2019高考数学黄金解题模板专题19 解三角形

【高考地位】

正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】

类型一 判断三角形的形状

使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系

解题模板：第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；

第二步 利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状； 第三步 得出结论.

例1在ABC ∆中，已知cos cos a B b A =，那么ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A

考点：正弦定理．

【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的cos B 化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.

【变式演练1】在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若

A b

c

cos <，则ABC ∆为． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A

【解析】

试题分析：根据 定理：

A B

C

b c co s s i n s i n <=,那么A B C co s s i n s i n

=,根据π=++C B A ,所以()B A C +=s i n

s i n ,所以()A B B A cos sin sin <+,整理为：0cos sin A ,所以0cos

ππ

<

．

考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．

【变式演练2】在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3

π

B =，且a ，b ，c 成等

比数列，则C ∆AB 一定是（ ）

A ．不等边三角形

B ．钝角三角形

C ．等腰直角三角形

D ．等边三角形 【答案】D

考点：1．等比数列；2．解三角形．

类型二 解三角形中的边和角

使用情景：三角形中

解题模板：第一步 直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；

第二步 利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.

例2、 设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，若a = b = 3

B π

=

，

则A =（ ） A.

6π B. 56π C. 4π D. 4π或34

π 【答案】C

【解析】第一步，直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理：

根据正弦定理

sin sin a b A B =

，得sin sin 2a B A b

===

第二步，利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论：

a b <，则A 为锐角，则4

A π

=

，选C.

考点：正弦定理.

【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.

【变式演练3】已知△ABC 中，a x =，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x <

C. 2x <<

．2x <<【答案】C 【解析】

考点：三角形解的个数的判定.

【变式演练4】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c

，若2

2

2

a c

b -+=，则角B 为（ ） A ．

6π B ．3π C ．233ππ或 D ．566

ππ

或 【答案】A 【解析】

试题分析：

因为2

2

2

a c

b -+=，由余弦定理，

可得222cos 222

a c

b B a

c ac +-===又(

0,)B π∈，所以6

B π

=

，故选A ．

考点：余弦定理．

【变式演练5】在ABC ∆

中，sin :sin :sin A B C =cos C =（ ）

A ．

3 B ．4

C. 13 D ．14

【答案】D 【解析】

考点：正弦定理与余弦定理.

类型三 解决与面积有关问题

使用情景：三角形中

解题模板：第一步 主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；

第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积.

例3 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，2

28b c +=，

则ABC ∆的面积为____________．

【答案】【解析】第一步，主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边：

由正弦定理，知

sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C C

C C C

===

所以cos C =

，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．

因为a =，所以2b c =2

28c +=，所以2c =， 第二步，结合三角形的面积公式直接计算其面积：

所以1

2

S ac =

=． 考点：正弦定理．

【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．