概率统计和随机过程33连续型随机变量条件分布和随机变量之间独立

—— 将事件的独立性推广到随机变量 两个随机变量的相互独立性 定义 设(X,Y )为二维随机变量，若对于任何 实数 x, y 都有 P ( X x , Y y ) P ( X x ) P ( Y y ) 则称随机变量X 和Y 相互独立
21
由定义可知 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立 F ( x ,y ) F X ( x ) F Y ( y ) ab,cd P(aXb,cYd) P(aXb)P(cYd) a ,c R P (X a ,Y c ) P (X a )P (Y c )
FY X(yx), fY X(yx) 是 y 的函数, x 是常数, 对于每一 f X (x) > 0 的 x 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数. 类似于乘法公式：
f ( x ,y ) f X ( x ) f Y X ( y x ) f X ( x ) 0 f Y ( y ) fX Y ( x y ) f Y ( y ) 0
j1
则称 P(XP (Xxi ,Yxi)yj)ppiij记 作 P(jY1,2y,j Xxi) 为在 X = xi 的条件下，Y 的条件分布律
7
二维连续型随机变量的条件分布函数和 条件密度函数 设二维连续型随机变量(X,Y )的联合分布函 数为F (x,y), 联合密度函数为 f (x,y) X 和Y的边缘分布函数分别记为FX (x)，FY (y)； 边缘密度函数分别记为 f X (x)， f Y (y)
y=x 1 0.5
1 x + y =1 y=x 1 0.5
1
19
PY
2 3
X
12

23
fY
Xy
1dy 2
1 y=x 2 3
0.5 1

2 3 2y
12 10.52
dy
2 38y dy 12 3
7
（注意：积分区域）
27
20
§3.3 随机变量的独立性
1
y=x
80x,y,
xy1 其他
1
当f X(x) = 0 时，f (x,y) = 0
故
f(x,y) 80 x,,y0x 其 y,0y 他 1
18
P (XY1 )

1
y
dy
8xydx 5
0.5 1y
6
P(Y0.5)
1
0
2dy0y8xydx161
f(x,y) (ba)1d (c) axb,cyd
0
其他
X ,Y 是相互独立的.
fX(x)b1a, 0,
axb 其他
fY(y)d1c, 0,
cyd 其他
30
若
6e2x3y x0,y0
f(x,y)
1
e2(112)(x121)22(x1)1(y22)(y222)2
212 12

1
e(x2112)2
21
取 x1,y2
1
e(y2222)2
22
24
212 1122 11
1
22
故 0
将 0 代入 f(x,y) 即得
fX(x)20x,,
0x1, 其他
1
fY(y)20y,,
0y1, 其他
显然， f1 ( x ,y ) fX ( x )fY (y )
故X ,Y 相互独立
27
(2) 由图可知边缘密度函数为 1
4x(1x2), 0x1,
fX(x)
0,
其他
1
4y3, 0y1,
则(X ,Y )相互独立
且
fX(x)
r(x)

(a.e.)
r(x)dx
fY(y)
g(y)

(a.e.)
g(y)dy
29
利用此结果，不需计算即可得出(1)中的随机变 量X 与Y 是相互独立的.
再如，服从矩形域{(x,y)| a < x < b, c < y < d}上 的均匀分布的二维随机变量( X ,Y ),
f( x ,y ) fX ( x )fY (y )
25
例3 已知 ( X, Y ) 的联合概率密度为
(1)
4xy, 0x1, 0y1
f1(x,y) 0,
其 他
(2)
f2(x,y) 8 0 x,,y0x 其 y,0y 他 1
讨论X ,Y 是否独立？
26
解
(1) 由图可知边缘密度函数为 1
f ( x , y )d x


1
( y u2 )2
e 2 22
2 2
Y~N(2,2)
6
二维离散型随机变量的条件分布律
设已知二维离散型随机变量( X ,Y )的概率分布
P ( X x i,Y y j) p i,j i ,j 1 ,2 ,
若

piP(Xxi) pij0
1
解
百度文库
fX(x)x18x0,yd, y0其 x他 1
y=x 1
4x(1x2), 0x1
0,
其他
15
fY(y)0y80x,yd, x0其 y他 1
11 y
yy==xx
4y3, 0y1

0,
其他
x 11
当0 < y < 1 时，
fXY(xy)
22
二维离散型随机变量( X, Y ) 相互独立 P ( X x i , Y y j ) P ( X x i ) P ( Y y j ) 即 pijpipj
二维连续型随机变量 ( X, Y ) 相互独立
f( x ,y ) f X ( x ) f Y ( y )( a . e .) 二维随机变量 ( X, Y ) 相互独立, 则边缘分布完全确定联合分布
11
类似地, 若f (x,y)在点(x,y)连续，f X (x)在点x处 连续且 f X (x) > 0, 则称
F (x, y)
x dF X ( x )
dx
y
f (x,v)dv
fX (x)

y

f (x,v)dv fX (x)
y
f (x,v)dv

f (x,v)dv
则称( X ,Y ) 服从参数为1, 12, 2, 22, 的 正态分布, 记作( X ,Y ) ~ N(1,12; 2,22； )
其中1,2> 0, -1< < 1
4

fX(x) f(x,y)dy


1
e dy 2(1 1 2) (x 1 2 1)2 2(x 11 ) (y 2 2)(y 22 2)2
y y
y - y
x
F F (Y x,(y y y y)) F F Y ((xy ,)y)( ( y)y)
9
F (x,y y)F (x,y)( y) ly i0 m F Y(y y)F Y(y)( y)
F (x, y)
x

y
f (u, y)du
dF Y ( y )
fY (y)
dy
f (x, y)连续
fY (y) 0,连续
def.
P(Xx Yy)
y
y -y
x
10
定义 若f (x,y)在点(x,y)连续，f Y (y)在点y处连续 且 f Y (y) > 0, 则称
F (x, y)
y
其他
4x(1x2), 0x1
fX(x)
0,
其他
求 P (X Y 1 )P ,(Y 0 .5 )P , Y 2X 1 3 2
17
解 当f X(x) > 0 时，即 0 < x < 1 时，
f(x ,y ) fY X (y x )fX (x )
f (x, y) fY ( y)
2yx2 , 0,
0x y 其他
当0 < fY
x < 1 时，
X(yx)
f ( x, y) fX (x)
2y 1x2 0,
,
x y 1 其他
16
例2
已知 fY X(yx)

2y 1x2
,
x y 1
0,
2 12 12
1 e(x2 u112)2
21
1
e dy y[2 u(221 12 (x2)21)]2
2 2 12
5

1
e
( xu1 )2
212
2 1
即 X~N(1,1)
同理
即

fY ( y )
fY(y)
0,
其他
显然， f2 ( x ,y ) fX ( x )fY (y )
故X ,Y 不独立
28
判断连续型二维随机变量相互独立的 两个重要结论
设f (x,y)是连续型二维随机变量(X ,Y )的联合 密度函数，r (x), g(y)为非负可积函数，且
f( x ,y ) r ( x ) g ( y )( a . e .)
问题：首先寻找给定Y=y 时，X的条件分布
F ( x |Y y ) P (X x |Y y )
8
设 y0
P(X x yy Y y) P(X x, yy Y y)
P(yy Y y)
FF (Y x(,yy)) F FY((xy,y y)y)
为X = x 的条件下Y 的条件分布函数，记作
f (x, y) FY X(yx),称 f X ( x ) 为X = x 的条件下Y 的 条件概率密度函数，记作 fY X(yx)
12
注意： FXY(xy),fXY(xy) 是 x 的函数, y 是常数, 对于每一 f Y (y) > 0 的 y 处，只要符合定义 的条件，都能定义相应的函数.
二维连续型随机变量 ( X,Y ) 相互独立
fX ( x ) fX Y ( x y )(fY ( y ) 0 )
fY ( y ) fY X ( y x )(fX ( x ) 0 )
23
命题 (X ,Y )~ N (1 ,1 2 ;2 , 2 2 ;)相互独立
0
证
对任何 x,y 有
记作
P (Yyj) p ijp j, j 1 ,2 ,
i 1
联合分布可以唯一确定边缘分布 但边缘分布却不能唯一确定联合分布 连续型随机变量边缘分布函数与边缘密度函数
x
F X (x ) F (X , ) f(u ,v )d v d u

13
类似于全概率公式


fX ( x ) f( x ,y ) d y fX Y ( x y )fY ( y ) dy


fY ( y ) f( x ,y ) d x fY X ( y x )fX ( x ) dx
类似于Bayes公式
连续型随机变量的条件分布和 随机变量之间的独立
1
内容复习
二维随机变量的边缘分布函数
F X ( x ) P X x F(x, )
离散型随机变量的边缘分布
P(Xxi)F(Xxi,Y)

记 为
P(Xxi,Yyj)= pij pi, i1,2,
j1
j1
fX Y (x y)

f ( x, y ) fY X(yx)fX(x)
fY ( y)
fY(y)
fY X(yx)

f ( x, y ) fXY(xy)fY(y)
fX (x)
fX (x)
14
例1设 f(x,y) 80 x,,y0x 其 y,0y 他 1
求 fXY(xy), fY X(yx)
dF Y ( y )
dy
x
f (u, y)du


fY (y)
x f (u, y)du fY (y)
x
f (u, y)du

f (u, y)du

为Y = y 的条件下X 的条件分布函数，记作
f (x, y) FXY(xy),称 f Y ( y ) 为Y = y 的条件下X 的 条件概率密度函数，记作 fXY(xy)
fX(x)f(x,v)dvFx
3
正态分布的边缘分布仍是正态分布
二维随机变量( X ,Y ) 的联合密度为
f (x, y)
1

212 12
e
1
2(12
)(x121)22(x1)1(y22)(
y2 22
)2

x, y