关于x轴的对 称点，有兴趣大家可以试一试。
解答（第二问)
综上所述： 当点D的坐标为 （0，1）时，函数解 析式为y=-0.2x+1。 当点D的坐标为 （0，2）时，函数解 析式为y=-0.4x+2。
解答（第三问)
解答：（3） 题目说M是OA的中点，则，我们可以求 出M的坐标，为（0，1.5）。题目说到达抛 物线的对称轴上某点，我们应先找到它的对 称轴，这并不难，它应该是经过点（3，0） 垂直于x轴的直线。我们要求的是一个最短 路径，在此，我介绍两种方法。
A M
B
N
E
C
解题过程
根据两点之间线段最短 ∴当N在E点时,MN+ND 的值最小 ∵△ABC为等腰三角形， AM=2 ∴∠ABC=∠BCD=45º MC=6 ∴∠MCD=90º 根据勾股定律 MC2+DC2=MD2 ∴MD=10 即AN+MN的最小值为 10。
A M
题目

说了这么多，大家对这方面的知识也有所了解了吧， 那么，让我们一同看看这道中考题，看看能不能轻松的 解决。

题目：已知抛物线y=ax2+bx+c与y轴交于点A（0， 3），与x轴分别交于B（1，0）、C（5，0）两点。 （1）求此抛物线的解析式。 （2）若点D为线段OA的一个三等分点，求直线DC的解析 式。 （3）若一个动点P自OA的中点M出发，先到达x轴上的某 点（设为点E）在到达抛物线的对称轴上某点（设为点 F），最后运动到点A，求使点P运动的总路径最短的点E、 点F的坐标，并求出这个最短总路径的长。
解答（第二问)
解答： （2）由题目得：D 为线段OA的一个三等 分点，观察图形，满 足这个条件的点有两 个，因此有两种情况， 所以，我们采用分类 讨论。
解答（第二问)
解：分类讨论： 当点D的坐标为（0，1）时， 设此函数解析式为y=kx+1 则有5k+1=0 ∴k=-0.2 ∴此函数解析式为y=-0.2x+1 当点D的坐标为（0，2）时 设此函数解析式为y=kx+2 则有5k+2=0 ∴k=-0.4 ∴此函数解析式为y=-0.4x+2
D M
C
解题过程
由两点之间线段最短得 连接BM时与AC的交点为最小值 设交于E ∵DM=2cm ∴MC=6cm 根据勾股定理 BC2+CM2=BM2 ∴BM=10cm 即DN+MN的最小值为10cm。
A 1 2 N E B
D M
C
总结
理解了上一题，我们看看这道题，这道 题就是上一题简单的变形。它与上一题极为相 似，有了上一题的铺垫这道题现在让你做就非 常简单了。
解答（第三问)
接下来，我们应 该求直线M＇A＇的函 数解析式，我们不妨 设直线M＇A＇的函数 解析式为y=kx-1.5 则有：6k-1.5=3 解得：k=0.75 则此函数解析式为 y=0.75x-1.5。
解答（第三问)
不难求出，它与x 轴的交点为（2，0）， 即E点坐标为（2，0）， 与抛物线对称轴交点 是（3，0.75），即F 点坐标为（3，0.75）。 最后，连接A＇A，根 据勾股定理，求出M＇ A＇的长为7.5。即， 最短路程长为7.5。
解答（第三问)
方法一， 题目说线段先到 达x轴上的某点，再到 达抛物线的对称轴上 某点，最后运动到点A， 这很像是将军饮水问 题，于是我便依照类 似与解决将军饮水问 题的方法，作点M关于 x轴的对称点M‘，M’坐 标为（0，-1.5）。
解答（第三问)
这样，就变成了 典型的将军饮水问题。 只需做点A关于抛物线 对称轴的对称点A＇， A＇坐标为（6，3）， 连接M＇A＇，与x轴相 交的是点E，与抛物线 对称轴相交的是点F。 把相对应的线段还原 回去，就是红色的部 分。
步骤思路
（1）利用对称，转移其中一条线段。（若不 是对角线为对称轴的图形，通过翻折，补形）—— 移 （2）利用两点之间线段最短这个公理，寻找 两线段和最短时动点所在的位置。——找 （3）利用已知条件求线段的值——求。求解 前的过渡的写法很重要，举个例子（例：∴AM=DM 即要求AM+MN的最小值则为求 MN+MD的最小值 根据两点之间线段最短 当M为ND与BC交点F时， MN+MD的最小值）大概内容如此即可。 （4）最后下结论。（例：∴AM+MN的最小值为）
探究问题二
如图，在等腰直角 三角形ABC中， AB=AC=8，∠A=90º ， M为AC上的一点, 且 AM=2，N是BC上的一 动点，求AN+MN的最 小值。
A M
B
N
C
思路

观察图形，它恰好是上一图形的一半，考 虑到要应用对称性，转移线段，从而利用两点 之间线段最短这个公理，我们需要翻转三角形 ABC，使得构成一个正方形，从而利用上一题的 思路解题。
A
M
2 B 1 F N
C
D
解题过程
∵∠1=∠2=60º ∴∠ABD=120º ∴∠EBD=60º ∵DE⊥AE ∴∠AED=90º ∴∠BDE=30º ∴BE= BD=1 ∴ED= ∵N为AB的中点 ∴BN=1 ∴EN=2 根据勾股定理 NE2+ED2=ND2 ∴ND= ∴AM+MN的最小值为
探究问题一
如图，在边长为 8cm的正方形ABCD 中，M为DC上的一 点，且DM=2，N是 AC上的一动点， 求DN+MN的最小值。
A D M N
B
C
解答
Hale Waihona Puke Baidu
首先，我想先说一说我拿到这道题 时的一些想法和思路。观察已知条件， 要求的是DN+MN的最小值，观察图形，这 两条线段在同一边，这就很别扭，显得 无从下手，于是我便想到了线段等量的 转化，由于正方形是轴对称图形，对角 线又是它的对称轴，因此，我连接NB， 利用全等，把DN转移到BN。于是，便变 为了求NB+NM的最小值。
B
N
E
C
探究问题三

在边长为6的菱 形ABCD中， ∠DAB=60º ，E为 AB的中点，F是AC 上一动点，求 EF+BF的最小值。
D C F
A
E
B
解答

这也是我们周测的一道题目，大家还 有印象吗？它与探究问题一大致一样，只 是换作了菱形的情景，依旧是利用对称性 转移线段，再利用两点之间线段最短的公 理。 解题过程略
A M
2 B 1 F N
C
E
D
回顾与总结
通过以上的探究和思考，我们发现，两点之间 线段最短这个公理，已不只停留在一个简单的公理 上，它已成为求两个线段和最短或几条线段和最短 的一种手段和技巧. 通过探究，我们发现，这一类问题解题的大概 步骤是一样的，唯一不同在于它们赋予的图形不同， 也就是已知条件不同。它可以以正方形、菱形为依 托，也可以以等腰三角形和等边三角形为依托。但 我发现它的本质是不变的，也就是万变不离其中， 因此，我们只需以不变应万变。下面是我总结的这 一类问题的基本思路和步骤。