正项级数收敛的判别方法

数学与统计学院应用数学系

综合课程设计成绩评定书设计题目：正项级数收敛的判别方法

摘要：

各项都由正数组成的级数称为正项级数，它是数项级数的特例。本文主要考虑正项级数的收敛问题，通过介绍比较原则、比式判别法、根式判别法以及积分判别法等常用的判别方法，并结合相关实例，判断所给级数的敛散性。

关键字：正项级数 收敛 比较原则 比式判别法 根式判别法 积分判别法

1基本概念

1.1 数项级数及其敛散性

在介绍正项级数之前先引入数项级数的相关概念及收敛级数的基本性质，下面介绍数项级数以及级数敛散的定义。

定义1：给定一个数列{}n u ，对它的各项依次用“+”号连接起来的表达式

12n u u u ++++

（1）

称为数项级数或无穷级数（简称级数），其中n u 称为数项级数的通项。 数项级数(1)的前n 项之和，记为1

n

n k

k S u

==

∑，称为（1）的前n 项部分和。

定义2：若（1）的部分和数列{}n S 收敛于S （即lim n n S S →∞

=），则称数项级数（1）收

敛，并称S 为（1）的和，记为1

n

n S u

∞

==

∑，若{}n S 为发散数列，则称数列（1）发散。

根据级数（1）的收敛性，可以得到收敛级数的一些性质：

(i) 收敛级数的柯西收敛准则

级数（1）收敛的充要条件是：0ε∀>，0N ∃>，n N ∀>，p Z +

∀>，有

12||.n n n p u u u ε+++++

+<

(ii) 级数收敛的必要条件：若级数

1

n

n u

∞

=∑收敛，则lim 0n n u →∞

=.

(iii)去掉、改变或增加级数的有限项并不改变级数的敛散性。

(iv) 在收敛级数的项中任意加括号，既不改变级数的收敛性，也不改变它的和（正项级数也满足）。

(v) 运算性质：

若级数

1

n

n u

∞

=∑与

1

n

n v

∞

=∑都收敛，c d 是常数，则

1

()n

n n cu

dv ∞

=+∑收敛，且满足

1

()n

n n cu

dv ∞

=±∑= 1

1

n n n n c u d dv ∞

∞

==±∑∑

1.2 正项级数及其收敛的判别方法

设级数

∑∞

=1

n n

u

的各项0≥n u （1,2,3,

n =）, 则称级数

∑∞

=1

n n

u

为正项级数.

显然，正项级数的部分和数列}{n S 是单调增加的，即

12n S S S ≤≤≤≤

由数列极限存在准则知：如果这个数列有上界，则它收敛；否则它发散.根据这一基本事实，可以得到正项级数收敛的基本定理。

定理1(基本定理) 正项级数

∑∞

=1

n n

u

收敛的充要条件是：部分和数列}{n S 有界，即存在某正

数M ，对一切正整数n ，有n S M ≤. 证:由于0i u >(1,2,

)i =，所以}{n S 是单调递增数列，而单调数列收敛的充要条件是该

数列有界（单调有界定理）.即上述定理得证。

定理2(比较原则) 设

∑∞

=1

n n

u

与

∑∞

=1

n n

v

均为正项级数, 若存在常数0c >，或者0N ∃>对于

n N ∀>都有

n n u cv ≤, (1,2,3,

n =,)

则 (1) 当级数

∑∞

=1n n

v

收敛时，级数

∑∞

=1

n n

u

也收敛; (2)当级数

∑∞

=1

n n

u

发散时，级数

∑∞

=1

n n

v

发散.

证:设

∑∞

=1

n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

的部分和分别为n U 和n V ，于是有：n n U cV ≤，当

∑∞

=1

n n

v

收敛时，n V 有

界，故n U 亦必有界，得知

∑∞

=1

n n

u

收敛.当

∑∞

=1

n n

u

发散时，n U 无上界，于是n V 无上界，故

∑∞

=1

n n

v

发散.

下面给出比较判别法的极限形式，它在应用中较为方便。

比较判别法的极限形式： 给定正项级数

∑∞

=1

n n u 与∑∞

=1

n n v ，

若有 lim n

n n

u l v →∞= ， （2）

（i ）

当0l <<+∞时，

∑∞

=1n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

具有相同的敛散性；

（ii ）

当0l =时，若

∑∞

=1

n n

v

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

收敛.

（iii ） 当l =+∞时，若

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=1

n n

u

发散.

证:设由（2）式，对0ε∀>，0N ∃>，当n N >时，恒有

n

n

u l v ε-< 或

()()n n n l v u l v εε-<<+. （3） 由定理2以及（3）式可得：当0l <<+∞（这里设l ε<）时，∑∞

=1n n

u

和

∑∞

=1

n n

v

具有相同的

敛散性。

对于（ii ）, 当0l =时，由（3）式右半部分以及比较原则：若

∑∞

=1

n n

v

收敛，则

∑∞

=1

n n

u

收敛.

对于（iii ）,当l =+∞，对0M ∀>,存在相应的正数N ，当n N >时，都有

n

n

u M v > 由比较原则可得，若

∑∞

=1

n n

v

发散，则

∑∞

=1

n n

u

发散.

定理3(达朗贝尔判别法，或称比式判别法) 设

∑∞

=1

n n

u

为正项级数, 且存在某正整数0N ，以及常数(01)q q <<

（i ） 若对于0n N ∀>都有不等式

1

n n

u q u +≤， （4） 则级数

∑∞

=1

n n

u

收敛。