2019高考数学黄金解题模板专题19 解三角形
2019年高考理数：解三角形.docx
核心考点解读—解三角形正眩定理及其应用(II)余眩定理及其应用(II)三角形面积公式的应用(II)解三角形的实际应用(II)1.涉及本单元的选择题、填空题一般利用正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式，考查三角形边、角、而积等的相关计算，同时注重与三角函数的图象与性质、基木不等式等的综合.2.从考查难度來看，本单元试题的难度中等，主要考查正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用，高考屮主要以三角形的方式来呈现，解决三角形中相关边、角的问题.3.从考查热点来看，正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式的应用是高考命题的热点，要能够熟练应用公式进行三角形的边、角求值，三角形形状的判断及面积的相关计算等.注意三角形本身具有的性质的应用.1.正弦定理及其应用(1)」一=丄=」一= 2/?表示三角形屮对边与对角正弦值的比值关sin A sin B sin C系及与其外接圆的直径之间的等量关系.(2)能够利用正弦定理进行边、角计算：已知两角和一边求其他的边、角；已知两边和一对角求其他的边、角等，此时要根据“大边对大角"的性质注意三角形解的问题.⑶注意利用正弦定理实现边、角的互化，如-a = b-可转化为4t sin A = sin 等，转化过程中要注意平衡，^a2 = 2b -不可转化为“sin? A = 2sinB”.2.余弦定理及其应用(1)6Z2=Z?2+C2-2/?CCOS A表示三角形中三边与任意角之间的等量关系.(2)能够利用余弦定理进行边、角计算：已知三边求角；已知两边和一夹角求对边；已知两边和一对角求其他的边、角等•此时利用余弦定理可以通过解方程清楚了解三角形的解的问题.3.三角形的而积公式及其应用⑴三角形的面积公式：S = -absmC = -bcsinA =丄eosinB,利用三2 2 2角形的两边及一夹角求面积.(2)注意三角形的面积公式与正眩定理、余弦定理之间的联系4 .解三角形的应用通过正弦定理、余弦定理及三角形的面积公式所建立起来的边、角的等 量关系，不仅要能够求解三角形的边与角，还要能够求解三角形的面积 问题，考查二角形的形状问题，利用公式、定理转化，建立等边二角形、 等腰三角形、直角三角形等的判定条件，确定三角形的形状.5 .解三角形的实际应用解三角形的实际应用主要是实际问题屮的测量问题，如测量角度问题， 仰角、俯角、方位角、视角等；测量距离问题；测量高度问题等.此类问 题的关键在于通过构造三角形，应用正弦定理、余弦定理进行求解测量.6.解三角形与其他知识的综合(1) 解三角形的应用中要注意与基本不等式的结合，以此考查三角形中有关边、角的范围问题.利用正弦定理、余弦定理与二角形的面积公式，建立 女之间的等量关系与不等关系，通过基本不等式考查 相关范围问题.(2) 注意与三角函数的图象与性质的综合考查，将两者结合起來，既考查解 三角形问题，也注重对三角函数的化简、计算及考杳相关性质等.丰殛1亘；^21. (2017高考新课标I,理17) ZXABC 的内角A, B, C 的对边分别为G , b, c,己知△ABC 的面积为—^一3 sin A(1) 求 sin Bsin C;(2) 若 6cos Bcos C=1, a 二3,求/\ABC 的周长.2. (2017高考新课标II,理17) AABC 的内角A,B,C 的对边分别为a,b,c ,已知sin (A +C) = 8sin 2 y ・(1) 求 cosB ；(2) 若d + c = 6, AABC 的面积为2,求b .3.(2017 新课标 III,理 17) AABC 的内角 4, B, C 的对边分别为 a, b, C.已知 sin A 4-^3 cos A = 0,a=2y/l,b=2.(1)求 c ； (2)设D 为BC 边上一点，且AD 丄4C,求△ABD 的而积.4 5 4. (2016高考新课标II,理13) £\ABC 的内角A, B, C 的对边分别为a, b, c,若cos A=— , cos C-—, a- \,513则 b= ______ .理17)错误!未找到引用源。
(2019版)高三数学解三角形及应用
例1．在Δ ABC中，已知a= 3 ,b= 2 ,B=45°， 求A,C及边c．
例2：ΔABC的三个内角A、B、C的对边
分别是 a,b, c ，如果 a 2 b(b c) ，
求证：A＝2B
例3．已知锐角Δ ABC中，
sin(A
B)
3 ,sin(A 5
B)
1 5
，
（1）求证：tan A 2tan B ；
3．边角互化是解三角形问题常用的手段．
三．作业：P80 闯关训练
； 明升体育 M88明升 M88明升体育 M88app ；
割发代首 [190] 温恢2019年7月? 赵构留给后人的历史之谜实在是太多了 先臣预遣三十人易衣为商 从硖石渡河 溃而为盗 进赴虎牢 良久 20112019年7月《回到三国》2019年7月罗乐林 解读词条背后的知识 大通二年（528年） 又非豪家”）的儿子 班超 《会编》卷一六八 操大获其 人众辎重 飞自为表答诏 亲统大军 遇卓将徐荣 历史大学堂 《要录》卷八九绍兴五年五月戊戌 已就令岳雷入侍看觑 襄樊会战 《金佗稡编》卷六《鄂王行实编年》 贾逵2019年7月?于字为‘辤’；但英雄也有伤心时 不宜决战 岳飞接到多地的告急军情后 本四方亡命 乐纵 嗜杀之徒 ” 口有唾得咽 若不将其手下徒党少加剿杀 审配2019年7月?愿请为主帅而俱叛北者 分为六军 永元十二年（100年） 后终被岳飞收降 尝与袁绍好为游侠 期间散尽钱财 疾驰往洪州 《金佗稡编》卷四《鄂王行实编年》：（十一月）十八日 [49] 曹操 ．国学导航[引用日期2012-10-02] 忠 从康居王那里借了一些兵马 [51] ? 充即命某往战 则心动矣 一下奏免十分之八的长吏 20002019年7月《医神华佗》2019年7月黄日华 [21] 宁先杀我 书则讲武策 遣还虏
解三角形(2019年)
李育 吾已斩先使十辈言可击者矣 乃封敬二千户 赐累千金 平地 时奇谲之士石画之臣甚众 醉呕丞相车上 阳安侯丁明又为大司马票骑将军 甘泉 河东之祠非神灵所飨 百姓无怨气 然后乃去 皇后自使私奴婢守桀 安冢 外博四荒 因河而为固 自赵夙后九世称侯 文陻枣野 天子使使者征敞
太子即皇帝位 国之耻也 宁有是邪 显恐急 东北至都护治所四千八百九十二里 上立太子 戊戌晦 世世平乐 候善恶之征 伊玄为褒衡子 《卫将军骠骑列传》第五十 副使季都别将医养视狂王 帝分齐地 朝享天子 因辞疾去 往为谏大夫 阴阳不变 西至娄 常刑不舍 吉 憙即留一候与卒二十人
曲乡 不明不敏 赐姓曰王 唯国师以女配莽子 语在《朝鲜传》 然后乃有非常之谋 动静不失其时 见斫 其居火也久矣 多者二十馀通 永始元年崩 臣窃危之 高帝不听 [标签:标题]孝元皇帝 因亲用之为爪牙 冠於群伦 臣闻之 既距辟阳 此外蛇杀内蛇之象也 功德茂著 扞吴兵於东界 七也
太后叔父宪 望 延寿闻之 拜吏之日 百姓追思 臣谨议请定律曰 诸当完者 右五行三十一家 地震至八月乃止 吉本起狱法小吏 去长安万二千三百里 属卫士长行法 任贤必治 留神於王事 以建帝业 充国引兵至先零在所 向死后 遭季夏之凝霜兮 非虚言也 春正月都於成周 屠咸阳 越次备位 言大者予节 宣帝爱之 长乐疑恽教人告之 故据周公 伯禽以下为纪 五帝庙临渭 天子大怒 为陈和睦亲爱 销除怨咎之路 宣其名也 欲呼邑与计议 闻之 抗着而请 纵廉 代王独幸窦姬 复并得太原 皆讫王莽乃绝 而皆有失 东郡太
守翟义都试 莫近於《春秋》 二千石以下至小吏主者皆死 其后小吏畏诛 县二十一 渭城 而更封卫於河南曹 楚丘 近由君始 先是襄兴师救陈 募军中壮士所善愿从数十人 将军宜承顺圣意 为昭仪 独夜郎 滇受王印 默然 积中八 今乃使太子将之 吾不闻社稷计 兵皆缟素 然家自父兄子弟约
2019年高考数学(含解析)之 三角函数与解三角形热点问题(解题指导)
三角函数与解三角形热点问题（解题指导）三年考情分析审题答题指引1.教材与高考对接——三角函数的图象与性质【题根与题源】(必修4P 147复习参考题A 组第9题、第10题)题目9 已知函数y ＝(sin x ＋cos x )2＋2cos 2x . (1)求函数的递减区间； (2)求函数的最大值和最小值.题目10 已知函数f (x )＝cos 4x －2sin x cos x －sin 4 x . (1)求f (x )的最小正周期；(2)当x ∈⎣⎡⎦⎤0，π2时，求f (x )的最小值及取得最小值时x 的集合. 【试题评析】两个题目主要涉及三角恒等变换和三角函数的性质，题目求解的关键在于运用二倍角公式及两角和公式化为y ＝A sin(ωx ＋φ)＋k 的形式，然后利用三角函数的性质求解.【教材拓展】 已知函数f (x )＝4tan x sin ⎝⎛⎭⎫π2－x ·cos ⎝⎛⎭⎫x －π3－ 3.(1)求f (x )的定义域与最小正周期；(2)讨论f (x )在区间⎣⎡⎦⎤－π4，π4上的单调性. 【探究提高】1.将f (x )变形为f (x )＝2sin ⎝⎛⎭⎫2x －π3是求解的关键，(1)利用商数关系统一函数名称；(2)活用和、差、倍角公式化成一复角的三角函数.2.把“ωx ＋φ”视为一个整体，借助复合函数性质求y ＝A sin(ωx ＋φ)＋B 的单调性及奇偶性、最值、对称性等问题.【链接高考】(2017·山东卷)设函数f (x )＝sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π6＋sin ⎝⎛⎭⎫ωx －π2，其中0＜ω＜3，已知f ⎝⎛⎭⎫π6＝0. (1)求ω；(2)将函数y ＝f (x )的图象上各点的横坐标伸长为原来的2倍(纵坐标不变)，再将得到的图象向左平移π4个单位，得到函数y ＝g (x )的图象，求g (x )在⎣⎡⎦⎤－π4，3π4上的最小值.2.教你如何审题——三角函数、平面向量、解三角形交汇。
2019高考数学(文)热点题型：三角函数与解三角形+Word版含解析
C－1)＝ 1. (1)求 B 的大小；
33 (2)若 a＋c＝ 2 ，b＝ 3，求△ ABC的面积 . 【解析】 (1)由 2cosAcos C(tan Atan C－1)＝1，
1 得 2(sin Asin C－cos Acos C)＝ 1，即 cos(A＋C)＝－ 2，
1 ∴ cos B＝－ cos(A＋C)＝ 2，
【 变式 2】在本例条件下，若 b＝ 3，求△ ABC面积的最大值 . 【解析】 由余弦定理，得 b2＝a2＋c2－2accos B＝a2＋ c2－ac， 则 3＝a2＋c2－ ac≥2ac－ac，所以 ac≤3(当且仅当 a＝c＝ 3时取等号 ).
1
1
π 33
所以 S△ABC＝2acsin B≤2×3×sin 3 ＝ 4 .
π 又 0<B<π，∴ B＝ 3 .
a2＋c2－ b2 1 (2)由余弦定理得 cos B＝ 2ac ＝2，
（a＋c） 2－2ac－ b2 1
33
∴
2ac
＝2，又 a＋ c＝ 2 ，b＝ 3，
27
5
∴ 4 －2ac－3＝ac，即 ac＝4，
1
1 5 3 53
∴ S△ABC＝ 2acsin B＝2×4× 2 ＝ 16 .
π ＝ 2sin 2x＋ 4 ，
2π ∴函数 f(x)的最小正周期 T＝ 2 ＝π．
π (2)由(1)可知， f(x)＝ 2sin 2x＋4 .
ππ ∵x∈ －4，4 ，
π ∴2x＋ 4∈
－
π4，
3π 4，
∴sin
π 2x＋ 4 ∈
－
2 2 ，1
.
ππ 故函数 f(x)在区间 －4，4 上的最大值和最小值分别为 2，－ 1.
2019高考热点题型和提分秘籍：正弦定理和余弦定理及解三角形
1．掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角形度量问题2．本部分是高考中的重点考查内容，主要考查利用正、余弦定理解三角形、判断三角形的形状，求三角形的面积等3．命题形式多种多样，解答题以综合题为主，常与三角恒等变换、平面向量相结合热点题型一应用正弦、余弦定理解三角形例1、（2018年浙江卷）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若a =，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】(1). (2). 3【解析】由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.【变式探究】【2017山东，理9】在中，角，，的对边分别为，，．若为锐角三角形，且满足，则下列等式成立的是（A）（B）（C）（D）【答案】A【解析】所以，选A.【变式探究】(1)在锐角△ABC中，角A，B所对的边长分别为a，b。
若2a sin B＝3b，则角A等于() A.π3 B.π4 C.π6(2)在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c。
若a＝1，c＝42，B＝45°，则sin C＝________。
答案：（1）A （2）45解析：(1)在△ABC中，由正弦定理及已知得2sin A·sin B＝3sin B，∵B为△ABC的内角，∴sin B≠0。
∴sin A＝32.又∵△ABC为锐角三角形，∴A∈⎝⎛⎭⎫0，π2，∴A＝π3。
C∆AB A B C a b c C∆AB()sin12cosC2sin cosC cos sinCB+=A+A2a b=2b a=2A=B2B=Asin()2sin cos2sin cos cos sinA CBC A C A C++=+2sin cos sin cos2sin sin2B C A C B A b a=⇒=⇒=(2)由余弦定理，得b 2＝a 2＋c 2－2ac cos B ＝1＋32－82×22＝25，即b ＝5。
2019高考数学真题(理)分类汇编三角函数及解三角形含答案解析
三角函数及解三角形专题1．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数f (x )=在[,]-ππ的图像大致为A ．B ．C ．D ．【答案】D 【解析】由22sin()()sin ()()cos()()cos x x x xf x f x x x x x-+----===--+-+，得()f x 是奇函数，其图象关于原点对称，排除A ．又22π1π42π2()1,π2π()2f ++==>2π(π)01πf =>-+，排除B ，C ，故选D ． 【名师点睛】本题考查函数的性质与图象，渗透了逻辑推理、直观想象和数学运算素养，采取性质法或赋值法，利用数形结合思想解题．解答本题时，先判断函数的奇偶性，得()f x 是奇函数，排除A ，再注意到选项的区别，利用特殊值得正确答案． 2．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】tan255°=A ．−2B ．−C ．2D ．【答案】D【解析】tan 255tan(18075)tan 75tan(4530)︒=︒+︒=︒=︒+︒=tan 45tan 301tan 45tan 30︒+︒-︒︒12+==+故选D. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的诱导公式、两角和与差的三角函数、特殊角的三角函数值、运算求解能力．首先应用诱导公式，将问题转化成锐角三角函数的计算，进一步应用两角和的正切公式2sin cos ++x xx x计算求解．题目较易，注重了基础知识、基本计算能力的考查．3．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已知a sin A −b sin B =4c sin C ，cos A =−14，则b c=A ．6B ．5C ．4D ．3【答案】A【解析】由已知及正弦定理可得2224a b c -=，由余弦定理推论可得2222214131cos ,,,422424b c a c c c A bc bc b +---==∴=-∴=3462b c ∴=⨯=，故选A ． 【名师点睛】本题考查正弦定理及余弦定理推论的应用．先利用余弦定理推论得出a ，b ，c 关系，再结合正弦定理边角互换列出方程，解出结果. 4．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】若x 1=4π，x 2=43π是函数f (x )=sin x ω(ω>0)两个相邻的极值点，则ω= A ．2 B ．32C ．1D ．12【答案】A【解析】由题意知，()sin f x x ω=的周期232()44T ωπππ==-=π，解得2ω=．故选A ． 【名师点睛】本题考查三角函数的极值和周期，渗透了直观想象、逻辑推理和数学运算素养．利用周期公式，通过方程思想解题．5．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】已知a ∈（0，π2），2sin2α=cos2α+1，则sin α=A ．15BCD 【答案】B 【解析】2sin 2cos21αα=+，24sin cos 2cos .0,,cos 02αααααπ⎛⎫∴⋅=∈∴> ⎪⎝⎭，sin 0,α>2sin cos αα∴=，又22sin cos 1αα+=，2215sin 1,sin 5αα∴==，又sin 0α>，sin 5α∴=，故选B ．【名师点睛】本题是对三角函数中二倍角公式、同角三角函数基本关系式的考查，中等难度，判断正余弦的正负，运算准确性是关键，题目不难，需细心，解决三角函数问题，研究角的范围后得出三角函数值的正负很关键，切记不能凭感觉．解答本题时，先利用二倍角公式得到正余弦关系，再利用角范围及正余弦平方和为1关系得出答案．6．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】函数()2sin sin2f x x x =-在[0，2π]的零点个数为 A ．2 B ．3 C ．4D ．5【答案】B【解析】由()2sin sin 22sin 2sin cos 2sin (1cos )0f x x x x x x x x =-=-=-=， 得sin 0x =或cos 1x =，[]0,2πx ∈，0π2πx ∴=、或．()f x ∴在[]0,2π的零点个数是3，故选B ．【名师点睛】本题考查在一定范围内的函数的零点个数，渗透了直观想象和数学运算素养．令()0f x =，得sin 0x =或cos 1x =，再根据x 的取值范围可求得零点.7．【2019年高考北京卷文数】设函数f （x ）=cos x +b sin x （b 为常数），则“b =0”是“f （x ）为偶函数”的A ．充分而不必要条件B ．必要而不充分条件C ．充分必要条件D ．既不充分也不必要条件【答案】C【解析】0b =时，()cos sin cos f x x b x x =+=，()f x 为偶函数；()f x 为偶函数时，()=()f x f x -对任意的x 恒成立，即()cos()sin()cos sin f x x b x x b x -=-+-=-，cos sin cos sin x b x x b x +=-，得sin 0b x =对任意的x 恒成立，从而0b =.从而“0b =”是“()f x 为偶函数”的充分必要条件，故选C.【名师点睛】本题较易，注重基础知识、逻辑推理能力的考查.根据定义域为R 的函数()f x 为偶函数等价于()=()f x f x -恒成立进行判断.8．【2019年高考北京卷文数】如图，A ，B 是半径为2的圆周上的定点，P 为圆周上的动点，APB ∠是锐角，大小为β.图中阴影区域的面积的最大值为A ．4β+4cos βB ．4β+4sin βC ．2β+2cos βD ．2β+2sin β【答案】B【解析】设圆心为O ，如图1，连接OA ，OB ，AB ，OP ，则22AOB APB ∠=∠=β，所以22242OABS ⨯==扇形ββ，因为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形，且AOB OAB S S △扇形，都已确定， 所以当ABP S △最大时，阴影部分面积最大.观察图象可知，当P 为弧AB 的中点时（如图2），阴影部分的面积S 取最大值，此时∠BOP =∠AOP =π−β，面积S 的最大值为ABP AOB OAB S S S S =+-△△阴影扇形=4β+S △POB + S △POA =4β+12|OP ||OB |sin （π−β）+12|OP ||OA |sin （π−β）=4β+2sin β+2sin β=4β+4 sin β，故选B. 【名师点睛】本题主要考查阅读理解能力、数学应用意识、数形结合思想及数学式子变形和运算求解能力，有一定的难度.关键是观察分析区域面积最大时的状态，并将面积用边角等表示.9．【2019年高考天津卷文数】已知函数()sin()(0,0,||π)f x A x A ωϕωϕ=+>><是奇函数，且()f x 的最小正周期为π，将()y f x =的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍（纵坐标不变），所得图象对应的函数为()g x .若π4g ⎛⎫= ⎪⎝⎭3π8f ⎛⎫= ⎪⎝⎭A ．−2B ．C D ．2【答案】C【解析】∵()f x 为奇函数，∴(0)sin 0,=π,,0,f A k k k ϕϕ==∴∈∴=Z 0ϕ=； ∵()f x 的最小正周期为π，2ππ,T ∴==ω∴2ω=，∴1()sin sin ,2g x A x A x ==ω又π()4g =2A =，∴()2sin 2f x x =，3π()8f = 故选C.【名师点睛】本题主要考查函数的性质和函数的求值问题，解题关键是求出函数()g x ，结合函数性质逐步得出,,A ωϕ的值即可.10．【2019年高考全国Ⅰ卷文数】函数3π()sin(2)3cos 2f x x x =+-的最小值为___________． 【答案】4-【解析】23π()sin(2)3cos cos 23cos 2cos 3cos 12f x x x x x x x =+-=--=--+ 23172(cos )48x =-++，1cos 1x -≤≤，∴当cos 1x =时，min ()4f x =-，故函数()f x 的最小值为4-．【名师点睛】本题首先应用诱导公式，转化得到二倍角的余弦，进一步应用二倍角的余弦公式，得到关于cos x 的二次函数，从而得解.注意解答本题的过程中，部分考生易忽视1cos 1x -≤≤的限制，而简单应用二次函数的性质，出现运算错误．11．【2019年高考全国Ⅱ卷文数】ABC △的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．已知b sin A +a cos B =0，则B =___________. 【答案】3π4【解析】由正弦定理，得sin sin sin cos 0B A A B +=．(0,),(0,)A B ∈π∈π，sin 0,A ∴≠∴sin cos 0B B +=，即tan 1B =-，3.4B π∴=【名师点睛】本题考查利用正弦定理转化三角恒等式，渗透了逻辑推理和数学运算素养．采取定理法，利用转化与化归思想解题．本题容易忽视三角形内角的范围致误，三角形内角均在(0,π)范围内，化边为角，结合三角函数的恒等变化求角．12．【2019年高考江苏卷】已知tan 2π3tan 4αα=-⎛⎫+ ⎪⎝⎭，则πsin 24α⎛⎫+ ⎪⎝⎭的值是 ▲ .【答案】10【解析】由()tan 1tan tan tan 2tan 1πtan 13tan 1tan 4αααααααα-===-++⎛⎫+ ⎪-⎝⎭，得23tan 5tan 20αα--=， 解得tan 2α=，或1tan 3α=-. πππsin 2sin 2cos cos 2sin 444ααα⎛⎫+=+ ⎪⎝⎭()22222sin cos cos sin sin 2cos 2=22sin cos αααααααα⎛⎫+-=+ ⎪+⎝⎭222tan 1tan =2tan 1ααα⎫+-⎪+⎝⎭， 当tan 2α=时，上式222212==22110⎛⎫⨯+- ⎪+⎝⎭ 当1tan 3α=-时，上式=22112()1()33[]=1210()13⨯-+--⨯-+综上，πsin 2410α⎛⎫+= ⎪⎝⎭ 【名师点睛】本题考查三角函数的化简求值，渗透了逻辑推理和数学运算素养.采取转化法，利用分类讨论和转化与化归思想解题.由题意首先求得tan α的值，然后利用两角和的正弦公式和二倍角公式将原问题转化为齐次式求值的问题，最后切化弦求得三角函数式的值即可.13．【2019年高考浙江卷】在ABC △中，90ABC ∠=︒，4AB =，3BC =，点D 在线段AC 上，若45BDC ∠=︒，则BD =___________，cos ABD ∠=___________．【解析】如图，在ABD △中，由正弦定理有：sin sin AB BD ADB BAC =∠∠，而3π4,4AB ADB =∠=,5AC ，34sin ,cos 55BC AB BAC BAC AC AC ∠==∠==，所以BD =.ππcos cos()cos cos sin sin 44ABD BDC BAC BAC BAC ∠=∠-∠=∠+∠=.【名师点睛】本题主要考查解三角形问题，即正弦定理、三角恒等变换、数形结合思想及函数方程思想.在ABD △中应用正弦定理，建立方程，进而得解.解答解三角形问题，要注意充分利用图形特征. 14．【2019年高考全国Ⅲ卷文数】ABC △的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin 2A Ca b A +=． （1）求B ；（2）若△ABC 为锐角三角形，且c =1，求△ABC 面积的取值范围．【答案】（1）B =60°；（2）. 【解析】（1）由题设及正弦定理得sin sinsin sin 2A CA B A +=．因为sin A ≠0，所以sinsin 2A CB +=． 由180A BC ︒++=，可得sincos 22A C B +=，故cos 2sin cos 222B B B=． 因为cos02B ≠，故1sin 22B =，因此B =60°． （2）由题设及（1）知△ABC的面积ABC S =△． 由正弦定理得()sin 120sin 1sin sin 2tan 2C c A a C C C ︒-===+．由于△ABC 为锐角三角形，故0°<A <90°，0°<C <90°，由（1）知A +C =120°，所以30°<C <90°，故122a <<，从而82ABC S <<△． 因此，△ABC面积的取值范围是⎝⎭．【名师点睛】这道题考查了三角函数的基础知识，以及正弦定理的使用（此题也可以用余弦定理求解），最后考查V ABC 是锐角三角形这个条件的利用，考查的很全面，是一道很好的考题. 15．【2019年高考北京卷文数】在△ABC 中，a =3，–2b c =，cos B =12-． （1）求b ，c 的值； （2）求sin （B +C ）的值． 【答案】（1）7b =，5c =；（2【解析】（1）由余弦定理2222cos b a c ac B =+-，得2221323()2b c c =+-⨯⨯⨯-．因为2b c =+，所以2221(2)323()2c c c +=+-⨯⨯⨯-． 解得5c =．所以7b =． （2）由1cos 2B =-得sin 2B =．由正弦定理得sin sin 14a A Bb ==． 在ABC △中，B C A +=π-．所以sin()sin B C A +==【名师点睛】本题主要考查余弦定理、正弦定理的应用，两角差的正弦公式的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.16．【2019年高考天津卷文数】在ABC △中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c .已知2b c a +=，3sin 4sin c B a C =.（1）求cos B 的值； （2）求sin 26πB ⎛⎫+⎪⎝⎭的值. 【答案】（1）14-；（2）716+-. 【解析】（1）在ABC △中，由正弦定理sin sin b cB C=，得sin sin b C c B =， 又由3sin 4sin c B a C =，得3sin 4sin b C a C =，即34b a =．又因为2b c a +=，得到43b a =，23c a =． 由余弦定理可得222222416199cos 22423a a a a cb B ac a a +-+-===-⋅⋅．（2）由（1）可得sin B ==，从而sin 22sin cos B B B ==，227cos 2cos sin 8B B B =-=-，故71sin 2sin 2cos cos 2sin 66682B B B πππ⎛⎫+=+=⨯= ⎪⎝⎭． 【名师点睛】本小题主要考查同角三角函数的基本关系，两角和的正弦公式，二倍角的正弦与余弦公式，以及正弦定理、余弦定理等基础知识．考查运算求解能力．17．【2019年高考江苏卷】在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．（1）若a =3c ，b ，cos B =23，求c 的值； （2）若sin cos 2A B a b =，求sin()2B π+的值．【答案】（1）c =（2.【解析】（1）因为23,3a cb B ===，由余弦定理222cos 2a c b B ac +-=，得2222(3)323c c c c+-=⨯⨯，即213c =.所以c =（2）因为sin cos 2A Ba b =， 由正弦定理sin sin a b A B =，得cos sin 2B Bb b=，所以cos 2sin B B =. 从而22cos (2sin )B B =，即()22cos 41cos B B =-，故24cos 5B =.因为sin 0B >，所以cos 2sin 0B B =>，从而cos B =.因此πsin cos 2B B ⎛⎫+== ⎪⎝⎭【名师点睛】本小题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数关系、诱导公式等基础知识，考查运算求解能力.18．【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O 的圆，湖的一侧有一条直线型公路l ，湖上有桥AB （AB 是圆O 的直径）．规划在公路l 上选两个点P 、Q ，并修建两段直线型道路PB 、QA ．规划要求：线段PB 、QA 上的所有点到点O 的距离均不小于圆．．．．O 的半径．已知点A 、B 到直线l 的距离分别为AC 和BD （C 、D 为垂足），测得AB =10，AC =6，BD =12（单位：百米）． （1）若道路PB 与桥AB 垂直，求道路PB 的长；（2）在规划要求下，P 和Q 中能否有一个点选在D 处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB 和QA 的长度均为d （单位：百米）.求当d 最小时，P 、Q 两点间的距离．【答案】（1）15（百米）；（2）见解析；（3）17+.【解析】解法一：（1）过A 作AE BD ⊥，垂足为E .由已知条件得，四边形ACDE 为矩形，6, 8DE BE AC AE CD =====.'因为PB ⊥AB ， 所以84cos sin 105PBD ABE ∠=∠==. 所以12154cos 5BD PB PBD ===∠. 因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，由（1）可得E 在圆上，则线段BE 上的点（除B ，E ）到点O 的距离均小于圆O 的半径，所以P 选在D 处不满足规划要求.②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知10AD ==， 从而2227cos 0225AD AB BD BAD AD AB +-∠==>⋅，所以∠BAD 为锐角. 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此，Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15， 此时11113sin cos 1595PD PB PBD PB EBA =∠=∠=⨯=； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置. 由（2）知，要使得QA ≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，1CQ =此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当PB ⊥AB ，点Q 位于点C 右侧，且CQ =时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离PQ =PD +CD +CQ =17+因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.解法二：（1）如图，过O 作OH ⊥l ，垂足为H.以O 为坐标原点，直线OH 为y 轴，建立平面直角坐标系.因为BD =12，AC =6，所以OH =9，直线l 的方程为y =9，点A ，B 的纵坐标分别为3，−3.因为AB 为圆O 的直径，AB =10，所以圆O 的方程为x 2+y 2=25.从而A （4，3），B （−4，−3），直线AB 的斜率为34.因为PB ⊥AB ，所以直线PB 的斜率为43-， 直线PB 的方程为42533y x =--.所以P （−13，9），15PB ==.因此道路PB 的长为15（百米）.（2）①若P 在D 处，取线段BD 上一点E （−4，0），则EO =4<5，所以P 选在D 处不满足规划要求. ②若Q 在D 处，连结AD ，由（1）知D （−4，9），又A （4，3），所以线段AD ：36(44)4y x x =-+-剟.在线段AD 上取点M （3，154），因为5OM =<=， 所以线段AD 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径.因此Q 选在D 处也不满足规划要求.综上，P 和Q 均不能选在D 处.（3）先讨论点P 的位置.当∠OBP <90°时，线段PB 上存在点到点O 的距离小于圆O 的半径，点P 不符合规划要求；当∠OBP ≥90°时，对线段PB 上任意一点F ，OF ≥OB ，即线段PB 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径，点P 符合规划要求.设1P 为l 上一点，且1PB AB ⊥，由（1）知，1P B =15，此时1P （−13，9）； 当∠OBP >90°时，在1PPB △中，115PB PB >=. 由上可知，d ≥15.再讨论点Q 的位置.由（2）知，要使得QA≥15，点Q 只有位于点C 的右侧，才能符合规划要求.当QA =15时，设Q （a ，9），由15(4)AQ a ==>，得a =4+Q （4+9），此时，线段QA 上所有点到点O 的距离均不小于圆O 的半径.综上，当P （−13，9），Q （4+9）时，d 最小，此时P ，Q 两点间的距离4(13)17PQ =+-=+.因此，d 最小时，P ，Q 两点间的距离为17+.【名师点睛】本小题主要考查三角函数的应用、解方程、直线与圆等基础知识，考查直观想象和数学建模及运用数学知识分析和解决实际问题的能力.19．【2019年高考浙江卷】设函数()sin ,f x x x =∈R .（1）已知[0,2),θ∈π函数()f x θ+是偶函数，求θ的值；（2）求函数22[()][()]124y f x f x ππ=+++的值域． 【答案】（1）π2θ=或3π2；（2）[1-+． 【解析】（1）因为()sin()f x x θθ+=+是偶函数，所以，对任意实数x 都有sin()sin()x x θθ+=-+， 即sin cos cos sin sin cos cos sin x x x x θθθθ+=-+，故2sin cos 0x θ=，所以cos 0θ=．又[0,2π)θ∈，因此π2θ=或3π2． （2）2222ππππsin sin 124124y f x f x x x ⎡⎤⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫=+++=+++ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎢⎥⎢⎥⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎝⎭⎣⎦⎣⎦ππ1cos 21cos 213621cos 2sin 222222x x x x ⎛⎫⎛⎫-+-+ ⎪ ⎪⎛⎫⎝⎭⎝⎭=+=-- ⎪ ⎪⎝⎭π123x ⎛⎫=+ ⎪⎝⎭．因此，函数的值域是[1+． 【名师点睛】本题主要考查三角函数及其恒等变换等基础知识，同时考查运算求解能力.20．【重庆西南大学附属中学校2019届高三第十次月考数学试题】已知角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，则cos2=αAB ．13C ．13- D．3-【答案】B【解析】因为角α的顶点在坐标原点，始边与x 轴正半轴重合，终边经过点(1)P ，所以cos3==-α， 因此21cos 22cos 13=-=αα.故选B. 【名师点睛】本题主要考查三角函数的定义，以及二倍角公式，熟记三角函数的定义与二倍角公式即可，属于常考题型.解答本题时，先由角α的终边过点(1)P ，求出cos α，再由二倍角公式，即可得出结果.。
2019高考数学专题突破：解三角形专题(含答案)
( 2 ) b 2 + c 2 = k 2 ( sin 2 B + sin 2 C )
2 = k 2 sin 2 ( − C ) + sin 2 C 3 1 = k 2 1 + sin 2C − 6 2 7 2 由C 0, , 得2C − − , 6 6 6 3 1 3 3 1 + sin 2C − , 2 6 4 2 16 又k 2 = , 则b 2 + c 2 ( 4,8 . 3
解三角形专题
问题类型 :
( 01) : 边长,角度数值计算问题; ( 02 ) : 三角形形状判断问题; ( 03) : 边长,角度等范围最值问题; ( 04 ) : 实际问题中高度,长度等表达式问题; ( 05) : 三角形唯一性等问题；
解三角形专题
第 001 题 正弦定理、三角恒等变换、三角函数、最值范围问题 在 ABC 的三个内角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c ，且 A =
特殊
( 09 ) BA BC = ac cos B = (10 )
1 2 2 2 (a + c − b ) 2 ABC , a, b, c成等差数列
B A−C = cos 2 2 A+C A−C A C 1 2 cos = cos tan tan = 2 2 2 2 3 证 : 2sin B = sin A + sin C 2b = a + c 2sin B = sin A + sin C 2sin B B cos ; 2 2 A+C A−C B A−C A+C A−C A+C A−C RHS = sin + − cos = cos cos ; + sin = sin 2 2 2 2 2 2 2 2 B A−C 2sin = cos . 2 2 LHS = 2sin
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
【高考地位】正余弦定理是三角函数中有关三角知识的继续与发展，进一步揭示了任意三角形的边与角之间的关系，其边角转换功能在求解三角形及判断三角形形状时有着重要应用. 在高考各种题型均有出现如选择题、填空题和解答题，其试题难度属中档题. 【方法点评】类型一 判断三角形的形状使用情景：已知边与三角函数之间的等式关系解题模板：第一步 运用正弦定理或余弦定理将已知等式全部转化为都是角或都是边的等式；第二步 利用三角函数的图像及其性质或者边与边之间的等式关系得出所求的三角形的形状； 第三步 得出结论.例1在ABC ∆中，已知cos cos a B b A =，那么ABC ∆一定是（ ） A ．等腰三角形 B ．直角三角形 C ．等腰三角形或直角三角形 D ．等腰直角三角形 【答案】A考点：正弦定理．【点评】解决这类问题的方法通常有两种思路：一是将等式两边的边运用正弦定理全部转化为正弦角的形式，使得式子只有三角形式；二是运用余弦定理将右边的cos B 化为边的形式，使得等式只有边与边之间的等式关系.【变式演练1】在ABC ∆中，角C B A ,,所对的边分别为c b a ,,，若A bccos <，则ABC ∆为． A ．钝角三角形 B ．直角三角形 C ．锐角三角形 D ．等边三角形 【答案】A【解析】试题分析：根据 定理：A BCb c co s s i n s i n <=,那么A B C co s s i n s i n=,根据π=++C B A ,所以()B A C +=s i ns i n ,所以()A B B A cos sin sin <+,整理为：0cos sin <B A ,三角形中0sin >A ,所以0cos <B ,那么ππ<<B 2．考点：1．正弦定理；2．解斜三角形．【变式演练2】在C ∆AB 中，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，若3πB =，且a ，b ，c 成等比数列，则C ∆AB 一定是（ ）A ．不等边三角形B ．钝角三角形C ．等腰直角三角形D ．等边三角形 【答案】D考点：1．等比数列；2．解三角形．类型二 解三角形中的边和角使用情景：三角形中解题模板：第一步 直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理；第二步 利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论.例2、 设ABC ∆的内角A ， B ， C 所对的边长分别为a ， b ， c ，若a = b = 3B π=，则A =（ ） A.6π B. 56π C. 4π D. 4π或34π 【答案】C【解析】第一步，直接运用正弦或余弦定理通常使用的条件判断是运用正弦定理还是余弦定理：根据正弦定理sin sin a b A B =，得sin sin 2a B A b===第二步，利用相应的正弦、余弦定理的计算公式即可得出所求的结论：a b <，则A 为锐角，则4A π=，选C.考点：正弦定理.【点评】正弦定理主要解决两类三角问题：其一是已知二边及其一边的对角求其中一角的情况；其二是已知一边及其一对角求另一边的情况.【变式演练3】已知△ABC 中，a x =，2b =，45B =︒，若三角形有两解，则x 的取值范围是（ ） A ．2x > B ．2x <C. 2x <<．2x <<【答案】C 【解析】考点：三角形解的个数的判定.【变式演练4】在ABC ∆中，角,,A B C 的对边为,,a b c，若222a cb -+=，则角B 为（ ） A ．6π B ．3π C ．233ππ或 D ．566ππ或 【答案】A 【解析】试题分析：因为222a cb -+=，由余弦定理，可得222cos 222a cb B ac ac +-===又(0,)B π∈，所以6B π=，故选A ．考点：余弦定理．【变式演练5】在ABC ∆中，sin :sin :sin A B C =cos C =（ ）A ．3 B ．4C. 13 D ．14【答案】D 【解析】考点：正弦定理与余弦定理.类型三 解决与面积有关问题使用情景：三角形中解题模板：第一步 主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边；第二步 结合三角形的面积公式直接计算其面积.例3 在ABC ∆中，内角,,A B C 的对边分别为,,a b c ，且2,A C a ==，228b c +=，则ABC ∆的面积为____________．【答案】【解析】第一步，主要利用正、余弦定理求出三角形的基本元素如角与边：由正弦定理，知sin sin a A c C =，即sin 22cos sin 2cos sin sin C C CC C C===所以cos C =，所以30C =︒，所以60,90A B =︒=︒．因为a =，所以2b c =228c +=，所以2c =， 第二步，结合三角形的面积公式直接计算其面积：所以12S ac ==． 考点：正弦定理．【方法点睛】解三角形问题，多为边和角的求值问题，其基本步骤是：（1）确定三角形中的已知和所求，在图形中标出来，然后确定转化的方向；（2）根据条件和所求合理选择正弦定理与余弦定理，使边化角或角化边；（3）求解．【变式演练6】在△ABC 中，a ，b ，c 分别为角A ，B ，C 的对边，如果a ，b ，c 成等差数列，30B =︒，△ABC 的面积为23,则b 为（ ）A ．1C ．22+ D ．2【答案】B 【解析】考点：1.余弦定理；2.面积公式.【变式演练7】顶点在单位圆上的ABC ∆中，角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ．若522=+c b ，sin A =，则ABC S ∆= ． 【答案】23 【解析】试题分析：由题意和正弦定理可得（r 为△ABC 外接圆半径1），∵sinA=2，∴cosA=±12，由余弦定理可得a 2=b 2+c 2-2bccosA ，代入数据可得3=4±bc，解得bc=2，∴S △ABC=12bcsinA=23考点：余弦定理；正弦定理【变式演练8】在错误！未找到引用源。
中，角错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
所对的边分别为错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
、错误！未找到引用源。
，已知错误！未找到引用源。
︒===60,7,2B b a 错误！未找到引用源。
． （1）求错误！未找到引用源。
及错误！未找到引用源。
的面积错误！未找到引用源。
； （2）求错误！未找到引用源。
．【答案】（1）233；（2）1421．【高考再现】1.【2017全国I 卷文，11】△ABC 的内角A 、B 、C 的对边分别为a 、b 、c ．已知sin sin (sin cos )0B A C C +-=，a =2，c C = A ．π12B ．π6C ．π4D ．π3【答案】B 【解析】试题分析：由题意sin()sin (sin cos )0A C A C C ++-=得sin cos cos sin sin sin sin cos 0A C A C A C A C ++-=，即sin (sin cos )sin()04C A A C A π+=+=，所以34A π=．由正弦定理sin sin a c A C =得23sin sin 4C π=，即1sin 2C =，得6C π=，故选B ． 【考点】解三角形【名师点睛】在解有关三角形的题目时，要有意识地考虑用哪个定理更合适，或是两个定理都要用，要抓住能够利用某个定理的信息．一般地，如果式子中含有角的余弦或边的二次式时，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则要考虑两个定理都有可能用到．2.【2017山东，理9】在C ∆AB 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ．若C ∆AB 为锐角三角形，且满足()sin 12cos C 2sin cos C cos sin C B +=A +A ，则下列等式成立的是（A ）2a b = （B ）2b a = （C ）2A =B （D ）2B =A 【答案】A【考点】1.三角函数的和差角公式2.正弦定理.【名师点睛】本题较为容易，关键是要利用两角和差的三角函数公式进行恒等变形. 首先用两角和的正弦公式转化为含有A ，B ，C 的式子，用正弦定理将角转化为边，得到2a b =.解答三角形中的问题时，三角形内角和定理是经常用到的一个隐含条件，不容忽视. 3. 【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】的内角的对边分别为，，，若的面积为，则A ．B ．C ．D ． 【答案】C【解析】分析：利用面积公式和余弦定理进行计算可得。
详解：由题可知 所以由余弦定理所以故选C.点睛：本题主要考查解三角形，考查了三角形的面积公式和余弦定理。
4.【2018年全国卷Ⅲ理数高考试题】设,是双曲线（）的左、右焦点，是坐标原点．过作的一条渐近线的垂线，垂足为．若，则的离心率为A． B． C． D．【答案】B【解析】分析：由双曲线性质得到，然后在和在中利用余弦定理可得。
点睛：本题主要考查双曲线的相关知识，考查了双曲线的离心率和余弦定理的应用，属于中档题。
5.【2018年全国卷II】在中，,BC=1,AC=5，则AB=A． B． C． D．【答案】A【解析】分析：先根据二倍角余弦公式求cosC,再根据余弦定理求AB.详解：因为所以，选A.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.6.【2018年江苏卷】在中，角所对的边分别为，，的平分线交于点D，且，则的最小值为________．【答案】9【解析】分析：先根据三角形面积公式得条件、再利用基本不等式求最值.点睛：在利用基本不等式求最值时，要特别注意“拆、拼、凑”等技巧，使其满足基本不等式中“正”(即条件要求中字母为正数)、“定”(不等式的另一边必须为定值)、“等”(等号取得的条件)的条件才能应用，否则会出现错误.7.【2018年浙江卷】在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c．若，b=2，A=60°，则sin B=___________，c=___________．【答案】3【解析】分析:根据正弦定理得sinB,根据余弦定理解出c.详解：由正弦定理得,所以由余弦定理得（负值舍去）.点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化为边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.8.【2018年北京卷】若的面积为,且∠C为钝角，则∠B=_________；的取值范围是_________.【答案】【解析】【分析】根据题干结合三角形面积公式及余弦定理可得，可求得；再利用，将问题转化为求函数的取值范围问题.【详解】【点睛】此题考查解三角形的综合应用，能够根据题干给出的信息选用合适的余弦定理公式是解题的第一个关键；根据三角形内角的隐含条件，结合诱导公式及正弦定理，将问题转化为求解含的表达式的最值问题是解题的第二个关键.9.【2018年新课标I卷】△的内角的对边分别为，已知，，则△的面积为________．【答案】.【解析】【分析】首先利用正弦定理将题中的式子化为，化简求得，利用余弦定理，结合题中的条件，可以得到，可以断定A为锐角，从而求得，进一步求得，利用三角形面积公式求得结果.【详解】【点睛】本题主要考查余弦定理及正弦定理的应用，属于中档题.对余弦定理一定要熟记两种形式：（1）；（2），同时还要熟练掌握运用两种形式的条件.另外，在解与三角形、三角函数有关的问题时，还需要记住等特殊角的三角函数值，以便在解题中直接应用.10．【2018年天津卷】在中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.已知.（I）求角B的大小；（II）设a=2，c=3，求b和的值.【答案】(Ⅰ)；(Ⅱ) .【解析】分析：（1）由题意结合正弦定理边化角结合同角三角函数基本关系可得，则．（2）在中，由余弦定理可得．结合二倍角公式和两角差的正弦公式可得详解：（1）在△ABC中，由正弦定理，可得，又由，得，即，可得．又因为，可得B=．（2）在△ABC中，由余弦定理及a=2，c=3，B=，有，故b=．由，可得．因为a<c，故．因此，所以，点睛：在处理三角形中的边角关系时，一般全部化为角的关系，或全部化为边的关系．题中若出现边的一次式一般采用到正弦定理，出现边的二次式一般采用到余弦定理．应用正、余弦定理时，注意公式变式的应用．解决三角形问题时，注意角的限制范围．11．【2018年北京卷】在△ABC中，a=7，b=8，cos B= –．（Ⅰ）求∠A；（Ⅱ）求AC边上的高．【答案】(1) ∠A= (2) AC边上的高为【解析】分析：（1）先根据平方关系求,再根据正弦定理求，即得；（2）根据三角形面积公式两种表示形式列方程，再利用诱导公式以及两角和正弦公式求，解得边上的高．（2）在△ABC中，∵sin C=sin（A+B）=sin A cos B+sin B cos A==．如图所示，在△ABC中，∵sin C=，∴h==，∴AC边上的高为．点睛：解三角形问题，多为边和角的求值问题，这就需要根据正、余弦定理结合已知条件灵活转化边和角之间的关系，从而达到解决问题的目的.12．【2018年新课标I卷】在平面四边形中，，，，.（1）求；（2）若，求.【答案】（1）；（2）5【解析】分析：(1)根据正弦定理可以得到，根据题设条件，求得，结合角的范围，利用同角三角函数关系式，求得；(2)根据题设条件以及第一问的结论可以求得，之后在中，用余弦定理得到所满足的关系，从而求得结果.点睛：该题考查的是有关解三角形的问题，涉及到的知识点有正弦定理、同角三角函数关系式、诱导公式以及余弦定理，在解题的过程中，需要时刻关注题的条件，以及开方时对于正负号的取舍要从题的条件中寻找角的范围所满足的关系，从而正确求得结果. 【反馈练习】1．【河北省石家庄市2018届高三下学期一模考试数学试题】 在ABC ∆中， 2AB =， 6C π=，则AC 的最大值为（ ）A ．．．．【答案】D【解析】有正弦定理可得，254,sin sin sin 6sin 6AB AC BC A B C B A ππ====+=54sin 4sin 6AC B A B B π⎛⎫∴=+=+- ⎪⎝⎭14sin cos 10sin 23B B B B B B π⎫⎛⎫=+=+=+⎪ ⎪⎪⎝⎭⎭故当6B π=时，AC的最大值为故选D.2．【吉林省四平市2018届高三质量检测数学试题】在ABC 中，已知a b c ，，分别为角,,A B C 的对边且A 60∠=︒，若ABCS=且2sin 3sin B C =，则ABC 的周长等于( )A ． 5． 12 C ． 10． 5+【答案】A3．【贵州省黔东南州2018届高三下学期第二次模拟考试数学试题】在ABC ∆中，内角,,A B C 所对的边分别为,,a b c ,已知()()3a b c a b c ab +-++=，且4c =，则ABC ∆面积的最大值为A ．B ． ． D ．【答案】B【解析】由已知有222a b c ab +-=， 2221cos 222a b c ab C ab ab +-===，由于()0,C π∈， sin C =又22162a b ab ab ab ab =+-≥-=，则16ab ≤， 11sin 16222ABC S ab C ∆=≤⨯⨯= 当且仅当4a b ==时等号成立.故选B.4．【山东省枣庄市2018届高三第二次模拟考试数学试题】已知ABC ∆的内角A ， B ， C 的对边分别为a ， b ， c ，若()()sin sin a b A B +- ()sin c b C =-，则A =（ ）A ．6π B ． 3π C ． 56π D ． 23π【答案】B5．【山西省2018届高三第一次模拟考试数学试题】在ABC ∆中，点D 为边AB 上一点，若BC CD ⊥，AC = AD sin ABC ∠=ABC ∆的面积是（ ）A ．2B ． 2C ． ．【答案】C【解析】πcos cos sin 2ADC CBA CBA ⎛⎫∠=∠+=-∠= ⎪⎝⎭,且AC AD =在ACD ∆中,有余弦定理,有(223CD CD ⎛=+-⨯ ⎝⎭,解得3CD =,在Rt BCD ∆中,可得,2B D B C ==.则12ABC S ∆=⨯=选C.6．【河南安阳2018届高三第二次模拟考试数学试题】已知在ABC 中，角A ， B ， C 所对的边分别为a ，b ，c ， cos b C a =，点M 在线段AB 上，且ACM BCM ∠=∠.若66b CM ==，则c o s B C M ∠=（ ）A ．4 B ． 34 C ． 4 D ． 4【答案】B7．【四川省凉山州2018届高中毕业班第二次诊断性检测 数学】在ABC 中， a ， b ， c 为角A ， B ，C 所对的边，若()222tan a c b B ac +-=，则角B 的值为（ ）A ．6π B ． 3π C ． 6π或56π D ． 3π或23π【答案】C【解析】由题意得，在ABC 中，()222ac b tanB ac +-=222122tan a c b ac B+-∴=根据余弦定理， 222cos 2a c b B ac +-=1cos cos 2tan 2sin BB B B∴==tanB 有意义， 2B π∠∴≠， cos 0B ≠1sin 2B ∴=B 是ABC 的内角， B ∴=6π或56π故选C8．【广东省肇庆市2018届高三第三次模拟数学】已知ABC ∆的角,,A B C 对边分别为,,a b c ，若222a b c bc =+-，且ABC ∆，则a 的最小值为________.9．【2018年普通高等学校招生全国统一考试模拟试题（衡水金卷调研卷）文数五】我国南宋著名数学家秦九韶在他的著作《数书九章》卷五“田域类”里有一个题目：“问有沙田一段，有三斜，其小斜一十三里，中斜一十四里，大斜一十五里.里法三百步.欲知为田几何.”这道题讲的是有一个三角形沙田，三边分别为13里， 14里， 15里，假设1里按500米计算，则该三角形沙田外接圆的半径为___________米.【答案】4062.5【解析】由题意画出图象，如上图所示，且13AB =里=6500米， 14BC =里=7000米， =15AC 里=7500米，在ABC∆中，由余弦定理有2222221314155cos 22131413AB BC AC B AB BC +-+-===⋅⨯⨯，B 为锐角，12sin 13B ==，设ABC ∆外接圆半径为R ，则由正弦定理有2sin b R B =, 7500=4062.5122sin 213b R B ==⨯米。