影院座位设计优化模型

下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒。

(1) 地板线倾角θ＝10︒，问最佳座位在什么地方。

(2) 求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众的平均满意程度最大。

(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

影院座位设计优化模型

吕华军陈霞曹智芳

摘要：本文针对影院座位设计问题，利用三角形正切，建立了视角α与仰角β关于地板线倾角θ的数学模型。并通过Matlab、Lingo、VB等软件，利用求极值的方法解答了问题一，得当倾角θ为10︒时，最佳座位在(6.228,1.4)处。对于问题二，我们通过泛函分析等方法，将座位分成n排，得出排与排之间的距离是14.5/n，对每排观众的视角α和仰角β进行求和，得出视角α和仰角β的平均值，从而取得平均满意度，再通过求极值的方法算出当θ为15.14︒时，观众的平均满意度最大。此外，在β角不超过30︒的前提下我们还对地板线的设计进行改

进（将第一排座位抬高），通过方程组（7）的解答，可得到最佳的地板线设计，进一步提高观众的满意度。我们还对模型进行了误差分析，若n越大，模型的精确度就越高。

关键词：座位设计仰角视角平均满意度

一、问题的重述

下图为影院的剖面示意图，座位的满意程度主要取决于视角α和仰角β。视角α是观众眼睛到屏幕上、下边缘视线的夹角，α越大越好；仰角β是观众眼睛到屏幕上边缘视线与水平线的夹角，β如果太大会使人的头部过分上仰，引起不舒适感，一般要求β不超过30︒。

(1) 地板线倾角θ＝10︒，问最佳座位在什么地方。

(2) 求地板线倾角θ（一般不超过20︒），使所有观众的平均满意程度最大。

(3) 地板线设计成什么形状可以进一步提高观众的满意程度。

二、模型假设

1、假设观众的座高是一致的；

2、影院排与排之间的距离相等；

3、观众的平均满意度只取决于视角α和仰角β，其他因素忽略不计；

4、假设屏幕的长度与座位的排长相等；

5、把观众的眼睛看作一个点。

三、变量与符号说明

根据题目所给数据和图形，运用初等数学中三角形正切的知识，建立了视角α和仰角β的数学模型：

tan H b a β-=

5arctan()arctan()H b b a a

β--== tan H h b a γ--= 3.2arctan()arctan()H h b b a a γ---== 2tan tan 1.8tan tan()1tan tan (5)(3.2)

a a

b b βγαβγβγ-=-==++-- 2 1.8arctan(

)(5)(3.2)a a b b α=+-- 1.1tan 4.5

b c b a d a θ--==-- tan 4.5tan 1.1b a θθ=-+ 五、模型的求解

1、问题一的解答

在这个问题中，我们的目标是当地板线倾角10θ=︒时，求座位的最佳位置，而影响座位的因素主要取决于视角α和仰角β，α越大越好，β不超过30︒，因此得目标函数如下： Max 2 1.8arctan()(5)(3.2)

a a

b b α=+-- 2 1.8arctan()(5tan 4.5tan 1.1)(3.2tan 4.5tan 1.1)

a a a a θθθθ=+--+--+ 030.. 4.5191.15S T a

b β︒≤≤︒⎧⎪≤≤⎨⎪≤≤⎩

用VB 软件求出 6.228a =，所以 1.4b =，即最佳位置在(6.228,1.4)处。

2、问题二的求解

我们将影院座位平均分成n 份，可以算出排与排的距离为14.5/n ，其中第i 排座位的横坐标：014.5(1)14.5(1)4.5i i i a a n n

--=+=+。第i 排座位的视角2 1.8arctan()(5tan 4.5tan 1.1)(3.2tan 4.5tan 1.1)

i i i i i a a a a αθθθθ=+--+--+ 第i 排座位的仰角5tan 4.5tan 1.1arctan()i a a

θθβ--+=。 我们的目标是使观众的平均满意度最高，而平均满意度主要取决于视角α和仰角β，把每一排的α相加再除以n 就得到α，把每一排的β相加再除以n 就得到β，于是我们就得到下列关系式：

1

1(,)n i i n i i n f n αααβββ==⎧⎪⎪=⎪=⎨⎪⎪=⎪⎩

∑∑ Max α 0tan tan 20θ≤≤︒

我们取19n =，20i =，即影院共分成20排，得出当15.14θ=︒时，观众的平均满意度最大。

3、对于问题三的回答

通过模型求出第一排的视角为15.8996︒，仰角为40.9149︒。我们通过仰角的降低来实现观众满意程度的提高，即采取提高第一排的方式来降低观众的仰角，将地板线近似地看作以A 为交点的两条直线，作直角坐标系xoy ，假设(19,3.2)B 为最后一排座位。（如上图）：

1l ： 1a k b d =+ 2l ： 2n k m h =+

求设计地板线形状转化为求直线1l 、2l 的方程式。

若影院共有n 排位置，则任意两排位置在横坐标上的间距19 4.514.5t n n -==，A 排位置为最低的那一排。令在A 排位置之前有i 排座位，即各排座位为i a ，令过点w 、i a 的直线斜率为i q ，由题意可得若要使i a 排的观众不挡住1i a +排观众的视线，只要满足1i i q q +<即可，且可推得当111 3.24.5a k q -≥=

时可满足1i i q q +<。则 11 3.24.5

a k -≥ （1） 令点A 11.1(,1.1)d k -，由直线2l 过点A 1

1.1(,1.1)d k -,(19,3.2)B ，可得： 21

3.2 1.11.119k d k -=-- （2） 令在A 之后有j 排座位，令过j w n 、的各直线斜率为j p ，若要使前面的i a 排座位不挡住j n 排位置的视线，只要j i p q ≥即可。又由1j j p p +≥、1i i q q +>得，只要11p q >即可得j i p q ≥。

由1

1.1(,1.1)d A k -，各排间距14.5t n =得在直线2l 上的第一排位置1211.1(,1.1)d n t k t k -++ 即：211

1.1 3.2 3.21.1 4.5k t a d t k +--≥-+ （3）